Уравнение баланса населения

Уравнения баланса популяции (PBE) были введены в нескольких отраслях современной науки, в основном в химической инженерии , ^[1] чтобы описать эволюцию популяции частиц. Это включает в себя такие темы, как кристаллизация , ^[2] выщелачивание (металлургия) , ^{[3] [4]} экстракция жидкость-жидкость , дисперсии газ-жидкость, такие как электролиз воды , ^[5] реакции жидкость-жидкость, измельчение, аэрозольная инженерия, биология (где отдельные сущности являются клетками на основе их размера или внутриклеточных белков ^[6] ), полимеризация и т. д. Можно сказать, что уравнения баланса популяции выведены как расширение уравнения коагуляции Смолуховского , которое описывает только коалесценцию частиц. PBE, в более общем смысле, определяют, как популяции отдельных сущностей развиваются в определенных свойствах с течением времени. Они представляют собой набор интегро-частных дифференциальных уравнений, которые дают поведение среднего поля популяции частиц из анализа поведения отдельной частицы в локальных условиях. ^[7] Системы частиц характеризуются рождением и смертью частиц. Например, рассмотрим процесс осаждения (образование твердого вещества из жидкого раствора), который имеет подпроцессы зародышеобразования , агломерации , разрушения и т. д., которые приводят к увеличению или уменьшению числа частиц определенного радиуса (предполагая образование сферических частиц). Баланс популяции есть не что иное, как баланс числа частиц определенного состояния (в данном примере размера ).

Формулировка ПБЭ

Рассмотрим среднее число частиц со свойствами частиц, обозначенными вектором состояния частицы ( x , r ) (где x соответствует свойствам частицы, таким как размер, плотность и т. д., также известным как внутренние координаты, а r соответствует пространственному положению или внешним координатам), рассеянных в непрерывной фазе, определяемой вектором фазы Y( r ,t) (который снова является функцией всех таких векторов, которые обозначают свойства фазы в различных местах), обозначено как f( x , r ,t). Следовательно, это дает характеристики частиц в доменах свойств и пространства. Пусть h( x , r , Y ,t) обозначает скорость рождения частиц на единицу объема пространства состояний частиц, поэтому сохранение числа можно записать как ^[7]

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,f(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,t)=\int _{\Omega _{x}(t)}dV_{x}\int _{\Omega _{r}(t)}dV_{r}\,h(\mathbf {x} ,\mathbf {r} ,\mathbf {Y} ,t)}$

Это обобщенная форма PBE. ^[7]

Решение PBE

Для решения этих уравнений в основном используются методы Монте-Карло ^[8] , ^[9], методы дискретизации ^[10] и методы моментов ^{[8] [9] [11] [12] [13] [14]} . Выбор зависит от приложения и вычислительной инфраструктуры. ^[1]

