кривая Морделла

Эллиптическая кривая

y ² = x ³ + 1, с решениями в (-1, 0), (0, 1) и (0, -1)

В алгебре кривая Морделла — это эллиптическая кривая вида y ² = x ³ + n , где n — фиксированное целое число, отличное от нуля . ^[1]

Эти кривые были тщательно изучены Луисом Морделлом ^[2] с точки зрения определения их целочисленных точек. Он показал, что каждая кривая Морделла содержит только конечное число целочисленных точек ( x , y ). Другими словами, разности полных квадратов и полных кубов стремятся к бесконечности. Вопрос о том, насколько быстро, был решен в принципе методом Бейкера . Гипотетически этот вопрос решается гипотезой Маршалла Холла .

Характеристики

• Если ( x , y ) — целочисленная точка на кривой Морделла, то таковой является и ( x , − y ).
• Если ( x , y ) — рациональная точка на кривой Морделла с y ≠ 0, то таковой является и ( ⁠х ⁴ − 8 нх/4 г. ²⁠ , ⁠− х ⁶ − 20 пх ³ + 8 п ²/8 лет ³⁠ ) ​​. Более того, если xy ≠ 0 и n не равно 1 или −432, бесконечное число рациональных решений может быть сгенерировано таким образом. Эта формула известна как формула дублирования Баше . ^[3]
• Когда n ≠ 0, кривая Морделла имеет лишь конечное число целочисленных решений (см. теорему Зигеля о целых точках ).
• Существуют определенные значения n , для которых соответствующая кривая Морделла не имеет целочисленных решений; ^[1] эти значения таковы:

6, 7, 11, 13, 14, 20, 21, 23, 29, 32, 34, 39, 42, ... (последовательность A054504 в OEIS ).

−3, −5, −6, −9, −10, −12, −14, −16, −17, −21, −22, ... (последовательность A081121 в OEIS ).

• Конкретный случай, когда n = −2, также известен как теорема Ферма о сэндвиче . ^[4]

Список решений

Ниже приведен список решений кривой Морделла y ² = x ³ + n для | n | ≤ 25. Показаны только решения с y ≥ 0.

В 1998 году Й. Гебель, А. Пете, Х. Г. Циммер нашли все целые точки для 0 < | n | ≤ 10 ⁴ . ^{[5] [6]}

В 2015 году М. А. Беннетт и А. Гадермарзи вычислили целочисленные точки для 0 < | n | ≤ 10 ⁷ . ^[7]

Ссылки

1. Вайсштейн, Эрик В. «Кривая Морделла». Математический мир .
2. Луис Морделл (1969). Диофантовы уравнения .
3. Сильверман, Джозеф ; Тейт, Джон (1992). «Введение». Рациональные точки на эллиптических кривых (2-е изд.). С. xvi.
4. Weisstein, Eric W. "Теорема Ферма о сэндвиче". MathWorld . Получено 24 марта 2022 г. .
5. Гебель, Дж.; Пето, А.; Циммер, Х.Г. (1998). «Об уравнении Морделла». Математическая композиция . 110 (3): 335–367. дои : 10.1023/А:1000281602647 .
6. Последовательности OEIS : A081119 и OEIS : A081120 .
7. MA Bennett, A. Ghadermarzi (2015). «Уравнение Морделла: классический подход» (PDF) . LMS Journal of Computation and Mathematics . 18 : 633–646. arXiv : 1311.7077 . doi : 10.1112/S1461157015000182.

Внешние ссылки

• Дж. Гебель, Данные по кривым Морделла для –10000 ≤ n ≤ 10000
• М. Беннетт, Данные по кривым Морделла для –107 ≤ n ≤ 107