Уравнение состояния Редлиха–Квонга

Эмпирическое алгебраическое уравнение состояния точнее уравнения Ван-дер-Ваальса

В физике и термодинамике уравнение состояния Редлиха –Квонга — это эмпирическое алгебраическое уравнение, связывающее температуру, давление и объем газов. Оно, как правило, точнее уравнения Ван-дер-Ваальса и уравнения идеального газа при температурах выше критической . Оно было сформулировано Отто Редлихом и Джозефом Ненг Шуном Квонгом в 1949 году. ^{[1] [2]} Оно показало, что двухпараметрическое кубическое уравнение состояния может хорошо отражать реальность во многих ситуациях, стоя рядом с гораздо более сложной моделью Битти–Бриджмена и уравнением Бенедикта–Уэбба–Рубина , которые использовались в то время. Хотя изначально оно было разработано для газов, уравнение Редлиха–Квонга считается наиболее модифицированным уравнением состояния, поскольку эти модификации были направлены на обобщение полученных с его помощью прогностических результатов. ^[3] Хотя это уравнение в настоящее время не используется в практических приложениях, ^[4] модификации, полученные из этой математической модели, такие как Соаве Редлиха-Квонга (SWK) и Пенга Робинсона , были улучшены и в настоящее время используются в моделировании и исследовании равновесий пар-жидкость . ^{[3] [5]}

Уравнение

Уравнение Редлиха–Квонга формулируется следующим образом: ^{[6] [7]}

${\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T}}\;V_{m}\,(V_{m}+b)}},}$

где:

• p — давление газа
• R — газовая постоянная ,
• T — температура ,
• V _m — молярный объем ( V / n ),
• a — константа, которая учитывает притягивающий потенциал молекул, и
• b — константа, которая корректирует объем.

Константы различаются в зависимости от того, какой газ анализируется. Константы могут быть рассчитаны из данных критической точки газа: ^[6]

${\displaystyle a={\frac {1}{9({\sqrt[{3}]{2}}-1)}}\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{2.5}}{P_{c}}}=0.42748\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{2.5}}{P_{c}}},}$

${\displaystyle b={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}-1}{3}}\,{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}}=0.08664\,{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}},}$

где:

• T _c — температура в критической точке , а
• P _c — давление в критической точке.

Уравнение Редлиха–Квонга можно также представить как уравнение для коэффициента сжимаемости газа как функции температуры и давления: ^[8]

${\displaystyle Z={\frac {p\,V_{m}}{R\,T}}={\frac {1}{1-h}}\ -{\frac {A^{2}}{B}}{\frac {h}{1+h}}}$

где:

• ${\displaystyle A^{2}={\frac {a}{R^{2}\,T^{5/2}}}={\frac {0.42748\,{T_{c}}^{5/2}}{P_{c}\,T^{5/2}}}}$
• ${\displaystyle B={\frac {b}{R\,T}}={\frac {0.08664\,T_{c}}{P_{c}\,T}}}$
• ${\displaystyle h={\frac {B\,p}{Z}}={\frac {b}{V_{m}}}}$

Или проще:

${\displaystyle Z={\frac {pV_{m}}{RT}}={\frac {V_{m}}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{RT^{3/2}\left(V_{m}+b\right)}}}$

Это уравнение только неявно дает Z как функцию давления и температуры, но легко решается численно, изначально графической интерполяцией, а теперь еще проще с помощью компьютера. Более того, аналитические решения кубических функций известны уже много столетий и еще быстрее для компьютеров. Уравнение состояния Редлиха-Квонга также может быть выражено как кубическая функция молярного объема. ^[7]

Для всех газов Редлиха – Квонга:

${\displaystyle Z_{c}={1 \over 3}}$

где:

• Z _c — коэффициент сжимаемости в критической точке

График Редлиха-Квонга Pr(Vr) и Z(Pr) при постоянном Tr.

