В геометрии усеченный 24-ячейник — это однородный 4-мерный многогранник , образованный усечением правильного 24 -ячейника .
Существует две степени усечения, включая битусечение .
Усеченный 24-ячейковый или усеченный икоситетрахорон является однородным 4-мерным многогранником (или однородным 4-многогранником ), который ограничен 48 ячейками : 24 кубами и 24 усеченными октаэдрами . Каждая вершина соединяет три усеченных октаэдра и один куб в вершинной фигуре равносторонней треугольной пирамиды .
Усеченный 24-ячейник можно построить из многогранников с тремя группами симметрии:
Это также зонотоп : его можно образовать как сумму Минковского шести отрезков, соединяющих противоположные пары среди двенадцати перестановок вектора (+1,−1,0,0).
Декартовы координаты вершин усеченного 24-клеточного многоугольника с длиной ребра sqrt(2) представляют собой перестановки координат и комбинации знаков:
Двойственная конфигурация имеет координаты при всех перестановках координат и знаки
24 кубические ячейки соединены своими квадратными гранями с усеченными октаэдрами; а 24 усеченных октаэдра соединены друг с другом своими шестиугольными гранями.
Параллельная проекция усеченного 24-ячейника в трехмерное пространство, сначала усеченный октаэдр, имеет следующую структуру:
Выпуклая оболочка усеченного 24-ячейника и его двойственного (предполагая, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихор, состоящий из 480 ячеек: 48 кубов , 144 квадратных антипризм , 288 тетраэдров (как тетрагональных двуклиноидов) и 384 вершин. Его вершинная фигура — гексакисный треугольный купол .
Усеченный 24-ячейник . 48-ячейник , или тетраконтоктахорон , представляет собой 4-мерный однородный многогранник (или однородный 4-политоп ), полученный из 24-ячейника .
В 1912 году Э. Л. Элте определил его как полуправильный многогранник.
Он создается путем побитового усечения 24-ячеечной ячейки (усечения на полпути к глубине, которая дала бы двойную 24-ячеечную ячейку).
Будучи однородным 4-многогранником, он вершинно-транзитивен . Кроме того, он ячеечно-транзитивен , состоит из 48 усеченных кубов , а также реберно-транзитивен , с 3 ячейками усеченных кубов на ребро и с одним треугольником и двумя восьмиугольниками вокруг каждого ребра.
48 ячеек битусеченной 24-ячейки соответствуют 24 ячейкам и 24 вершинам 24-ячейки. Таким образом, центры 48 ячеек образуют корневую систему типа F 4 .
Его вершинная фигура — тетрагональный двуклиноид , тетраэдр с 2 противолежащими ребрами длиной 1 и всеми 4 боковыми ребрами длиной √(2+√2).
Усеченные кубы соединены друг с другом посредством своих восьмиугольных граней в антиориентации ; то есть два соседних усеченных куба повернуты на 45 градусов относительно друг друга так, что никакие две треугольные грани не имеют общего ребра.
Последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные восьмиугольные грани, образует цикл из 8. Каждый усеченный куб принадлежит 3 таким циклам. С другой стороны, последовательность усеченных кубов, соединенных друг с другом через противоположные треугольные грани, образует цикл из 6. Каждый усеченный куб принадлежит 4 таким циклам.
В матрице конфигурации показаны все подсчеты инцидентности между элементами. Диагональные числа f-вектора выводятся с помощью построения Витхоффа , разделяющего полный групповой порядок подгруппового порядка путем удаления одного зеркала за раз. Края существуют в 4 позициях симметрии. Квадраты существуют в 3 позициях, шестиугольники в 2 позициях и восьмиугольники в одной. Наконец, существуют 4 типа ячеек, центрированных на 4 углах фундаментального симплекса. [1]
Декартовы координаты бит-усеченной 24-клеточной матрицы с длиной ребра 2 представляют собой перестановки координат и знака:
Правильный косой многогранник , {8,4|3}, существует в 4-пространстве с 4 восьмиугольниками вокруг каждой вершины, в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти восьмиугольные грани можно увидеть на битусеченном 24-ячейке, использующем все 576 ребер и 288 вершин. 192 треугольных грани битусеченного 24-ячейки можно увидеть удаленными. Двойственный правильный косой многогранник, {4,8|3}, аналогичным образом связан с квадратными гранями битусеченного 24-ячейки .
