Уравнение Селлмейера

Эмпирическая связь между показателем преломления и длиной волны

Зависимость показателя преломления от длины волны для стекла BK7 : измеренные точки (синие крестики) и уравнение Селлмейера (красная линия)

То же, что и график выше, но для сравнения используется уравнение Коши (синяя линия). Хотя уравнение Коши (синяя линия) значительно отклоняется от измеренных показателей преломления за пределами видимой области (которая заштрихована красным), уравнение Селлмейера (зеленая пунктирная линия) этого не делает.

Уравнение Селлмейера представляет собой эмпирическую зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды . Уравнение используется для определения дисперсии света в среде .

Впервые оно было предложено в 1872 году Вольфгангом Зеллмайером и представляло собой развитие работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии. ^[1]

Уравнение

В своей исходной и наиболее общей форме уравнение Селлмейера имеет вид

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$,

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а B _i и C _i — экспериментально определенные коэффициенты Селлмейера . Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах . Обратите внимание, что эта λ — это длина волны в вакууме, а не в самом материале, которая равна λ/n. Для некоторых типов материалов, например кристаллов , иногда используется другая форма уравнения .

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения силы B _i на длине волны √ C _i . Например, приведенные ниже коэффициенты для BK7 соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовом диапазоне и одному в среднем инфракрасном диапазоне. Вблизи каждого пика поглощения уравнение дает нефизические значения n ² ​​= ±∞, и в этих диапазонах длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую ​​как модель Гельмгольца.

Если все члены указаны для материала, то на длинных волнах вдали от пиков поглощения значение n стремится к

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

где ε _r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для характеристики стекол обычно используют уравнение, состоящее из трех членов: ^{[2] [3]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

В качестве примера ниже показаны коэффициенты для обычного боросиликатного кронного стекла , известного как BK7 :

Для обычных оптических стекол показатель преломления, рассчитанный по трехчленному уравнению Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5×10 ^-6 в диапазоне длин волн ^[4] от 365 нм до 2,3 мкм, что составляет порядок однородности образца стекла. ^[5] Иногда добавляются дополнительные термины, чтобы сделать расчет еще более точным.

Иногда уравнение Зеллмейера используется в двухчленной форме: ^[6]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Здесь коэффициент A представляет собой аппроксимацию вклада коротковолнового поглощения (например, ультрафиолетового) в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют и другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры , давления и других параметров.

Коэффициенты

Смотрите также

• Уравнение Коши

Рекомендации

1. Селлмайер, В. (1872). «Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)». Аннален дер Физик и Химия . 223 (11): 386–403. дои : 10.1002/andp.18722231105.
2. Показатель преломления и дисперсия. Технический информационный документ Schott TIE-29 (2007 г.).
3. Пашотта, доктор Рюдигер. «Энциклопедия лазерной физики и техники - формула Селлмейера, показатель преломления, уравнение Селлмейера, дисперсионная формула». www.rp-photonics.com . Проверено 14 сентября 2018 г.
4. «Оптические свойства».
5. «Гарантия качества».
6. Гош, Горачанд (1997). «Коэффициенты Селлмейера и дисперсия термооптических коэффициентов для некоторых оптических стекол». Прикладная оптика . 36 (7): 1540–6. Бибкод : 1997ApOpt..36.1540G. дои : 10.1364/AO.36.001540. ПМИД  18250832.
7. «Архивная копия». Архивировано из оригинала 11 октября 2015 г. Проверено 16 января 2015 г.{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия в заголовке ( ссылка )

Внешние ссылки

• RefractiveIndex.INFO База данных показателей преломления, содержащая коэффициенты Селлмейера для многих сотен материалов.
• Браузерный калькулятор, рассчитывающий показатель преломления на основе коэффициентов Селлмейера.
• Annalen der Physik - свободный доступ, оцифровано Национальной библиотекой Франции.
• Коэффициенты Селлмейера для 356 стаканов от Охара, Хойя и Шотт