Используя уравнение состояния можно записать его в сокращенном виде : ${\displaystyle \ p_{r}={\frac {p}{P_{\text{c}}}}\ ,\ V_{r}={\frac {V_{\text{m}}}{V_{\text{m,c}}}}\ ,\ T_{r}={\frac {T}{T_{\text{c}}}}\quad }$

${\displaystyle p_{r}={\frac {Z_{c}^{-1}T_{r}}{V_{r}-0.08664Z_{c}^{-1}}}-{\frac {0.42748Z_{c}^{-2}}{{\sqrt {T_{r}}}V_{r}\left(V_{r}+0.08664Z_{c}^{-1}\right)}}}$

И поскольку следует: с ${\displaystyle Z_{c}^{-1}=3}$ ${\displaystyle p_{r}={\frac {3T_{r}}{V_{r}-b'}}-{\frac {1}{b'{\sqrt {T_{r}}}V_{r}\left(V_{r}+b'\right)}}\quad }$ ${\displaystyle b'={\sqrt[{3}]{2}}-1\approx 0.26}$

Из уравнения Редлиха–Квонга можно оценить коэффициент летучести газа: ^[8]

${\displaystyle \ln \phi =\int _{0}^{P}{{\frac {Z-1}{p}}dP}=Z-1-\ln {(Z-B\,P)}-{\frac {A^{2}}{B}}\,\ln {(1+{\frac {B\,P}{Z}})}}$

Критические константы

Можно выразить критические константы T _c и ​​P _c как функции a и b, обратив следующую систему из 2 уравнений a(T _c , P _c ) и b(T _c , P _c ) с 2 переменными T _c , P _c :

${\displaystyle a={\frac {1}{9({\sqrt[{3}]{2}}-1)}}\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{5/2}}{P_{c}}}={\frac {1}{9({\sqrt[{3}]{2}}-1)}}\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{5/2}}{{\frac {{\sqrt[{3}]{2}}-1}{3}}\,{\frac {R\,T_{c}}{b}}}}=>a={\frac {bR\,{T_{c}}^{3/2}}{3({\sqrt[{3}]{2}}-1)^{2}}}=>T_{c}=3^{2/3}({\sqrt[{3}]{2}}-1)^{4/3}({\frac {a}{bR}})^{2/3}}$

${\displaystyle b={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}-1}{3}}\,{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}}=>P_{c}={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}-1}{3}}\,{\frac {R\,T_{c}}{b}}=>P_{c}={\frac {({\sqrt[{3}]{2}}-1)^{7/3}}{3^{1/3}}}R^{1/3}{\frac {a^{2/3}}{b^{5/3}}}}$

Из-за определения коэффициента сжимаемости в критическом состоянии его можно обратить, чтобы найти критический молярный объем V _m,c , зная ранее найденные P _c , T _c и ​​Z _c =1/3.

${\displaystyle Z={\frac {PV_{m}}{RT}}=>Z_{c}={\frac {P_{c}V_{m,c}}{RT_{c}}}=>V_{m,c}=Z_{c}{\frac {RT_{c}}{P_{c}}}}$

${\displaystyle V_{m,c}={\frac {R}{3}}{\frac {3^{2/3}({\sqrt[{3}]{2}}-1)^{4/3}({\frac {a}{bR}})^{2/3}}{{\frac {({\sqrt[{3}]{2}}-1)^{7/3}}{3^{1/3}}}R^{1/3}{\frac {a^{2/3}}{b^{5/3}}}}}={\frac {R}{3}}{\frac {3b}{R({\sqrt[{3}]{2}}-1)}}={\frac {b}{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}}$

Несколько компонентов

Уравнение Редлиха–Квонга было разработано с намерением применить его и к смесям газов. В смеси член b , представляющий объем молекул, является средним значением b компонентов, взвешенным по мольным долям:

${\displaystyle b=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}\,x_{j}b_{ij},}$или

${\displaystyle B=\sum _{i}x_{i}\,B_{i}}$

где:

• x _i — мольная доля i- ^го компонента смеси,
• b _ij — параметр коволюма пары ij в смеси, а
• B _i — значение B i- ^го компонента смеси

Перекрестные члены b _ij (т.е. члены, для которых ), обычно вычисляются как ${\displaystyle i\neq j}$

${\displaystyle b_{ij}={\frac {b_{i}+b_{j}}{2}}(1-l_{ij})}$,

где — часто эмпирически подобранный параметр взаимодействия, учитывающий асимметрию в перекрестных взаимодействиях. ^[9] ${\displaystyle l_{ij}}$

Константа, представляющая силы притяжения, a , не является линейной относительно мольной доли, а скорее зависит от квадрата мольных долей. То есть:

${\displaystyle a=\sum _{i}\sum _{j}x_{i}\,x_{j}\,a_{i\,j}}$

где:

• a _{i j} — это притягивающий член между молекулой вида i и вида j ,
• x _i — мольная доля i- ^го компонента смеси, а
• x _j — мольная доля j ^-го компонента смеси.

