Уравнение Козени–Кармана

Соотношение, используемое в области динамики жидкости

Уравнение Козени–Кармана (или уравнение Кармана–Козени или уравнение Козени ) — это соотношение, используемое в области гидродинамики для расчета падения давления жидкости , протекающей через уплотненный слой твердых тел. Оно названо в честь Йозефа Козени и Филиппа К. Кармана. Уравнение справедливо только для медленного потока , т. е. в самом медленном пределе ламинарного потока . Уравнение было выведено Козени (1927) ^[1] и Карманом (1937, 1956) ^{[2] [3] [4]} из отправной точки (a) моделирования потока жидкости в уплотненном слое как ламинарного потока жидкости в наборе изогнутых проходов/труб, пересекающих уплотненный слой , и (b) закона Пуазейля, описывающего ламинарный поток жидкости в прямых трубах круглого сечения.

Уравнение

Уравнение имеет вид: ^{[4] [5]}

${\displaystyle {\frac {\Delta P}{L}}={\frac {150\mu }{{\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }^{2}d_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {(1-\varepsilon )^{2}}{\varepsilon ^{3}}}V_{\mathrm {0} }}$

где:

• ${\displaystyle \Delta P}$- это падение давления ;
• ${\displaystyle L}$общая высота кровати;
• ${\displaystyle \mu }$вязкость жидкости ;
• ${\displaystyle \varepsilon }$- пористость слоя ( для случайно упакованных сфер); ^[6] ${\displaystyle \simeq 0.37}$
• ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }}$сферичность частиц в уплотненном слое ( = 1,0 для сферических частиц) ; ${\displaystyle {\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }}$
• ${\displaystyle d_{\mathrm {p} }}$— диаметр эквивалентной по объему сферической частицы;
• ${\displaystyle V_{\mathrm {0} }}$- поверхностная или «пустая башня» скорость , которая прямо пропорциональна среднему объемному потоку жидкости в каналах (q) и пористости ( ). ^[7] ${\displaystyle \mathbf {\varepsilon } }$

Это уравнение справедливо для потока через насадочные слои с числами Рейнольдса частиц примерно до 1,0, после чего частое смещение каналов потока в слое приводит к значительным потерям кинетической энергии .

Это уравнение является частным случаем закона Дарси , с очень специфической проницаемостью. Закон Дарси гласит, что " поток пропорционален градиенту давления и обратно пропорционален вязкости жидкости " и задается как:

д ${\displaystyle ={\frac {\kappa }{\mu }}{\frac {\Delta P}{L}}}$

Объединение этих уравнений дает окончательное уравнение Козени для абсолютной (однофазной) проницаемости:

${\displaystyle \kappa ={\mathit {\Phi }}_{\mathrm {s} }^{2}{\frac {\varepsilon ^{3}d_{\mathrm {p} }^{2}}{180(1-\varepsilon )^{2}}}}$

где:

• ${\displaystyle \kappa }$— абсолютная (т.е. однофазная) проницаемость.

История

Уравнение было впервые ^[8] предложено Козени (1927) ^[1] и позднее модифицировано Карманом (1937, 1956). ^{[2] [3]} Аналогичное уравнение было выведено независимо Фэром и Хэтчем в 1933 году. ^[9] Был опубликован всесторонний обзор других уравнений. ^[10]

Смотрите также

• Фракционирующая колонна
• Случайная тесная упаковка
• кольцо Рашига
• Уравнение Эргуна

Ссылки

1. Дж. Козени, «Ueber kapillare Leitung des Wassers im Boden». Зитцунгсбер Акад. Висс., Вена, 136(2а): 271-306, 1927.
2. PC Carman, «Тек жидкости через зернистые слои». Труды, Институт инженеров-химиков, Лондон, 15: 150-166, 1937.
3. PC Carman, «Течение газов через пористые среды». Butterworths, Лондон, 1956.
4. Механика жидкости, Учебник № 4: Течение через пористые каналы (PDF)
5. МакКейб, Уоррен Л.; Смит, Джулиан К.; Харриот, Питер (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (седьмое изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 152–153, ISBN 0-07-284823-5
6. У, Югонг; Фань, Чжиган; Лу, Юйчжу (2003-05-01). «Объемная и внутренняя плотность упаковки случайной плотной упаковки твердых сфер». Журнал материаловедения . 38 (9): 2019–2025. doi :10.1023/A:1023597707363. ISSN  1573-4803. S2CID  137583828.
7. МакКейб, Уоррен Л.; Смит, Джулиан К.; Харриот, Питер (2005), Unit Operations of Chemical Engineering (седьмое изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill, стр. 188–189, ISBN 0-07-284823-5
8. Робер П. Шапюи и Мишель Обертен, «ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КОЭФФИЦИЕНТА ПРОНИЦАЕМОСТИ ПОЧВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ УРАВНЕНИЯ КОЗЕНИ-КАРМАН», Отчет EPM–RT–2003-03, Департамент гражданской, геологической и горнодобывающей промышленности; Политехническая школа Монреаля, январь 2003 г. https://publications.polymtl.ca/2605/1/EPM-RT-2003-03_Chapuis.pdf (по состоянию на 5 февраля 2011 г.)
9. GM Fair, LP Hatch, Основные факторы, управляющие потоком воды через песок, J. AWWA 25 (1933) 1551–1565.
10. Э. Эрдим, О. Акгирай и И. Демир, Пересмотр корреляций падения давления и скорости потока для слоев сфер, Powder Technology, том 283, октябрь 2015 г., страницы 488-504