Уравнение в частных производных второго порядка, описывающее движение механической системы
В вариационном исчислении и классической механике уравнения Эйлера –Лагранжа [1] представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка , решениями которой являются стационарные точки заданного функционала действия . Уравнения были открыты в 1750-х годах швейцарским математиком Леонардом Эйлером и итальянским математиком Жозефом-Луи Лагранжем .
Поскольку дифференцируемый функционал стационарен в своих локальных экстремумах , уравнение Эйлера-Лагранжа полезно для решения задач оптимизации , в которых по заданному функционалу ищут функцию, минимизирующую или максимизирующую его. Это аналогично теореме Ферма в исчислении , утверждающей, что в любой точке, где дифференцируемая функция достигает локального экстремума, ее производная равна нулю. В лагранжевой механике , согласно принципу стационарного действия Гамильтона , эволюция физической системы описывается решениями уравнения Эйлера для действия системы . В этом контексте уравнения Эйлера обычно называют уравнениями Лагранжа . В классической механике [ 2] это эквивалентно законам движения Ньютона ; действительно, уравнения Эйлера-Лагранжа дадут те же уравнения, что и законы Ньютона. Это особенно полезно при анализе систем, векторы сил которых особенно сложны. Его преимущество состоит в том, что он принимает одинаковую форму в любой системе обобщенных координат и лучше подходит для обобщений. В классической теории поля существует аналогичное уравнение для расчета динамики поля .
История
Уравнение Эйлера–Лагранжа было разработано в 1750-х годах Эйлером и Лагранжем в связи с исследованием ими проблемы таутохрона . Это задача определения кривой, по которой взвешенная частица упадет в фиксированную точку за фиксированный промежуток времени, независимо от начальной точки.
Лагранж решил эту задачу в 1755 году и отправил решение Эйлеру. Оба далее развили метод Лагранжа и применили его к механике , что привело к формулировке лагранжевой механики . Их переписка в конечном итоге привела к вариационному исчислению — термину, придуманному самим Эйлером в 1766 году. [3]
Заявление
Пусть — реальная динамическая система со степенями свободы. Вот конфигурационное пространство и лагранжиан , т.е. гладкая вещественная функция такая, что и является -мерным «вектором скорости». (Для тех, кто знаком с дифференциальной геометрией , – гладкое многообразие , а где – касательное расслоение к
Пусть – множество гладких путей, для которых и
Функционал действия определяется через
Путь является стационарной точкой тогда и только тогда, когда
Здесь – производная по времени. Когда мы говорим «стационарная точка», мы имеем в виду стационарную точку по отношению к любому небольшому возмущению в . Более подробную информацию см. в доказательствах ниже.
Вывод одномерного уравнения Эйлера–ЛагранжаВывод одномерного уравнения Эйлера–Лагранжа является одним из классических доказательств в математике . Оно опирается на фундаментальную лемму вариационного исчисления .
Мы хотим найти функцию , которая удовлетворяет граничным условиям , , и которая экстремизирует функционал
Предположим, что дважды непрерывно дифференцируемо. [4] Можно использовать более слабое предположение, но доказательство усложняется. [ нужна цитата ]
Если экстремизирует функционал с учетом граничных условий, то любое небольшое его возмущение, сохраняющее граничные значения, должно либо увеличиваться (если является минимизатором), либо уменьшаться (если является максимизатором).
Позвольте быть результатом такого возмущения , где мало и является дифференцируемой функцией, удовлетворяющей . Затем определите
Теперь мы хотим вычислить полную производную по ε .
Третья строка следует из того, что не зависит от , т.е.
Когда , имеет экстремальное значение, так что
Следующий шаг — использовать интегрирование по частям по второму члену подынтегральной функции, что дает
Используя граничные условия ,
Применение фундаментальной леммы вариационного исчисления теперь дает уравнение Эйлера – Лагранжа.
Альтернативный вывод одномерного уравнения Эйлера – ЛагранжаУчитывая функционал
При выполнении граничных условий и продолжим аппроксимировать экстремальную кривую ломаной с отрезками и переходить к пределу при сколь угодно большом увеличении числа отрезков.
Разделите интервал на равные отрезки с концами и пусть . Вместо гладкой функции мы рассматриваем ломаную с вершинами , где и . Соответственно, наш функционал становится вещественной функцией переменных, заданной выражением
Экстремали этого нового функционала, определенного на дискретных точках, соответствуют точкам, где
Обратите внимание, что изменение L влияет не только на m, но и на m-1 для производной 3-го аргумента.