Обычно предполагается, что привлекательные перекрестные члены представляют собой геометрическое среднее отдельных членов , скорректированное с использованием параметра взаимодействия , а именно: ^[9] ${\displaystyle k_{ij}}$

${\displaystyle a_{i\,j}=(a_{i}\,a_{j})^{1/2}(1-k_{ij})}$,

Где параметр взаимодействия часто является эмпирически подобранным параметром, учитывающим асимметрию в молекулярных перекрестных взаимодействиях. ^[9] В этом случае для притягивающего члена предоставляется следующее уравнение: ${\displaystyle k_{ij}}$

${\displaystyle A=\sum _{i}x_{i}\,A_{i}}$

где A _i — это член A для i-го компонента смеси.

Эти способы создания параметров a и b для смеси из параметров чистых жидкостей обычно известны как правила смешивания и объединения одной жидкости Ван-дер-Ваальса. ^[9]

История

Уравнение Ван-дер-Ваальса , сформулированное в 1873 году Иоганнесом Дидериком ван-дер-Ваальсом , обычно рассматривается как первое относительно реалистичное уравнение состояния (за пределами закона идеального газа):

${\displaystyle p={\frac {RT}{V_{\mathrm {m} }-b}}-{\frac {a}{V_{\mathrm {m} }^{2}}}}$

Однако его моделирование реального поведения недостаточно для многих приложений, и к 1949 году оно вышло из употребления, поскольку предпочтение отдавалось уравнениям состояния Битти–Бриджмена и Бенедикта–Уэбба–Рубина , которые оба содержат больше параметров, чем уравнение Ван-дер-Ваальса. ^[10] Уравнение Редлиха–Квонга было разработано Редлихом и Квонгом, когда они оба работали в Shell Development Company в Эмеривилле, Калифорния . Квонг начал работать в Shell в 1944 году, где он познакомился с Отто Редлихом, когда присоединился к группе в 1945 году. Уравнение возникло в результате их работы в Shell — они хотели найти простой алгебраический способ связать давления, объемы и температуры газов, с которыми они работали — в основном неполярных и слабополярных углеводородов (уравнение Редлиха–Квонга менее точно для газов с водородными связями). Он был совместно представлен в Портленде, штат Орегон, на Симпозиуме по термодинамике и молекулярной структуре растворов в 1948 году в рамках 14-го заседания Американского химического общества . ^[11] Успех уравнения Редлиха–Квонга в моделировании многих реальных газов точно демонстрирует, что кубическое уравнение состояния с двумя параметрами может давать адекватные результаты, если оно правильно построено. После того, как они продемонстрировали жизнеспособность таких уравнений, многие другие создали уравнения похожей формы, чтобы попытаться улучшить результаты Редлиха и Квонга.

Вывод

Уравнение по сути эмпирическое — вывод не является ни прямым, ни строгим. Уравнение Редлиха–Квонга очень похоже на уравнение Ван-дер-Ваальса, только с небольшой модификацией привлекательного члена, придающей этому члену температурную зависимость. При высоких давлениях объем всех газов приближается к некоторому конечному объему, в значительной степени независимому от температуры, который связан с размером молекул газа. Этот объем отражен в b в уравнении. Эмпирически верно, что этот объем составляет около 0,26 V _c (где V _c — объем в критической точке). Это приближение довольно хорошо для многих небольших неполярных соединений — значение варьируется между примерно 0,24 V _c и 0,28 V _c . ^[12] Для того чтобы уравнение обеспечивало хорошее приближение объема при высоких давлениях, его нужно было построить таким образом, чтобы

${\displaystyle b=0.26\ V_{c}.}$

Первый член в уравнении отражает это поведение при высоком давлении.

