Уравнение Льенара

Семейство дифференциальных уравнений второго порядка

В математике , точнее при изучении динамических систем и дифференциальных уравнений , уравнение Льенара ^[1] представляет собой разновидность обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, названного в честь французского физика Альфреда-Мари Льенара .

Во время развития радиотехники и технологии электронных ламп уравнения Льенара интенсивно изучались, поскольку их можно использовать для моделирования колебательных контуров . При некоторых дополнительных предположениях теорема Льенара гарантирует единственность и существование предельного цикла такой системы. Система Льенара с кусочно-линейными функциями может содержать и гомоклинические орбиты . ^[2]

Определение

Пусть f и g — две непрерывно дифференцируемые функции на ⁠ ⁠, ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ где f — четная функция , а g — нечетная функция . Тогда обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка вида называется уравнением Льенара . $${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+f(x){dx \over dt}+g(x)=0}$$

Система Льенара

Уравнение можно преобразовать в эквивалентную двумерную систему обыкновенных дифференциальных уравнений . Мы определяем

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

затем

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

называется системой Льенара .

Альтернативно, поскольку уравнение Льенара само по себе также является автономным дифференциальным уравнением , замена приводит к тому, что уравнение Льенара становится дифференциальным уравнением первого порядка : ${\displaystyle v={dx \over dt}}$

${\displaystyle v{dv \over dx}+f(x)v+g(x)=0}$

которое представляет собой уравнение Абеля второго рода . ^{[3] [4]}

Пример

Осциллятор Ван дер Поля

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$

представляет собой уравнение Льенара. Решение осциллятора Ван дер Поля имеет предельный цикл. Такой цикл имеет решение уравнения Льенара с отрицательным в малом и положительным в противном случае. Уравнение Ван дер Поля не имеет точного аналитического решения. Такое решение для предельного цикла существует, если – постоянная кусочная функция. ^[5] ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle |x|}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

Теорема Льенара

Система Льенара имеет единственный и устойчивый предельный цикл , окружающий начало координат, если она удовлетворяет следующим дополнительным свойствам: ^[6]

• g ( x ) > 0 для всех x > 0;
• ${\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x):=\lim _{x\to \infty }\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi \ =\infty ;}$
• F ( x ) имеет ровно один положительный корень при некотором значении p , где F ( x ) <0 для 0 < x < p и F ( x )>0 и монотонно для x > p .

Смотрите также

• Уравнение Бирюкова

Сноски

1. Льенар, А. (1928) «Этюд комплексных колебаний», Revue générale de l'électricité 23 , стр. 901–912 и 946–954.
2. Фазовая кривая и векторное поле для кусочно-линейных систем Лиенарда
3. Уравнение Льенара на eqworld .
4. Уравнение Абеля второго рода на eqworld .
5. Пилипенко А.М., Бирюков В.Н. «Исследование современных методов численного анализа эффективности автоколебательных цепей», Журнал Радиоэлектроника, № 9, (2013). http://jre.cplire.ru/jre/aug13/9/text-engl.html
6. Доказательство см. Перко, Лоуренс (1991). Дифференциальные уравнения и динамические системы (Третье изд.). Нью-Йорк: Спрингер. стр. 254–257. ISBN 0-387-97443-1.

Внешние ссылки

• «Уравнение Льенара», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• LienardSystem в PlanetMath .