Уравнение Селлмейера

Эмпирическая связь между показателем преломления и длиной волны

Показатель преломления в зависимости от длины волны для стекла BK7 , показаны измеренные точки (синие крестики) и уравнение Селлмейера (красная линия)

То же, что и на графике выше, но с уравнением Коши (синяя линия) для сравнения. В то время как уравнение Коши (синяя линия) значительно отклоняется от измеренных показателей преломления за пределами видимой области (которая закрашена красным), уравнение Селлмейера (зеленая пунктирная линия) не отклоняется.

Уравнение Селлмейера представляет собой эмпирическую зависимость между показателем преломления и длиной волны для конкретной прозрачной среды . Уравнение используется для определения дисперсии света в среде.

Впервые он был предложен в 1872 году Вольфгангом Зельмейером и представлял собой развитие работы Огюстена Коши по уравнению Коши для моделирования дисперсии. ^[1]

Уравнение

В своей первоначальной и наиболее общей форме уравнение Селлмейера имеет вид

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+\sum _{i}{\frac {B_{i}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{i}}}}$,

где n — показатель преломления, λ — длина волны, а B _i и C _i — экспериментально определенные коэффициенты Селлмейера . Эти коэффициенты обычно указываются для λ в микрометрах . Обратите внимание, что λ — это длина волны в вакууме, а не в самом материале, которая равна λ/n. Иногда для определенных типов материалов, например кристаллов , используется другая форма уравнения .

Каждый член суммы представляет собой резонанс поглощения силой B _i на длине волны √ C _i . Например, коэффициенты для BK7 ниже соответствуют двум резонансам поглощения в ультрафиолетовой области и одному в средней инфракрасной области. Аналитически этот процесс основан на аппроксимации основных оптических резонансов как дельта-функций Дирака с последующим применением соотношений Крамерса-Кронига . Это приводит к действительным и мнимым частям показателя преломления, которые физически разумны. ^[2] Однако вблизи каждого пика поглощения уравнение дает нефизические значения n ² ​​= ±∞, и в этих областях длин волн необходимо использовать более точную модель дисперсии, такую ​​как модель Гельмгольца.

Если для материала указаны все термины, то на больших длинах волн вдали от пиков поглощения значение n имеет тенденцию к

${\displaystyle {\begin{matrix}n\approx {\sqrt {1+\sum _{i}B_{i}}}\approx {\sqrt {\varepsilon _{r}}}\end{matrix}},}$

где ε _r — относительная диэлектрическая проницаемость среды.

Для характеристики стекол обычно используют уравнение, состоящее из трех членов: ^{[3] [4]}

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=1+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}+{\frac {B_{3}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{3}}},}$

В качестве примера ниже приведены коэффициенты для обычного боросиликатного кронгласа , известного как BK7 :

Для обычных оптических стекол показатель преломления, рассчитанный с помощью трехчленного уравнения Селлмейера, отклоняется от фактического показателя преломления менее чем на 5×10−6 ^в диапазоне длин волн ^[5] от 365 нм до 2,3 мкм, что соответствует порядку однородности образца стекла. ^[6] Иногда добавляются дополнительные члены, чтобы сделать расчет еще более точным.

Иногда уравнение Селлмейера используют в двухчленной форме: ^[7]

${\displaystyle n^{2}(\lambda )=A+{\frac {B_{1}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{1}}}+{\frac {B_{2}\lambda ^{2}}{\lambda ^{2}-C_{2}}}.}$

Здесь коэффициент A является приближением вкладов поглощения коротких волн (например, ультрафиолета) в показатель преломления на более длинных волнах. Существуют другие варианты уравнения Селлмейера, которые могут учитывать изменение показателя преломления материала из-за температуры , давления и других параметров.

Вывод

Аналитически уравнение Селлмейера моделирует показатель преломления как результат серии оптических резонансов в объеме материала. Его вывод из соотношений Крамерса-Кронига требует нескольких предположений о материале, любые отклонения от которого повлияют на точность модели:

• Существует ряд резонансов, и окончательный показатель преломления можно рассчитать как сумму вкладов всех резонансов.
• Все оптические резонансы находятся на длинах волн, далеких от интересующих длин волн, где применяется модель.
• На этих резонансных частотах мнимая составляющая восприимчивости ( ) может быть смоделирована как дельта-функция . ${\displaystyle {\chi _{i}}}$

Из последнего пункта комплексный показатель преломления (и электрическая восприимчивость ) становится:

${\displaystyle \chi _{i}(\omega )=\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i})}$

Действительная часть показателя преломления получается путем применения соотношений Крамерса-Кронига к мнимой части:

${\displaystyle n^{2}=1+\chi _{r}(\omega )=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }{\frac {\omega \chi _{i}(\omega )}{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

Подставим первое уравнение выше для мнимой составляющей:

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\sum _{i}A_{i}\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega }$

Порядок суммирования и интегрирования можно поменять местами. При оценке это дает следующее, где — функция Хевисайда : ${\displaystyle H}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}\int _{0}^{\infty }\delta (\omega -\omega _{i}){\frac {\omega }{\omega ^{2}-\Omega ^{2}}}d\omega =1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}H(\omega _{i})}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Поскольку предполагается, что область находится далеко от каких-либо резонансов (предположение 2 выше), оценивается как 1, и получается знакомая форма уравнения Селлмейера: ${\displaystyle H(\omega _{i})}$

${\displaystyle n^{2}=1+{\frac {2}{\pi }}\sum _{i}A_{i}{\frac {\omega _{i}}{\omega _{i}^{2}-\Omega ^{2}}}}$

Переставляя члены, константы и можно подставить в уравнение выше, чтобы получить уравнение Селлмейера. ^[2] ${\displaystyle B_{i}}$ ${\displaystyle C_{i}}$

Коэффициенты

Смотрите также

• Уравнение Коши

Ссылки

1. Селлмайер, В. (1872). «Ueber die durch die Aetherschwingungen erregten Mitschwingungen der Körpertheilchen und deren Rückwirkung auf die ersteren, besonders zur Erklärung der Dispersion und ihrer Anomalien (II. Theil)». Аннален дер Физик и Химия . 223 (11): 386–403. дои : 10.1002/andp.18722231105.
2. "2.7: Отношения Крамерса-Крёнига". Engineering LibreTexts . 2021-04-06 . Получено 2024-07-09 .
3. Показатель преломления и дисперсия. Технический информационный документ Schott TIE-29 (2007).
4. Пашотта, д-р Рюдигер. «Энциклопедия лазерной физики и техники — формула Селлмейера, показатель преломления, уравнение Селлмейера, формула дисперсии». www.rp-photonics.com . Получено 14 сентября 2018 г.
5. «Оптические свойства».
6. «Гарантия качества».
7. Ghosh, Gorachand (1997). "Коэффициенты Селлмейера и дисперсия термооптических коэффициентов для некоторых оптических стекол". Applied Optics . 36 (7): 1540–6. Bibcode : 1997ApOpt..36.1540G. doi : 10.1364/AO.36.001540. PMID  18250832.
8. "Архивная копия". Архивировано из оригинала 2015-10-11 . Получено 2015-01-16 .{{cite web}}: CS1 maint: archived copy as title (link)

Внутренние ссылки

• RefractiveIndex.INFO База данных показателей преломления с коэффициентами Селлмейера для многих сотен материалов.
• Браузерный калькулятор, вычисляющий показатель преломления на основе коэффициентов Зельмейера.
• Annalen der Physik - бесплатный доступ, оцифровано Французской национальной библиотекой
• Коэффициенты Селлмейера для 356 стаканов от Охары, Хойи и Шотта