Второй член корректирует силу притяжения молекул друг к другу. Функциональная форма a относительно критической температуры и давления выбирается эмпирически, чтобы дать наилучшее соответствие при умеренных давлениях для большинства относительно неполярных газов. ^[11]

В реальности

Значения a и b полностью определяются формой уравнения и не могут быть выбраны эмпирически. Требуя, чтобы оно удерживалось в своей критической точке , ${\displaystyle P=P_{c},V=V_{c}}$

${\displaystyle P_{c}={\frac {R\,T_{c}}{V_{c}-b}}-{\frac {a}{{\sqrt {T_{c}}}\;V_{c}\,(V_{c}+b)}},}$

обеспечение соблюдения термодинамических критериев для критической точки,

${\displaystyle \left({\frac {\partial P}{\partial V}}\right)_{T}=0,\left({\frac {\partial ^{2}P}{\partial V^{2}}}\right)_{T}=0,}$

и без потери общности определение и дает 3 ограничения, ${\displaystyle b=b'V_{c}}$ ${\displaystyle V_{c}=Z_{c}RT_{c}/P_{c}}$

${\displaystyle a={\frac {(1+b')^{2}}{(b'-1)^{2}(2+b')}}{\frac {R^{2}T_{c}^{5/2}Z_{c}}{P_{c}}}}$

${\displaystyle a={\frac {(1+b')^{3}}{(1-b')^{3}(3+3b'+b'^{2})}}{\frac {R^{2}T_{c}^{5/2}Z_{c}}{P_{c}}}}$

${\displaystyle a={\frac {(1+b')(1-Z_{c}+b'Z_{c})}{b'-1}}{\frac {R^{2}T_{c}^{5/2}Z_{c}}{P_{c}}}}$.

Одновременное решение этих уравнений с условием, что b' и Z _c должны быть положительными, дает только одно решение:

${\displaystyle Z_{c}={\frac {1}{3}},\;b'={\sqrt[{3}]{2}}-1,\;a={\frac {P_{c}V_{c}^{2}{\sqrt {T_{c}}}}{b'}}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{2}}-1}}\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{5/2}}{9P_{c}}}}$.

Модификация

Уравнение Редлиха–Квонга было разработано в основном для предсказания свойств небольших неполярных молекул в паровой фазе, с чем оно, как правило, хорошо справляется. Однако его пытались усовершенствовать и улучшить. В 1975 году сам Редлих опубликовал уравнение состояния, добавив третий параметр, чтобы лучше моделировать поведение как длинноцепочечных молекул, так и более полярных молекул. Его уравнение 1975 года было не столько модификацией исходного уравнения, сколько переосмыслением нового уравнения состояния, и также было сформулировано таким образом, чтобы использовать преимущества компьютерных вычислений, которые не были доступны на момент публикации исходного уравнения. ^[12] Многие другие предлагали конкурирующие уравнения состояния, либо модификации исходного уравнения, либо уравнения, совершенно иные по форме. К середине 1960-х годов было признано, что для значительного улучшения уравнения параметры, особенно a , должны стать зависимыми от температуры. Еще в 1966 году Барнер заметил, что уравнение Редлиха–Квонга лучше всего работает для молекул с ацентрическим фактором (ω), близким к нулю. Поэтому он предложил модификацию притягивающего термина:

${\displaystyle a=\alpha +\gamma \,T^{-1.5}}$

где

• α — привлекательный член в исходном уравнении Редлиха–Квонга
• γ — параметр, связанный с ω, причем γ = 0 для ω = 0 ^[13]

Вскоре стало желательно получить уравнение, которое также хорошо моделировало бы свойства равновесия пар-жидкость (VLE) жидкостей, в дополнение к свойствам паровой фазы. ^[10] Возможно, наиболее известным применением уравнения Редлиха-Квонга было вычисление летучести газа углеводородных смесей, с чем оно хорошо справляется, что затем было использовано в модели VLE, ​​разработанной Чао и Сидером в 1961 году. ^{[10] [14]} Однако для того, чтобы уравнение Редлиха-Квонга могло самостоятельно моделировать равновесия пар-жидкость, необходимо было внести более существенные изменения. Наиболее успешной из этих изменений является модификация Соаве уравнения, предложенная в 1972 году. ^[15] Модификация Соаве включала замену степени T ^1/2 , найденной в члене притяжения знаменателя исходного уравнения, на более сложное выражение, зависящее от температуры. Он представил уравнение следующим образом:

${\displaystyle P={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}(V_{m}+b)}}}$

