Проблема собственных значений для оператора Лапласа
В математике уравнение Гельмгольца — это проблема собственных значений оператора Лапласа . Ему соответствует линейное уравнение в частных производных :
![{\displaystyle \nabla ^{2}f=-k^{2}f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
∇ 2k 2fkволновым числомволновое уравнениеуравнение диффузииуравнение ШрёдингераВ оптике уравнение Гельмгольца — волновое уравнение для электрического поля . [1]
Уравнение названо в честь Германа фон Гельмгольца , изучавшего его в 1860 году. [2]
Мотивация и использование
Уравнение Гельмгольца часто возникает при изучении физических проблем, включающих уравнения в частных производных (ЧДУ) как в пространстве, так и во времени. Уравнение Гельмгольца, которое представляет собой независимую от времени форму волнового уравнения , является результатом применения метода разделения переменных для уменьшения сложности анализа.
Например, рассмотрим волновое уравнение
![{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right )u(\mathbf {r},t)=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Разделение переменных начинается с предположения, что волновая функция u ( r , t ) на самом деле разделима:
![{\ displaystyle u (\ mathbf {r}, t) = A (\ mathbf {r}) T (t).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Подставив эту форму в волновое уравнение и затем упростив, получим следующее уравнение:
![{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}={\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T} {\ mathrm {d} t^{2}}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Обратите внимание, что выражение в левой части зависит только от r , тогда как правое выражение зависит только от t . В результате это уравнение справедливо в общем случае тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны одному и тому же постоянному значению. Этот аргумент является ключевым в технике решения линейных уравнений в частных производных методом разделения переменных. Из этого наблюдения мы получаем два уравнения: одно для A ( r ) , другое для T ( t ):
![{\displaystyle {\frac {\nabla ^{2}A}{A}}=-k^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}T}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}=-k^ {2},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где мы выбрали без ограничения общности выражение − k 2 для значения константы. ( В качестве константы разделения также допустимо использовать любую константу k ; − k 2 выбрано только для удобства в получаемых решениях.)
Переставив первое уравнение, получим уравнение Гельмгольца:
![{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Аналогично, после замены ω = kc , где k — волновое число , а ω — угловая частота (в предположении монохроматического поля), второе уравнение принимает вид
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}T}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({\frac {\mathrm { d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\omega ^{2}\right)T=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Теперь у нас есть уравнение Гельмгольца для пространственной переменной r и обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка по времени. Решением во времени будет линейная комбинация функций синуса и косинуса , точный вид которых определяется начальными условиями, а вид решения в пространстве будет зависеть от граничных условий . Альтернативно, интегральные преобразования , такие как преобразование Лапласа или Фурье , часто используются для преобразования гиперболического УЧП в форму уравнения Гельмгольца.
Из-за своей связи с волновым уравнением уравнение Гельмгольца возникает в задачах таких областей физики, как исследование электромагнитного излучения , сейсмология и акустика .
Решение уравнения Гельмгольца с использованием разделения переменных
Решение пространственного уравнения Гельмгольца:
![{\displaystyle \nabla ^{2}A=-k^{2}A}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
разделения переменныхВибрирующая мембрана
Двумерным аналогом колеблющейся струны является колеблющаяся мембрана, края которой зажаты для неподвижности. Уравнение Гельмгольца было решено для многих основных форм в 19 веке: прямоугольная мембрана Симеона Дени Пуассона в 1829 году, равносторонний треугольник Габриэля Ламе в 1852 году и круглая мембрана Альфреда Клебша в 1862 году. Эллиптический барабанный пластик изучал Эмиль. Матье , что приводит к дифференциальному уравнению Матье .
Если края фигуры представляют собой отрезки прямых, то решение интегрируемо или познаваемо в замкнутой форме только в том случае, если оно выражается как конечная линейная комбинация плоских волн, удовлетворяющих граничным условиям (ноль на границе, т. е. мембрана, зажатая ).
Если область представляет собой круг радиуса a , то уместно ввести полярные координаты r и θ . Уравнение Гельмгольца принимает вид
![{\displaystyle A_{rr}+{\frac {1}{r}}A_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}A_{\theta \theta }+k^{2} А=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Мы можем наложить граничное условие, согласно которому A обращается в нуль, если r = a ; таким образом
![{\ displaystyle A (a, \ theta) = 0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
метод разделения переменных приводит к пробным решениям вида
![{\ displaystyle A (r, \ theta) = R (r) \ Theta (\ theta),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Θ2 π![{\displaystyle \Theta ''+n^{2}\Theta =0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r^{2}R''+rR'+r^{2}k^{2}Rn^{2}R=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Из условия периодичности следует, что
![{\displaystyle \Theta =\alpha \cos n\theta +\beta \sin n\theta,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
nR![{\displaystyle R(r)=\gamma J_{n}(\rho),}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
функция Бесселя J n ( ρ )![{\displaystyle \rho ^{2}J_{n}''+\rho J_{n}'+(\rho ^{2}-n^{2})J_{n}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ρ = крJn имеет бесконечно много корнейn ,ρm , nAr = a![{\displaystyle k_{m,n}={\frac {1}{a}}\rho _{m,n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Тогда общее решение A принимает форму обобщенного ряда Фурье , включающего произведения J n ( km ,n r ) и синуса (или косинуса) nθ . Эти решения представляют собой формы вибрации круглого пластика барабана .