Дисфеноидальный 288-ячейник является дуальным к битусеченному 24-ячейнику. Это 4-мерный многогранник (или полихор ), полученный из 24-ячейника . Он строится путем удвоения и вращения 24-ячейника, а затем построения выпуклой оболочки .
Будучи двойственным к однородному полихорону, он является клеточно-транзитивным , состоящим из 288 конгруэнтных тетрагональных двуклиноидов . Кроме того, он является вершинно-транзитивным относительно группы Aut(F 4 ). [3]
Вершины 288-ячейки — это в точности 24 единичных кватерниона Гурвица с нормой в квадрате 1, объединенные с 24 вершинами двойственной 24-ячейки с нормой в квадрате 2, спроецированной на единичную 3-сферу . Эти 48 вершин соответствуют бинарной октаэдрической группе 2O или <2,3,4>, порядка 48.
Таким образом, 288-ячейка является единственным нерегулярным 4-мерным многогранником, который является выпуклой оболочкой кватернионной группы, не принимая во внимание бесконечное множество дициклических (таких же, как и бинарные диэдральные) групп; регулярными являются 24-ячейка (≘ 2T или <2,3,3>, порядок 24) и 600-ячейка (≘ 2I или <2,3,5>, порядок 120). ( 16-ячейка соответствует бинарной диэдральной группе 2D 2 или <2,2,2>, порядок 16.)
Вписанная 3-сфера имеет радиус 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0,853553 и касается 288-ячейки в центрах 288 тетраэдров, которые являются вершинами двойственного битусеченного 24-ячейки.
Вершины могут быть окрашены в 2 цвета , скажем, красный и желтый, с 24 единицами Гурвица в красный цвет и 24 дуальными в желтый, причем желтый 24-ячейковый кватернион будет конгруэнтен красному. Таким образом, произведение 2 одинаково окрашенных кватернионов будет красным, а произведение 2 в смешанных цветах будет желтым.
Размещая фиксированную красную вершину на северном полюсе (1,0,0,0), получаем 6 желтых вершин на следующей более глубокой «широте» в ( √ 2 /2,x,y,z), за которыми следуют 8 красных вершин на широте в (1/2,x,y,z). Полные координаты даны как линейные комбинации кватернионных единиц , которые в то же время могут быть приняты как элементы группы 2O . Следующая более глубокая широта — это гиперплоскость экватора, пересекающая 3-сферу в 2-сфере, которая заполнена 6 красными и 12 желтыми вершинами.
Слой 2 представляет собой 2-сферу, описывающую правильный октаэдр, ребра которого имеют длину 1. Тетраэдр с вершиной в северном полюсе имеет 1 из этих ребер в качестве длинного ребра, 2 вершины которого соединены короткими ребрами с северным полюсом. Другое длинное ребро идет от северного полюса в слой 1 и 2 коротких ребра оттуда в слой 2 .
Имеется 192 длинных ребра длиной 1, соединяющих одинаковые цвета, и 144 коротких ребра длиной √ 2– √ 2 ≈ 0,765367, соединяющих смешанные цвета. 192*2/48 = 8 длинных и 144*2/48 = 6 коротких, то есть в каждой вершине сходятся 14 ребер.
576 граней являются равнобедренными с 1 длинным и 2 короткими ребрами, все конгруэнтны. Углы при основании составляют arccos( √ 4+ √ 8 /4) ≈ 49.210°. 576*3/48 = 36 граней сходятся в вершине, 576*1/192 = 3 на длинном ребре и 576*2/144 = 8 на коротком.
288 ячеек — это тетраэдры с 4 короткими ребрами и 2 антиподальными и перпендикулярными длинными ребрами, одно из которых соединяет 2 красные и 2 желтые вершины. Все ячейки конгруэнтны. 288*4/48 = 24 ячейки сходятся в вершине. 288*2/192 = 3 ячейки сходятся в длинном ребре, 288*4/144 = 8 в коротком. 288*4/576 = 2 ячейки сходятся в треугольнике.
B 4 семейство однородных многогранников:
Семейство однородных многогранников F 4 :
