Уравнение Рариты–Швингера

Уравнение поля для фермионов со спином 3/2

В теоретической физике уравнение Рариты–Швингера — это релятивистское уравнение поля фермионов со спином -3/2 в четырехмерном плоском пространстве-времени. Оно похоже на уравнение Дирака для фермионов со спином 1/2. Это уравнение было впервые введено Уильямом Раритой и Джулианом Швингером в 1941 году.

В современной нотации это можно записать так: ^[1]

${\displaystyle \left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }=0}$

где — символ Леви-Чивиты , — матрицы Дирака (с ) и , — масса, , — векторный спинор с дополнительными компонентами по сравнению с четырехкомпонентным спинором в уравнении Дирака. Он соответствует ( ⁠ ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }}$ ${\displaystyle \gamma _{\kappa }}$ ${\displaystyle \kappa =0,1,2,3}$ ${\displaystyle \gamma _{5}=i\gamma _{0}\gamma _{1}\gamma _{2}\gamma _{3}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }\equiv {\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]}$ ${\displaystyle \psi _{\nu }}$1/2⁠ , ⁠1/2⁠ ) ​​⊗ (( ⁠1/2⁠ , 0) ⊕ (0, ⁠1/2⁠ )) представление группы Лоренца , а точнее, ее (1, ⁠1/2⁠ ) ​​⊕ ( ⁠1/2⁠ , 1) часть. ^[2]

Это уравнение поля можно вывести как уравнение Эйлера–Лагранжа, соответствующее лагранжиану Рариты–Швингера : ^[3]

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\tfrac {1}{2}}\;{\bar {\psi }}_{\mu }\left(\epsilon ^{\mu \kappa \rho \nu }\gamma _{5}\gamma _{\kappa }\partial _{\rho }-im\sigma ^{\mu \nu }\right)\psi _{\nu }}$

где черта выше обозначает сопряженный оператор Дирака . ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

Это уравнение управляет распространением волновой функции составных объектов, таких как дельта-барионы (
Δ
) или для предполагаемого гравитино . До сих пор экспериментально не обнаружено ни одной элементарной частицы со спином 3/2.

Безмассовое уравнение Рариты–Швингера имеет фермионную калибровочную симметрию: инвариантно относительно калибровочного преобразования , где — произвольное спинорное поле. Это просто локальная суперсимметрия супергравитации , и поле должно быть гравитино . ${\displaystyle \psi _{\mu }\rightarrow \psi _{\mu }+\partial _{\mu }\epsilon }$ ${\displaystyle \epsilon \equiv \epsilon _{\alpha }}$

Существуют также версии уравнения Рариты–Швингера «Вейля» и «Майораны».

Уравнения движения в безмассовом случае

Рассмотрим безмассовое поле Рариты–Швингера, описываемое плотностью Лагранжа

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{RS}={\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

где сумма по индексам спина неявна, являются спинорами Майораны, и ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\equiv {\frac {1}{3!}}\gamma ^{[\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho ]}.}$

Для получения уравнений движения варьируем лагранжиан по полям , получая: ${\displaystyle \psi _{\mu }}$

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }+{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\delta \psi _{\rho }=\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }-\partial _{\nu }{\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\delta \psi _{\rho }+{\text{ boundary terms}}}$

Используя свойства переворота Майораны ^[4], мы видим, что второй и первый члены в правой части равны, делая вывод, что

${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=2\delta {\bar {\psi }}_{\mu }\gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho },}$

плюс несущественные граничные условия. Накладывая таким образом, мы видим, что уравнение движения для безмассового спинора Майораны Рариты–Швингера читается так: ${\displaystyle \delta {\mathcal {L}}_{RS}=0}$

${\displaystyle \gamma ^{\mu \nu \rho }\partial _{\nu }\psi _{\rho }=0.}$

Калибровочная симметрия безмассового уравнения Рариты-Швингера допускает выбор калибровки , сводя уравнения к следующему: ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0}$

${\displaystyle \gamma ^{\nu }{\partial }_{\nu }\psi _{\mu }=0,\quad \partial ^{\mu }\psi _{\mu }=0,\quad \gamma ^{\mu }\psi _{\mu }=0.}$

Решение со спинами 1/2 и 3/2 имеет вид: ^[5]

${\displaystyle \psi _{0}=\kappa ,\quad \psi _{i}=\psi _{i}^{TT}+{\frac {\gamma ^{j}\partial _{j}}{\nabla ^{2}}}\gamma _{0}\partial _{i}\kappa ,}$

где — пространственный лапласиан, дважды поперечный ^[6] , несущий спин 3/2, и удовлетворяющий безмассовому уравнению Дирака, следовательно, несущий спин 1/2. ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \psi _{i}^{TT}}$ ${\displaystyle \kappa }$

Недостатки уравнения

Современное описание массивных полей с более высоким спином посредством формализмов Рариты–Швингера или Фирца–Паули страдает несколькими недостатками.

