Уравнение Vis-viva

Уравнение для моделирования движения орбитальных тел

В астродинамике уравнение vis - viva , также называемое законом инвариантности орбитальной энергии или формулой Бургаса , является одним из уравнений, моделирующих движение орбитальных тел . Это прямой результат принципа сохранения механической энергии , который применяется, когда единственной силой, действующей на объект, является его собственный вес, который представляет собой гравитационную силу, определяемую произведением массы объекта и силы окружающего гравитационного поля. .

Vis viva (лат. «жизненная сила») — термин из истории механики, и он сохранился только в этом контексте. Он представляет собой принцип, согласно которому разница между общей работой ускоряющих сил системыи тормозящих сил равна половине жизненной силы , накопленной или потерянной в системе во время выполнения работы.

Уравнение

Для любой кеплеровской орбиты ( эллиптической , параболической , гиперболической или радиальной ) уравнение Vis-viva ^[1] выглядит следующим образом: ^[2]

$${\displaystyle v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)}$$

• v - относительная скорость двух тел
• r - расстояние между центрами масс двух тел.
• a — длина большой полуоси ( a > 0 для эллипсов , a = ∞ или 1/ a = 0 для парабол и a < 0 для гипербол )
• G — гравитационная постоянная
• M — масса центрального тела

Произведение GM также можно выразить как стандартный гравитационный параметр , используя греческую букву μ .

Вывод для эллиптических орбит (0 ≤ эксцентриситет < 1)

В уравнении vis-viva масса m вращающегося тела (например, космического корабля) считается незначительной по сравнению с массой M центрального тела (например, Земли). Центральное тело и вращающееся тело также часто называют первичным и частицей соответственно. В конкретных случаях эллиптической или круговой орбиты уравнение vis-viva можно легко вывести из закона сохранения энергии и импульса.

Удельная полная энергия постоянна на протяжении всей орбиты. Таким образом, используя индексы a и p для обозначения апоапсиса (апогея) и периапсиса (перигея) соответственно,

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Перестановка,

$${\displaystyle {\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Вспоминая, что для эллиптической орбиты (а, следовательно, и круговой орбиты) векторы скорости и радиуса перпендикулярны в апоапсисе и перицентре, сохранение углового момента требует определенного углового момента , таким образом : ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}}$ ${\displaystyle v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}}$$

Выделение кинетической энергии в апоапсисе и упрощение:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}\end{aligned}}}$$

Из геометрии эллипса, где а — длина большой полуоси. Таким образом, ${\displaystyle 2a=r_{p}+r_{a}}$

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}}$$

Подставив это в наше исходное выражение для удельной орбитальной энергии,

$${\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$

Таким образом, уравнение vis-viva можно записать ${\displaystyle \varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}}$

$${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}}$$

$${\displaystyle v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}$$

Следовательно, сохраняющийся угловой момент L = mh можно получить с помощью и , где a — большая полуось , а b — малая полуось эллиптической орбиты, следующим образом: ${\displaystyle r_{a}+r_{p}=2a}$ ${\displaystyle r_{a}r_{p}=b^{2}}$

$${\displaystyle v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}}$$

$${\displaystyle v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}}$$

Следовательно, удельный угловой момент , и ${\displaystyle h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Полный угловой момент ${\displaystyle L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}}$

Практическое применение

Учитывая общую массу и скаляры r и v в одной точке орбиты, можно вычислить:

• r и v в любой другой точке орбиты; ^{[примечания 1]} и
• удельная орбитальная энергия , позволяющая классифицировать объект, вращающийся вокруг более крупного объекта, как объект, у которого недостаточно энергии, чтобы оставаться на орбите, и, следовательно, как « суборбитальный » (например, баллистическая ракета), имеющий достаточно энергии, чтобы быть «орбитальным», но без возможность в любом случае завершить полную орбиту, потому что оно в конечном итоге столкнется с другим телом, или иметь достаточно энергии, чтобы выйти из бесконечности и / или уйти в бесконечность (например, как метеор). ${\displaystyle \varepsilon \,\!}$

Формулу скорости убегания можно получить из уравнения Vis-viva, приняв предел в виде приближений : ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \infty }$

$${\displaystyle v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}}$$

Примечания

1. Для задачи трех тел вряд ли существует сопоставимое уравнение vis-viva: сохранение энергии уменьшает большее количество степеней свободы только на одну.

Рекомендации

1. Том Логсдон (1998). Орбитальная механика: теория и приложения. Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-14636-0.
2. Лиссауэр, Джек Дж.; де Патер, Имке (2019). Фундаментальные планетарные науки: физика, химия и обитаемость . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк, США: Издательство Кембриджского университета. стр. 29–31. ISBN 9781108411981.