Трехмерные решения
В сферических координатах решение:
![{\ displaystyle A (r, \ theta, \ varphi) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty } \ sum _ {m = - \ ell } ^ {\ ell } \ left (a_ {\ ell m}j_ {\ell }(kr)+b_{\ell m}y_ {\ell }(kr)\right)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это решение возникает из пространственного решения волнового уравнения и уравнения диффузии . Здесь jℓ ( kr ) и yℓ ( kr ) — сферические функции Бесселя , а Y м
ℓ( θ , φ ) — сферические гармоники (Абрамовиц и Стегун, 1964). Обратите внимание, что эти формы являются общими решениями и требуют указания граничных условий для использования в каждом конкретном случае. Для бесконечных внешних областей также может потребоваться условие радиации (Зоммерфельд, 1949).
Записав r 0 = ( x , y , z ) функция A ( r 0 ) имеет асимптотику
![{\displaystyle A(r_{0})={\frac {e^{ikr_{0}}}{r_{0}}}f\left({\frac {\mathbf {r} _{0}} r_{0}}},k,u_{0}\right)+o\left({\frac {1}{r_{0}}}\right){\text{ as }}r_{0}\to \инфти }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где функция f называется амплитудой рассеяния, а u0 ( r0 ) — значение A в каждой граничной точке r0 .
Трехмерные решения с заданной функцией на двумерной плоскости
Для двумерной плоскости, где известно значение A, решение уравнения Гельмгольца определяется следующим образом: [3]
![{\displaystyle A(x,y,z)=-{\frac {1}{2\pi }}\iint _{-\infty }^{+\infty }A'(x',y'){\ frac {e^{ikr}}{r}}{\frac {z}{r}}\left(ik-{\frac {1}{r}}\right)\,dx'dy',}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где
- решение в двумерной плоскости,![{\displaystyle r = {\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2}}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Когда z приближается к нулю, все вклады интеграла исчезают, за исключением r=0. Таким образом, до числового коэффициента, который можно проверить как 1, преобразуя интеграл в полярные координаты .![{\displaystyle A(x,y,0)=A'(x,y)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (\rho,\theta)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это решение важно в теории дифракции, например, при выводе дифракции Френеля .
Параксиальное приближение
В параксиальном приближении уравнения Гельмгольца [4] комплексная амплитуда A выражается как
![{\ displaystyle A (\ mathbf {r}) = u (\ mathbf {r}) e ^ {ikz}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
uu![{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}u+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
лапласиана![{\textstyle \nabla _{\perp }^{2}{\overset {\text{ def }}{=}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+ {\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это уравнение имеет важные применения в науке об оптике , где оно дает решения, описывающие распространение электромагнитных волн (света) в форме либо параболоидальных волн, либо гауссовских лучей . Большинство лазеров излучают лучи именно такой формы.
Предположение, при котором справедливо параксиальное приближение, состоит в том, что производная по z амплитудной функции u является медленно меняющейся функцией z :
![{\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k {\frac {\partial u}{\partial z} }\вправо|.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Это условие эквивалентно тому, что угол θ между волновым вектором k и оптической осью z мал: θ ≪ 1 .
Параксиальная форма уравнения Гельмгольца находится подстановкой приведенного выше выражения для комплексной амплитуды в общий вид уравнения Гельмгольца следующим образом:
![{\displaystyle \nabla ^{2}(u\left(x,y,z\right)e^{ikz})+k^{2}u\left(x,y,z\right)e^{ikz }=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Расширение и аннулирование дает следующее:
![{\displaystyle \left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\ вправо)u(x,y,z)e^{ikz}+\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}u(x,y,z)\right )e^{ikz}+2\left({\frac {\partial }{\partial z}}u(x,y,z)\right)ik{e^{ikz}}=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Из-за сформулированного выше параксиального неравенства слагаемым ∂ 2 u /∂ z 2 пренебрегают по сравнению с слагаемым k ·∂ u /∂ z . Это дает параксиальное уравнение Гельмгольца. Подстановка u ( r ) = A ( r ) e − ikz дает параксиальное уравнение для исходной комплексной амплитуды A :
![{\displaystyle \nabla _{\perp }^{2}A+2ik{\frac {\partial A}{\partial z}}+2k^{2}A=0.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Интеграл дифракции Френеля является точным решением параксиального уравнения Гельмгольца. [5]
Неоднородное уравнение Гельмгольца
Неоднородным уравнением Гельмгольца является уравнение
![{\displaystyle \nabla ^{2}A(\mathbf {x})+k^{2}A(\mathbf {x})=-f(\mathbf {x})\ {\text{in }}\ mathbb {R} ^{n},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
ƒ : R n → Cкомпактным носителемn = 1, 2, 3.экранированное уравнение ПуассонаkЧтобы однозначно решить это уравнение, необходимо задать граничное условие на бесконечности, которым обычно является условие излучения Зоммерфельда.