где

• ${\displaystyle \alpha =\left(1+(0.480+1.574\,\omega -0.176\,\omega ^{2})(1-{\sqrt {T_{r}}})\right)^{2},}$
• ${\displaystyle a={\frac {1}{9({\sqrt[{3}]{2}}-1)}}\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{2}}{P_{c}}}=0.42748\,{\frac {R^{2}\,{T_{c}}^{2}}{P_{c}}},}$
• ${\displaystyle b={\frac {{\sqrt[{3}]{2}}-1}{3}}\,{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}}=0.08664\,{\frac {R\,T_{c}}{P_{c}}},}$
• T _r — приведенная температура соединения, а
• ω — ацентрический фактор

Уравнение состояния Пенга–Робинсона далее модифицировало уравнение Редлиха–Квонга, изменив притягивающий член, что дало

${\displaystyle p={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a\,\alpha }{V_{m}\,(V_{m}+b)+b\,(V_{m}-b)}}}$

параметры a , b и α немного изменены, при этом

${\displaystyle a={\frac {0.457235\,R^{2}\,T_{c}^{2}}{p_{c}}}}$

${\displaystyle b={\frac {0.077796\,R\,T_{c}}{p_{c}}}}$

${\displaystyle \alpha =\left(1+(0.37464+1.54226\omega -0.26992\omega ^{2})(1-{\sqrt {T_{r}}})\right)^{2}}$ ^[16]

Уравнение Пенга–Робинсона обычно дает схожие свойства равновесия VLE, ​​что и модификация Соаве, но часто дает лучшие оценки плотности жидкой фазы . [ ^10]

Было сделано несколько модификаций, которые пытаются точнее представить первый член, связанный с размером молекулы. Первая значительная модификация отталкивающего члена за пределами уравнения Ван-дер-Ваальса

${\displaystyle P_{hs}={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}={\frac {R\,T}{V_{m}}}\,{\frac {1}{1-{\frac {b}{V_{m}}}}}}$

(где P _hs представляет собой уравнение состояния твердых сфер .) было разработано в 1963 году Тиле: ^[17]

${\displaystyle P_{hs}={\frac {R\,T}{V_{m}}}\,{\frac {1-\eta ^{3}}{(1-\eta )^{4}}}}$

где

${\displaystyle \eta ={\frac {b}{4\,V_{m}}}}$, и

Это выражение было улучшено Карнаханом и Старлингом, и теперь оно выглядит следующим образом ^[18]:

${\displaystyle P_{hs}={\frac {R\,T}{V_{m}}}\,{\frac {1+\eta +\eta ^{2}-\eta ^{3}}{(1-\eta )^{3}}}}$

Уравнение состояния твердой сферы Карнахана-Старлинга широко использовалось при разработке других уравнений состояния ^[10] и, как правило, дает очень хорошие приближения для отталкивающего члена. ^[19]

Помимо улучшенных двухпараметрических уравнений состояния, были разработаны ряд трехпараметрических уравнений, часто с третьим параметром, зависящим либо от Z _c , коэффициента сжимаемости в критической точке, либо от ω, ацентрического фактора. Шмидт и Венцель предложили уравнение состояния с привлекательным термином, который включает ацентрический фактор: ^[20]

${\displaystyle P={\frac {R\,T}{V_{m}-b}}-{\frac {a}{V_{m}^{2}+(1+3\,\omega )bV_{m}-3\omega b^{2}}}}$

Это уравнение сводится к исходному уравнению Редлиха–Квонга в случае, когда ω = 0, и к уравнению Пенга–Робинсона при  ω  = 1/3.

Смотрите также

• Газовые законы
• Идеальный газ
• Температура инверсии
• Итерация
• строительство Максвелла
• Настоящий газ
• Теорема о соответствующих состояниях
• Уравнение Ван-дер-Ваальса

