Уравнение Туэ

Диофантово уравнение, включающее неприводимую двумерную форму степени > 2 над рациональными числами

В математике уравнение Туэ — это диофантово уравнение вида

$${\displaystyle f(x,y)=r,}$$

где — неприводимая двумерная форма степени не ниже 3 над рациональными числами , а — ненулевое рациональное число. Она названа в честь Акселя Туэ , который в 1909 году доказал , что уравнение Туэ может иметь только конечное число решений в целых числах и , результат, известный как теорема Туэ . ^[1] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Уравнение Туэ эффективно разрешимо : существует явная граница решений вида , где константы и зависят только от вида . Имеет место более сильный результат: если — поле, порожденное корнями , то уравнение имеет только конечное число решений с и целыми числами , и снова их можно эффективно определить. ^[2] ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (C_{1}r)^{C_{2}}}$ ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle K}$

Конечность решений и диофантовы приближения

Первоначальное доказательство Туэ того, что уравнение, названное в его честь, имеет конечное число решений, основано на доказательстве того, что сейчас известно как теорема Туэ : она утверждает, что для любого алгебраического числа, имеющего степень и для любого существует лишь конечное число взаимно простых целых чисел с таким, что . Применение этой теоремы позволяет почти немедленно вывести конечность решений. Однако доказательство Туэ, а также последующие усовершенствования Сигеля , Дайсона и Рота оказались неэффективными. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle d\geq 3}$ ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle q>0}$ ${\displaystyle |\alpha -p/q|<q^{-(d+1+\varepsilon )/2}}$

Алгоритм решения

Найти все решения уравнения Туэ можно с помощью практического алгоритма ^[3], который был реализован в следующих системах компьютерной алгебры :

• в PARI/GP как функции thueinit() и thue() .
• в Magma как функции ThueObject() и ThueSolve() .
• в Mathematica через Reduce[]
• в Maple через ThueSolve()

Ограничение числа решений

Хотя существует несколько эффективных методов решения уравнений Туэ (включая метод Бейкера и p -адический метод Сколема ), они не способны дать наилучшие теоретические границы числа решений. Эффективную границу уравнения Туэ можно определить по параметрам, от которых оно зависит, и по тому, насколько «хороша» эта зависимость. ${\displaystyle C(f,r)}$ ${\displaystyle f(x,y)=r}$

Лучший результат, известный на сегодняшний день, по сути, основанный на пионерской работе Бомбьери и Шмидта , ^[4] дает границу вида , где — абсолютная константа (то есть независимая как от , так и от ), а — число различных простых множителей . Наиболее значительное качественное улучшение теоремы Бомбьери и Шмидта принадлежит Стюарту , ^[5], который получил границу вида , где — делитель , превышающий по абсолютной величине . Предполагается , что можно взять границу ; то есть зависящую только от степени , но не от ее коэффициентов , и полностью независимую от целого числа в правой части уравнения. ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (r)}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \omega (\cdot )}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle C(f,r)=C\cdot (\deg f)^{1+\omega (g)}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|^{3/4}}$ ${\displaystyle C(f,r)=C(\deg f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$

Это более слабая форма гипотезы Стюарта , и является частным случаем гипотезы равномерной ограниченности для рациональных точек . Эта гипотеза была доказана для «малых» целых чисел , где малость измеряется в терминах дискриминанта формы , различными авторами, включая Эвертсе, Стюарта и Ахтари . Стюарт и Сяо продемонстрировали сильную форму этой гипотезы, утверждая, что число решений абсолютно ограничено, выполняется в среднем (как пробегает интервал с ). ^[6] ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle |r|\leq Z}$ ${\displaystyle Z\rightarrow \infty }$

Смотрите также

• Теорема Рота
• Теорема Фалтингса

Ссылки

1. А. Туэ (1909). «Über Annäherungswerte алгебраический Zahlen». Журнал для королевы и математики . 1909 (135): 284–305. дои : 10.1515/crll.1909.135.284. S2CID  125903243.
2. Бейкер, Алан (1975). Теория трансцендентных чисел . Cambridge University Press . стр. 38. ISBN 0-521-20461-5.
3. Н. Цанакис и Б. М. М. де Вегер (1989). «О практическом решении уравнения Туэ». Журнал теории чисел . 31 (2): 99–132. doi : 10.1016/0022-314X(89)90014-0 .
4. Э. Бомбьери и В.М. Шмидт (1987). «Об уравнении Туэ». Математические изобретения . 88 (2): 69–81. Бибкод : 1987InMat..88...69B. дои : 10.1007/BF01405092. S2CID  119634267.
5. CL Stewart (1991). «О числе решений полиномиальных сравнений и уравнений Туэ». Журнал Американского математического общества . 4 (4): 793–835. doi : 10.2307/2939289 . JSTOR  2939289.
6. CL Stewart и Stanley Yao Xiao (2019). «О представлении целых чисел бинарными формами». Mathematische Annalen . 375 (4): 133–163. arXiv : 1605.03427 . doi : 10.1007/s00208-019-01855-y .

Дальнейшее чтение

• Бейкер, Алан ; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том 9. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-88268-2.