![{\displaystyle \lim _{r\to \infty }r^{\frac {n-1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}-ik\right)A( \mathbf {x} )=0}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
в пространственных измерениях для всех углов (т.е. любого значения ). Вот где координаты вектора .![{\displaystyle п}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \тета,\фи}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle r={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{i}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbf {x} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
При этом условии решение неоднородного уравнения Гельмгольца имеет вид
![{\displaystyle A(\mathbf {x}) =\int _ {\mathbb {R} ^{n}} \!G(\mathbf {x},\mathbf {x'})f(\mathbf {x' } )\,\mathrm {d} \mathbf {x'} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
(обратите внимание, что этот интеграл на самом деле относится к конечной области, поскольку f имеет компактный носитель). Здесь G — функция Грина этого уравнения, то есть решение неоднородного уравнения Гельмгольца с f , равным дельта-функции Дирака , поэтому G удовлетворяет
![{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x},\mathbf {x'})+k^{2}G(\mathbf {x},\mathbf {x'})=-\delta ( \mathbf {x},\mathbf {x'})\in \mathbb {R} ^{n}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Выражение функции Грина зависит от размерности n пространства. Надо
![{\displaystyle G(x,x')={\frac {ie^{ik|xx'|}}{2k}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
n = 1![{\displaystyle G(\mathbf {x},\mathbf {x'}) = {\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
n = 2H(1)
0функцией Ханкеля![{\displaystyle G(\mathbf {x},\mathbf {x'}) = {\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
n = 3| х | → ∞Наконец, для общего n
![{\ displaystyle G (\ mathbf {x}, \ mathbf {x '}) = c_ {d} k ^ {p} {\ frac {H_ {p} ^ {(1)} (k | \ mathbf {x} -\mathbf {x'} |)}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{p}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
где и . [6]![{\displaystyle p={\frac {n-2}{2}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle c_{d}={\frac {1}{2i(2\pi)^{p}}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Смотрите также
Примечания
- ^ Бланш, Пьер-Александр (2014). Полевой справочник по голографии . Полевые гиды SPIE. Беллингем, Вашингтон: SPIE Press. ISBN 978-0-8194-9957-8.
- ^ Уравнение Гельмгольца, из Математической энциклопедии .
- ^ Мехрабхани С. и Шнайдер Т. (2017). Всегда ли дифракция Рэлея-Зоммерфельда является точным эталоном для алгоритмов высокоскоростной дифракции? Оптика экспресс, 25(24), 30229-30240.
- ^ Дж. В. Гудман. Введение в оптику Фурье (2-е изд.). стр. 61–62.
- ^ Грелла, Р. (1982). «Распространение и дифракция Френеля и уравнение параксиальной волны». Журнал оптики . 13 (6): 367–374. Бибкод : 1982JOpt...13..367G. дои : 10.1088/0150-536X/13/6/006.
- ^ Бьорн Энгквист; Хункай Чжао (ноябрь 2018 г.). «Приблизительная разделимость функции Грина уравнения Гельмгольца в пределе высоких частот». Сообщения по чистой и прикладной математике . 71 (11): 2220–2274. дои : 10.1002/cpa.21755.
Рекомендации
- Абрамовиц, Милтон; Стегун, Ирен, ред. (1964). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0.
- Райли, К.Ф.; Хобсон, член парламента; Бенс, SJ (2002). «Глава 19». Математические методы в физике и технике . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-89067-0.
- Райли, К.Ф. (2002). «Глава 16». Математические методы для ученых и инженеров . Саусалито, Калифорния: Университетские научные книги. ISBN 978-1-891389-24-5.
- Салех, Бахаа Э.А.; Тейх, Малвин Карл (1991). "Глава 3". Основы фотоники . Серия Уайли по чистой и прикладной оптике. Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. стр. 80–107. ISBN 978-0-471-83965-1.
- Зоммерфельд, Арнольд (1949). «Глава 16». Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса. ISBN 978-0126546569.
- Хау, MS (1998). Акустика взаимодействия жидкости со структурами . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63320-8.
Внешние ссылки