Ссылки

1. Мердок, Джеймс У. (1993), Фундаментальная механика жидкости для практикующего инженера , CRC Press, стр. 25–27, ISBN 978-0-8247-8808-7
2. Редлих, Отто; Квонг, Дж. Н. С. (1949). «О термодинамике растворов». Chem. Rev. 44 ( 1): 233–244. doi :10.1021/cr60137a013. PMID  18125401.
3. Valderrama, José O. (2003-04-01). "Состояние кубических уравнений состояния". Industrial & Engineering Chemistry Research . 42 (8): 1603–1618. doi :10.1021/ie020447b. ISSN  0888-5885.
4. «10.3: EOS Редлиха-Квонга (1949)» . Инженерные свободные тексты . 31 июля 2016 г. Проверено 13 сентября 2024 г.
5. Перри, Джон Х.; Грин, Дон У.; Саутхард, Мэрили З., ред. (2019). Справочник инженеров-химиков Перри (девятое изд.). Нью-Йорк Чикаго Сан-Франциско Афины Лондон Мадрид Мехико Милан Нью-Дели Сингапур Сидней Торонто: McGraw-Hill Education. ISBN 978-0-07-183408-7.
6. Murdock, James W. (1993), Фундаментальная механика жидкости для практикующего инженера , CRC Press, стр. 25–27, ISBN 978-0-8247-8808-7
7. McQuarrie, Donald A.; Simon, John D. (1997). Физическая химия: молекулярный подход . Sausalito: University Science Books. стр. 645–648. ISBN 0-935702-99-7.
8. Redlich, Otto; Kwong, JNS (1949). «О термодинамике растворов». Chem. Rev. 44 ( 1): 233–244. doi :10.1021/cr60137a013. PMID  18125401.
9. Coutinho, João AP; Kontogeorgis, Georgios M.; Stenby, Erling H. (1994-11-28). "Параметры бинарного взаимодействия для неполярных систем с кубическими уравнениями состояния: теоретический подход 1. CO2/углеводороды с использованием уравнения состояния SRK". Fluid Phase Equilibria . 102 (1): 31–60. doi :10.1016/0378-3812(94)87090-X. ISSN  0378-3812.
10. Tsonopoulos, C.; Heidman, JL (1985). «От Редлиха–Квонга до настоящего времени». Fluid Phase Equilibria . 24 (1–2): 1–23. doi :10.1016/0378-3812(85)87034-5.
11. Рейф-Ахерман, Симон (2008). «Джозеф Ненг Шун Квонг: известный и малоизвестный ученый». Кимика Нова . 31 (7): 1909–1911. дои : 10.1590/S0100-40422008000700054 .
12. Redlich, Otto (1975). «О трехпараметрическом представлении уравнения состояния». Industrial & Engineering Chemistry Fundamentals . 14 (3): 257–260. doi :10.1021/i160055a020. S2CID  92316637.
13. Barner, HE; ​​Pigford, RL; Schreiner, WC (1966). «Модифицированное уравнение состояния Редлиха–Квонга». 31-е полугодовое совещание, API Div Refining .
14. Чао, К. К.; Сидер, Дж. Д. (1961). «Общая корреляция парожидкостных равновесий в углеводородных смесях». Журнал AIChE . 7 (4): 598–605. doi :10.1002/aic.690070414.
15. Соаве, Джорджио (июнь 1972 г.). «Константы равновесия из модифицированного уравнения состояния Редлиха–Квонга». Chemical Engineering Science . 27 (6): 1197–1203. doi :10.1016/0009-2509(72)80096-4.
16. Пэн, Дин-Ю; Робинсон, Дональд (1985). «Новое уравнение состояния с двумя константами». Основы промышленной и инженерной химии . 15 (1): 59–64. doi :10.1021/i160057a011. S2CID  98225845.
17. Thiele, Everett (1963). "Уравнение состояния для твердых сфер". Journal of Chemical Physics . 39 (2): 474–479. Bibcode :1963JChPh..39..474T. doi :10.1063/1.1734272. Архивировано из оригинала 24 февраля 2013 года . Получено 6 мая 2012 года .
18. Carnahan, Norman; Starling, Kenneth (1969). "Уравнение состояния для непритягивающихся жестких сфер". Journal of Chemical Physics . 51 (2): 635–636. Bibcode :1969JChPh..51..635C. doi :10.1063/1.1672048. Архивировано из оригинала 23 февраля 2013 года . Получено 6 мая 2012 года .
19. Сонг, Юхуа; Мейсон, Э.А.; Страт, Ричард (1989). «Почему уравнение Карнахана-Старлинга работает так хорошо?». Журнал физической химии . 93 (19): 6916–6919. doi :10.1021/j100356a008.
20. Шмидт, Г.; Венцель, Х. (1980). «Модифицированное уравнение состояния типа Ван-дер-Ваальса». Chemical Engineering Science . 35 (7): 1503–1512. doi :10.1016/0009-2509(80)80044-3.