Уравнение Уэлча–Саттертуэйта

Уравнение для аппроксимации объединенных степеней свободы

В статистике и анализе неопределенности уравнение Уэлча–Саттертуэйта используется для вычисления приближения к эффективным степеням свободы линейной комбинации независимых выборочных дисперсий , также известных как объединенные степени свободы , ^{[1] [2],} соответствующие объединенной дисперсии .

Для n выборочных дисперсий s _i ² ( i = 1, ..., n ) , каждая из которых имеет соответственно ν _i степеней свободы, часто вычисляют линейную комбинацию.

${\displaystyle \chi '=\sum _{i=1}^{n}k_{i}s_{i}^{2}.}$

где - действительное положительное число, обычно . В общем случае распределение вероятностей χ ' не может быть выражено аналитически. Однако его распределение может быть аппроксимировано другим распределением хи-квадрат , эффективные степени свободы которого задаются уравнением Уэлча-Саттертуэйта ${\displaystyle k_{i}}$ ${\displaystyle k_{i}={\frac {1}{\nu _{i}+1}}}$

${\displaystyle \nu _{\chi '}\approx {\frac {\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}s_{i}^{2}\right)^{2}}{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {(k_{i}s_{i}^{2})^{2}}{\nu _{i}}}}}}$

Не предполагается , что базовые дисперсии популяции σ _i ² равны. Это известно как проблема Беренса–Фишера .

Результат может быть использован для выполнения приблизительных статистических тестов вывода . Простейшее применение этого уравнения — выполнение t -теста Уэлча .

Смотрите также

• Объединенная дисперсия

Ссылки

1. Спеллман, Фрэнк Р. (12 ноября 2013 г.). Справочник по математике и статистике для окружающей среды. Уайтинг, Нэнси Э. Бока-Ратон. ISBN 978-1-4665-8638-3. OCLC  863225343.{{cite book}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
2. Ван Эмден, ХФ (Хельмут Фриц) (2008). Статистика для напуганных биологов. Молден, Массачусетс: Blackwell Pub. ISBN 978-1-4443-0039-0. OCLC  317778677.

Дальнейшее чтение

• Саттертуэйт, FE (1946), «Приблизительное распределение оценок компонентов дисперсии», Biometrics Bulletin , 2 (6): 110–114, doi : 10.2307/3002019, JSTOR  3002019, PMID  20287815
• Уэлч, Б. Л. (1947), «Обобщение проблемы «студента», когда задействовано несколько различных дисперсий популяции», Biometrika , 34 (1/2): 28–35, doi :10.2307/2332510, JSTOR  2332510, PMID  20287819
• Нетер, Джон; Уильям Вассерман; Майкл Х. Катнер (1990). Прикладные линейные статистические модели . Richard D. Irwin, Inc. ISBN 0-256-08338-X.
• Майкл Оллвуд (2008) «Формула Саттертуэйта для степеней свободы в двухвыборочном t- тесте», AP Statistics , Advanced Placement Program, The College Board. [1]