Оценка частной производной дает
Разделив приведенное выше уравнение на, получим
и взяв предел в правой части этого выражения, получим
Левая часть предыдущего уравнения является функциональной производной функционала . Необходимым условием того, чтобы дифференцируемый функционал имел экстремум на некоторой функции, является то, что его функциональная производная в этой функции обращается в нуль, что обеспечивается последним уравнением.
Пример
Стандартный пример [ нужна ссылка ] — поиск действительной функции y ( x ) на интервале [ a , b ], такой, что y ( a ) = c и y ( b ) = d , для которой длина пути вдоль кривая, очерченная y , является максимально короткой.
подынтегральная функция равна .
Частные производные L :
Подставив их в уравнение Эйлера–Лагранжа, получим
то есть функция должна иметь постоянную первую производную, и, следовательно, ее график представляет собой прямую линию .
Обобщения
Единая функция одной переменной с высшими производными
Стационарные значения функционала
можно получить из уравнения Эйлера–Лагранжа [5]
при фиксированных граничных условиях как для самой функции, так и для первых производных (т.е. для всех ). Конечные значения высшей производной остаются гибкими.
Несколько функций одной переменной с одной производной
Если задача состоит в нахождении нескольких функций ( ) от одной независимой переменной ( ), определяющих экстремум функционала
то соответствующие уравнения Эйлера–Лагранжа имеют вид [6]
Единая функция нескольких переменных с одной производной
Многомерное обобщение происходит при рассмотрении функции от n переменных. Если это некоторая поверхность, то
экстремизируется только в том случае, если f удовлетворяет уравнению в частных производных
Когда n = 2 и функционал является энергетическим функционалом , это приводит к проблеме минимальной поверхности мыльной пленки .
Несколько функций нескольких переменных с одной производной
Если имеется несколько неизвестных функций, подлежащих определению, и несколько переменных таких, что
система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид [5]
Единая функция двух переменных с высшими производными
Если необходимо определить одну неизвестную функцию f , которая зависит от двух переменных x 1 и x 2 , и если функционал зависит от высших производных f до n -го порядка, таких что
тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид [5]
что коротко можно представить как:
где - индексы, охватывающие количество переменных, то есть здесь они идут от 1 до 2. Здесь суммирование по индексам заканчивается только для того, чтобы избежать многократного счета одной и той же частной производной, например, в предыдущем уравнении появляется только один раз. .
Несколько функций нескольких переменных с высшими производными
Если имеется p неизвестных функций f i , подлежащих определению, которые зависят от m переменных x 1 ... x m , и если функционал зависит от высших производных f i до n -го порядка таких, что
где - индексы, охватывающие количество переменных, то есть они идут от 1 до m. Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа имеет вид
где суммирование по избегает подсчета одной и той же производной несколько раз, как и в предыдущем подразделе. Более компактно это можно выразить как
Обобщение на многообразия
Пусть – гладкое многообразие , и пусть обозначает пространство гладких функций . Тогда для функционалов вида
где – лагранжиан, утверждение эквивалентно утверждению, что для всех тривиализация каждой системы координат окрестности дает следующие уравнения:
Уравнения Эйлера-Лагранжа также можно записать в бескоординатной форме как [7]
где – канонические импульсы 1-формы , соответствующие лагранжиану . Векторное поле, генерирующее временные сдвиги, обозначается, а производная Ли обозначается . Можно использовать локальные диаграммы, в которых и и использовать координатные выражения для производной Ли, чтобы увидеть эквивалентность координатным выражениям уравнения Эйлера-Лагранжа. Свободная координатная форма особенно подходит для геометрической интерпретации уравнений Эйлера-Лагранжа.
Смотрите также
Найдите уравнение Эйлера – Лагранжа в Викисловаре, бесплатном словаре.
Примечания
- ^ Фокс, Чарльз (1987). Введение в вариационное исчисление . Публикации Courier Dover. ISBN 978-0-486-65499-7.
- ^ Гольдштейн, Х .; Пул, CP; Сафко, Дж. (2014). Классическая механика (3-е изд.). Эддисон Уэсли.
- ^ Краткая биография Лагранжа. Архивировано 14 июля 2007 г. в Wayback Machine.
- ^ Курант и Гильберт 1953, с. 184
- ^ abc Курант, Р .; Гильберт, Д. (1953). Методы математической физики . Том. Я (Первое английское изд.). Нью-Йорк: ISBN Interscience Publishers, Inc. 978-0471504474.
- ^ Вайнсток, Р. (1952). Вариационное исчисление с приложениями к физике и технике . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
- ^ Хосе; Салетан (1998). «Классическая динамика: современный подход». Издательство Кембриджского университета . ISBN 9780521636360. Проверено 12 сентября 2023 г.
Рекомендации