Уравнение Бейтмана

Математическая модель в ядерной физике

В ядерной физике уравнение Бейтмана представляет собой математическую модель, описывающую распространенность и активность в цепочке распада как функцию времени, основанную на скоростях распада и начальной распространенности. Модель была сформулирована Эрнестом Резерфордом в 1905 году ^[1] , а аналитическое решение было предоставлено Гарри Бейтманом в 1910 году. ^[2]

Если в момент времени t имеются атомы изотопа , распадающиеся на изотоп со скоростью , то количество изотопов в k -шаговой цепочке распада меняется следующим образом: ${\displaystyle N_{i}(t)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dN_{1}(t)}{dt}}&=-\lambda _{1}N_{1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{i}(t)}{dt}}&=-\lambda _{i}N_{i}(t)+\lambda _{i-1}N_{i-1}(t)\\[3pt]{\frac {dN_{k}(t)}{dt}}&=\lambda _{k-1}N_{k-1}(t)\end{aligned}}}$

(это можно адаптировать для обработки ветвей распада). Хотя это можно решить явно для i  = 2, формулы быстро становятся громоздкими для более длинных цепей. ^[3] Уравнение Бейтмана является классическим основным уравнением , в котором скорости перехода разрешены только от одного вида (i) к следующему (i+1), но никогда в обратном смысле (i+1 к i запрещено).

Бейтман нашел общую явную формулу для сумм, применив преобразование Лапласа к переменным.

${\displaystyle N_{n}(t)=N_{1}(0)\times \left(\prod _{i=1}^{n-1}\lambda _{i}\right)\times \sum _{i=1}^{n}{\frac {e^{-\lambda _{i}t}}{\prod \limits _{j=1,j\neq i}^{n}\left(\lambda _{j}-\lambda _{i}\right)}}}$

(его также можно расширить с помощью исходных членов, если больше атомов изотопа i поступает извне с постоянной скоростью). ^[4]

Расчет количества с помощью функции Бейтмана для плутония-241

Хотя формулу Бейтмана можно реализовать в компьютерном коде, если для некоторой пары изотопов катастрофическое сокращение может привести к вычислительным ошибкам. Поэтому также используются другие методы, такие как численное интегрирование или матричный экспоненциальный метод. ^[5] ${\displaystyle \lambda _{j}\approx \lambda _{i}}$

Например, для простого случая цепочки из трех изотопов соответствующее уравнение Бейтмана сводится к

${\displaystyle {\begin{aligned}&A\,{\xrightarrow {\lambda _{A}}}\,B\,{\xrightarrow {\lambda _{B}}}\,C\\[4pt]&N_{B}={\frac {\lambda _{A}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}N_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

Что дает следующую формулу для активности изотопа (подставляя ) ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A=\lambda N}$

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{B}={\frac {\lambda _{B}}{\lambda _{B}-\lambda _{A}}}A_{A_{0}}\left(e^{-\lambda _{A}t}-e^{-\lambda _{B}t}\right)\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Гарри Бейтман
• Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц
• Переходное равновесие
• Светское равновесие
• Фармакокинетика , свободная применимость

Ссылки

1. Резерфорд, Э. (1905). Радиоактивность. University Press. стр. 331
2. Бейтман, Х. (1910, июнь). Решение системы дифференциальных уравнений, встречающихся в теории радиоактивных превращений. В Proc. Cambridge Philos. Soc (т. 15, № п. V, стр. 423–427) https://archive.org/details/cbarchive_122715_solutionofasystemofdifferentia1843
3. "Архивная копия" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2013-09-27 . Получено 2013-09-22 .{{cite web}}: CS1 maint: архивная копия как заголовок ( ссылка )
4. «Нуклеоника».
5. Харр, Логан (2007-03-15). "Точный расчет сложных цепочек радиоактивного распада" (PDF) . Диссертация (опубликовано в 2007 г.).