Уравнение диффузии

Уравнение, описывающее изменение плотности материала, диффундирующего в среде.

Уравнение диффузии представляет собой параболическое уравнение в частных производных . В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в броуновском движении , возникающее в результате случайных движений и столкновений частиц (см. законы диффузии Фика ). В математике это связано с марковскими процессами , такими как случайные блуждания , и применяется во многих других областях, таких как материаловедение , теория информации и биофизика . Уравнение диффузии представляет собой частный случай уравнения конвекции-диффузии, когда объемная скорость равна нулю. В некоторых обстоятельствах это эквивалентно уравнению теплопроводности .

Заявление

Уравнение обычно записывается как:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot {\big [}D(\phi ,\mathbf {r} )\ \nabla \phi (\mathbf {r} ,t){\big ]},}$

где φ ( r , t ) — плотность диффундирующего материала в месте r и время t , а D ( φ , r ) — коллективный коэффициент диффузии для плотности φ в месте r ; и ∇ представляет векторный дифференциальный оператор del . Если коэффициент диффузии зависит от плотности, то уравнение нелинейное, в противном случае — линейное.

Уравнение выше применимо, когда коэффициент диффузии изотропен ; в случае анизотропной диффузии D представляет собой симметричную положительно определенную матрицу , и уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{ij}(\phi ,\mathbf {r} ){\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial x_{j}}}\right]}$

Если D постоянно, то уравнение сводится к следующему линейному дифференциальному уравнению :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=D\nabla ^{2}\phi (\mathbf {r} ,t),}$

которое идентично уравнению теплопроводности .

Историческое происхождение

Уравнение диффузии частиц было первоначально выведено Адольфом Фиком в 1855 году. ^[1]

Вывод

Уравнение диффузии можно тривиально вывести из уравнения неразрывности , которое утверждает, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. По сути, никакой материал не создается и не уничтожается:

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,}$$

где j — поток диффундирующего материала. Уравнение диффузии можно легко получить из этого в сочетании с феноменологическим первым законом Фика , который гласит, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:

$${\displaystyle \mathbf {j} =-D(\phi ,\mathbf {r} )\,\nabla \phi (\mathbf {r} ,t).}$$

Если необходимо принять во внимание дрейф, уравнение Фоккера – Планка дает подходящее обобщение.

Дискретизация

Уравнение диффузии непрерывно в пространстве и времени. Можно дискретизировать пространство, время или пространство и время, возникающие в процессе применения. Дискретизация времени сама по себе соответствует взятию временных интервалов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает. Только при дискретизации пространства функция Грина становится дискретным ядром Гаусса , а не непрерывным ядром Гаусса . Дискретизируя время и пространство, можно получить случайное блуждание .

Дискретизация (изображение)

Правило произведения используется для переписывания анизотропного тензорного уравнения диффузии в стандартных схемах дискретизации, поскольку прямая дискретизация уравнения диффузии только с пространственными центральными разностями первого порядка приводит к артефактам шахматной доски. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:

$${\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {r} ,t)}{\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(\phi ,\mathbf {r} )\right]\nabla \phi (\mathbf {r} ,t)+{\rm {tr}}{\Big [}D(\phi ,\mathbf {r} ){\big (}\nabla \nabla ^{T}\phi (\mathbf {r} ,t){\big )}{\Big ]}}$$

где «tr» обозначает след тензора 2-го ранга , а верхний индекс « T » обозначает транспонирование , в котором при фильтрации изображений D ( φ , r ) являются симметричными матрицами, построенными из собственных векторов тензоров структуры изображения . Пространственные производные затем могут быть аппроксимированы двумя центральными конечными разностями первого и второго порядка . Полученный алгоритм диффузии можно записать как свертку изображений с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.

Смотрите также

• Уравнение непрерывности
• Уравнение теплопроводности
• Уравнение Фоккера – Планка
• Законы диффузии Фика
• Уравнение Максвелла – Стефана
• Уравнение переноса излучения и теория диффузии для транспорта фотонов в биологической ткани
• Оптимизация распространения
• Численное решение уравнения конвекции–диффузии

Рекомендации

1. Фик, Адольф (1855). «Уэбер-диффузия». Аннален дер Физик и Химия . 170 (1): 59–86. Бибкод : 1855АнП...170...59F. дои : 10.1002/andp.18551700105 . ISSN  0003-3804.

дальнейшее чтение

• Карслоу, Х.С. и Джагер, Дж.К. (1959). Проводимость тепла в твердых телах . Оксфорд: Кларендон Пресс
• Кранк, Дж. (1956). Математика диффузии . Оксфорд: Кларендон Пресс
• Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: WA Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1 
• Тамбынаягам, РК М (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров . МакГроу-Хилл

Внешние ссылки

• Калькулятор диффузии примесей и легирующих добавок в кремнии. Архивировано 2 мая 2009 г. в Wayback Machine.
• Учебное пособие по теории и решению уравнения диффузии.
• Классическая и наномасштабная диффузия (с рисунками и анимацией)