Ссылки

1. Totis, Niccolò; Nieto, César; Küper, Armin; Vargas-García, César; Singh, Abhyudai; Waldherr, Steffen (апрель 2021 г.). «Подход на основе популяции к изучению эффектов темпов роста и деления на динамику статистики размеров клеток». IEEE Control Systems Letters . 5 (2): 725–730. doi :10.1109/LCSYS.2020.3005069. ISSN  2475-1456. S2CID  220606401.
2. Hulburt, HM; Katz, S. (август 1964). «Некоторые проблемы в технологии частиц». Chemical Engineering Science . 19 (8): 555–574. doi :10.1016/0009-2509(64)85047-8.
3. Бортот Коэльо, Фабрисио Эдуардо; Баларини, Хулио Сезар; Араужо, Эстеван Маньу Родригес; Миранда, Таня Люсия Сантос; Перес, Антонио Эдуардо Кларк; Мартинс, Афонсу Энрикес; Салум, Адриана (июнь 2020 г.). «Балансовый подход к прогнозированию производительности реакторов непрерывного выщелачивания: проверка модели на пилотной установке с использованием обожженного цинкового концентрата». Гидрометаллургия . 194 : 105301. Бибкод : 2020HydMe.19405301B. doi :10.1016/j.гидромет.2020.105301. S2CID  216301270.
4. Коэльо, Фабрисио Эдуардо Борто; Баларини, Хулио Сезар; Араужо, Эстеван Маньу Родригеш; Миранда, Таня Люсия Сантос; Перес, Антонио Эдуардо Кларк; Мартинс, Афонсу Энрикеш; Салум, Адриана (январь 2018 г.). «Выщелачивание обожженного цинкового концентрата: моделирование и проверка баланса населения». Гидрометаллургия . 175 : 208–217. Бибкод : 2018HydMe.175..208C. doi :10.1016/j.гидромет.2017.11.013.
5. Bisang JM, Colli AN (2022). «Распределение тока и потенциала в двухфазных (газообразующих) электрохимических реакторах методом конечного объема». Журнал Электрохимического общества . 169 (3): 034524. Bibcode : 2022JElS..169c4524C. doi : 10.1149/1945-7111/ac5d90. S2CID  247463029.
6. Alhuthali, Sakhr; Fadda, Sarah; Goey, Cher H.; Kontoravdi, Cleo (2017-01-01). «Многоступенчатая модель баланса популяции для понимания динамики культуры клеток CHO с подпиткой». В Espuña, Antonio; Graells, Moisès; Puigjaner, Luis (ред.). 27-й Европейский симпозиум по компьютерной инженерии процессов . 27 Европейский симпозиум по компьютерной инженерии процессов. Том 40. Elsevier. С. 2821–2826. doi :10.1016/B978-0-444-63965-3.50472-4. ISBN 9780444639653. {{cite book}}: |work=проигнорировано ( помощь )
7. Рамкришна, Д.: Балансы населения: теория и применение к системам частиц в инженерии , Academic Press, 2000
8. Hashemian, N.; Armaou, A. (2016). «Моделирование, редукция модели и оценка состояния двухкомпонентного процесса коагуляции». Журнал AIChE . 62 (5): 1557–1567. doi :10.1002/aic.15146.
9. Hashemian, N.; Ghanaatpishe, M.; Armaou, A. (2016). «Разработка модели пониженного порядка для процессов двухкомпонентной грануляции с использованием полиномов Лагерра». 2016 American Control Conference (ACC) . стр. 3668–3673. doi :10.1109/ACC.2016.7525483. ISBN 978-1-4673-8682-1. S2CID  7505525.
10. Lehnigk, Ronald; Bainbridge, William; Liao, Yixiang; Lucas, Dirk; Niemi, Timo; Peltola, Juho; Schlegel, Fabian (2022). "Открытая структура моделирования баланса популяции для моделирования полидисперсных многофазных потоков". AIChE Journal . 68 (3). doi : 10.1002/aic.17539 . S2CID  245082193.
11. Описание динамики аэрозоля методом квадратурных моментов, Роберт Макграва, Aerosol Science and Technology, том 27, выпуск 2, 1997, страницы 255-265
12. Ю, М., Лин, Дж. и Чан, Т. (2008). Новый моментный метод решения уравнения коагуляции для частиц в броуновском движении. Aerosol Sci. Technol., 42(9):705–713.
13. Маркизио, Д. Л. и Фокс, Р. О. (2005). Решение уравнений баланса населения с использованием метода прямых квадратур моментов. J. Aerosol Sci., 36(1):43–73.
14. Andalibi, M. Reza; Kumar, Abhishek; Srinivasan, Bhuvanesh; Bowen, Paul; Scrivener, Karen; Ludwig, Christian; Testino, Andrea (2018). «О мезомасштабном механизме осаждения синтетического кальций-силикат-гидрата: подход моделирования баланса популяции». Journal of Materials Chemistry A. 6 ( 2): 363–373. doi :10.1039/C7TA08784E. ISSN  2050-7488.