Сверхсветовое распространение

Как и в случае уравнения Дирака, электромагнитное взаимодействие можно добавить, преобразуя частную производную в калибровочно-ковариантную производную :

${\displaystyle \partial _{\mu }\rightarrow D_{\mu }=\partial _{\mu }-ieA_{\mu }}$.

В 1969 году Вело и Цванцигер показали, что лагранжиан Рариты–Швингера, связанный с электромагнетизмом, приводит к уравнению с решениями, представляющими волновые фронты, некоторые из которых распространяются быстрее света. Другими словами, поле затем страдает от беспричинного, сверхсветового распространения; следовательно, квантование во взаимодействии с электромагнетизмом по сути ошибочно ^{[ почему? ]} . Однако в расширенной супергравитации Дас и Фридман ^[7] показали, что локальная суперсимметрия решает эту проблему ^{[ как? ]} .

Ссылки

1. С. Вайнберг, «Квантовая теория полей», т. 3, Кембридж, стр. 335
2. С. Вайнберг, «Квантовая теория полей», т. 1, Кембридж, стр. 232
3. С. Вайнберг, «Квантовая теория полей», т. 3, Кембридж, стр. 335
4. Пьер Рамон - Теория поля, современный учебник - стр. 40
5. Валенсуэла, М.; Занелли, Дж. (2024). «Безмассовые уравнения Рариты-Швингера: решение спина «половина и три половины»». SciPost Phys . 16 (3): 065. arXiv : 2305.00106 . doi : 10.21468/SciPostPhys.16.3.065 .
6. Дезер, С.; Кей, Дж. Х.; Стелл, К. С. (1977). «Гамильтоновская формулировка супергравитации». Phys. Rev. D. 16 ( 8): 2448–2455. doi :10.1103/PhysRevD.16.2448.
7. Дас, А.; Фридман, ДЗ (1976). "Квантование калибровочных полей со спином 3/2". Nuclear Physics B. 114 ( 2): 271. Bibcode : 1976NuPhB.114..271D. doi : 10.1016/0550-3213(76)90589-7.; Freedman, DZ; Das, A. (1977). "Калибровочная внутренняя симметрия в расширенной супергравитации". Nuclear Physics B . 120 (2): 221. Bibcode :1977NuPhB.120..221F. doi :10.1016/0550-3213(77)90041-4.

Источники

• Рарита, Уильям; Швингер, Джулиан (1941-07-01). «О теории частиц с полуцелым спином». Physical Review . 60 (1). Американское физическое общество (APS): 61. Bibcode : 1941PhRv...60...61R. doi : 10.1103/physrev.60.61. ISSN  0031-899X.
• Коллинз П.Д.Б., Мартин А.Д. , Сквайрс Э.Дж., Физика элементарных частиц и космология (1989) Wiley, Раздел 1.6 .
• Velo, Giorgio; Zwanziger, Daniel (1969-10-25). «Распространение и квантование волн Рариты-Швингера во внешнем электромагнитном потенциале». Physical Review . 186 (5). Американское физическое общество (APS): 1337–1341. Bibcode : 1969PhRv..186.1337V. doi : 10.1103/physrev.186.1337. ISSN  0031-899X.
• Velo, Giorgio; Zwanzinger, Daniel (1969-12-25). «Непричинность и другие дефекты лагранжианов взаимодействия для частиц со спином один и выше». Physical Review . 188 (5). Американское физическое общество (APS): 2218–2222. Bibcode : 1969PhRv..188.2218V. doi : 10.1103/physrev.188.2218. ISSN  0031-899X.
• Кобаяши, М.; Шамали, А. (1978-04-15). «Минимальная электромагнитная связь для массивных полей спина два». Physical Review D. 17 ( 8). Американское физическое общество (APS): 2179–2181. Bibcode : 1978PhRvD..17.2179K. doi : 10.1103/physrevd.17.2179. ISSN  0556-2821.