Бигармоническое уравнение

Уравнение с частными производными четвертого порядка в механике сплошной среды

В математике бигармоническое уравнение — это частное дифференциальное уравнение четвертого порядка , которое возникает в областях механики сплошных сред , включая линейную теорию упругости и решение течений Стокса . В частности, оно используется при моделировании тонких структур, которые упруго реагируют на внешние силы.

Обозначение

Он записывается как или или где , который является четвертой степенью оператора del и квадратом оператора Лапласа (или ), известен как бигармонический оператор или билапласианский оператор . В декартовых координатах его можно записать в размерностях как: Поскольку формула здесь содержит сумму индексов, многие математики предпочитают обозначение , поскольку первое ясно показывает, по каким индексам четырех операторов набла выполняется свертка. $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =0}$$ $${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}\varphi =0}$$ $${\displaystyle \Delta ^{2}\varphi =0}$$ ${\displaystyle \nabla ^{4}}$ ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \nabla ^{4}\varphi =\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\partial _{j}\partial _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\partial _{i}\partial _{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}\partial _{j}\partial _{j}\right)\varphi .}$$ ${\displaystyle \Delta ^{2}}$ ${\displaystyle \nabla ^{4}}$

Например, в трехмерной декартовой системе координат бигармоническое уравнение имеет вид В качестве другого примера, в n -мерном действительном координатном пространстве без начала координат , где , что показывает, только для n = 3 и n = 5, является решением бигармонического уравнения. $${\displaystyle {\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{4}}+{\partial ^{4}\varphi \over \partial z^{4}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial y^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial y^{2}\partial z^{2}}+2{\partial ^{4}\varphi \over \partial x^{2}\partial z^{2}}=0.}$$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{n}\setminus \mathbf {0} \right)}$ $${\displaystyle \nabla ^{4}\left({1 \over r}\right)={3(15-8n+n^{2}) \over r^{5}}}$$ $${\displaystyle r={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}.}$$ ${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$

Решение бигармонического уравнения называется бигармонической функцией . Любая гармоническая функция является бигармонической, но обратное не всегда верно.

В двумерных полярных координатах бигармоническое уравнение имеет вид которое можно решить методом разделения переменных. Результатом является решение Мичелла . $${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial \varphi }{\partial r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{4}\varphi }{\partial \theta ^{4}}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\partial ^{3}\varphi }{\partial \theta ^{2}\partial r}}+{\frac {4}{r^{4}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \theta ^{2}}}=0}$$

2-мерное пространство

Общее решение для двумерного случая имеет вид , где , и являются гармоническими функциями , а является гармонически сопряженной функцией . $${\displaystyle xv(x,y)-yu(x,y)+w(x,y)}$$ ${\displaystyle u(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle w(x,y)}$ ${\displaystyle v(x,y)}$ ${\displaystyle u(x,y)}$

Так же, как гармонические функции от 2 переменных тесно связаны с комплексными аналитическими функциями , так и бигармонические функции от 2 переменных. Общий вид бигармонической функции от 2 переменных можно также записать как где и являются аналитическими функциями . $${\displaystyle \operatorname {Im} ({\bar {z}}f(z)+g(z))}$$ ${\displaystyle f(z)}$ ${\displaystyle g(z)}$

Смотрите также

• Математический портал
• Физический портал

• Гармоническая функция

Ссылки

• Эрик В. Вайсштейн, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press, 2002. ISBN  1-58488-347-2 .
• SI Hayek, Advanced Mathematical Methods in Science and Engineering , Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 . 
• JP Den Hartog (1 июля 1987 г.). Advanced Strength of Materials . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65407-9.

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Бигармоническое уравнение». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Бигармонический оператор». MathWorld .