Состояние Хермандера

В математике условие Хермандера — это свойство векторных полей , которое, если оно выполняется , имеет много полезных следствий в теории частных и стохастических дифференциальных уравнений . Условие названо в честь шведского математика Ларса Хермандера .

Определение

Для двух векторных полей V и W размерности C 1 в d - мерном евклидовом пространстве R ^d пусть [ V ,  W ] обозначает их скобку Ли , другое векторное поле, определяемое соотношением

${\displaystyle [V,W](x)=\mathrm {D} V(x)W(x)-\mathrm {D} W(x)V(x),}$

где D V ( x ) обозначает производную Фреше от V в точке x  ∈  R ^d , которую можно рассматривать как матрицу , применяемую к вектору W ( x ), и наоборот .

Пусть A ₀ , A ₁ , ... A _n — векторные поля на R ^d . Говорят, что они удовлетворяют условию Хермандера , если для каждой точки x  ∈  R ^d векторы

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{j_{0}}(x)~,\\&[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)]~,\\&[[A_{j_{0}}(x),A_{j_{1}}(x)],A_{j_{2}}(x)]~,\\&\quad \vdots \quad \end{aligned}}\qquad 0\leq j_{0},j_{1},\ldots ,j_{n}\leq n}$

span R ^d . Говорят, что они удовлетворяют параболическому условию Хермандера, если то же самое верно, но с индексом, принимающим только значения в 1,..., n . ${\displaystyle j_{0}}$

Применение к стохастическим дифференциальным уравнениям

Рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (СДУ)

${\displaystyle \operatorname {d} x=A_{0}(x)\operatorname {d} t+\sum _{i=1}^{n}A_{i}(x)\circ \operatorname {d} W_{i}}$

где предполагается, что векторные поля имеют ограниченную производную, нормализованное n -мерное броуновское движение и обозначает интегральную интерпретацию Стратоновича для СДУ. Теорема Хермандера утверждает, что если СДУ выше удовлетворяет параболическому условию Хермандера, то его решения допускают гладкую плотность относительно меры Лебега. ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$ ${\displaystyle (W_{1},\dotsc ,W_{n})}$ ${\displaystyle \circ \operatorname {d} }$

Применение к задаче Коши

Используя те же обозначения, что и выше, определим дифференциальный оператор второго порядка F следующим образом:

${\displaystyle F={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}A_{i}^{2}+A_{0}.}$

Важной проблемой теории уравнений в частных производных является определение достаточных условий на векторные поля A _i для задачи Коши

${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial u}{\partial t}}(t,x)=Fu(t,x),&t>0,x\in \mathbf {R} ^{d};\\u(t,\cdot )\to f,&{\text{as }}t\to 0;\end{cases}}}$

иметь гладкое фундаментальное решение , т.е. действительную функцию p  (0, +∞) ×  R ^{2 d}  →  R такую, что p ( t , ·, ·) является гладкой на R ^{2 d} для каждого t и

${\displaystyle u(t,x)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}p(t,x,y)f(y)\,\mathrm {d} y}$

удовлетворяет задаче Коши выше. Было известно в течение некоторого времени, что гладкое решение существует в эллиптическом случае, в котором

${\displaystyle A_{i}=\sum _{j=1}^{d}a_{ji}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}},}$

и матрица A  = ( a _ji ), 1 ≤  j  ≤  d , 1 ≤  i  ≤  n такова, что AA ^∗ всюду является обратимой матрицей .

Величайшим достижением статьи Хёрмандера 1967 года было то, что он показал, что гладкое фундаментальное решение существует при значительно более слабом предположении: параболической версии условия, которое теперь носит его имя.

Применение в системах управления

Пусть M — гладкое многообразие и — гладкие векторные поля на M. Предполагая, что эти векторные поля удовлетворяют условию Хермандера, тогда управляемая система ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{n}}$

${\displaystyle {\dot {x}}=\sum _{i=0}^{n}u_{i}A_{i}(x)}$

локально управляема в любое время в каждой точке M. Это известно как теорема Чжоу–Рашевского . См. Орбита (теория управления) .

Смотрите также

• исчисление Маллиевена
• алгебра Ли

Ссылки

• Белл, Денис Р. (2006). Исчисление Маллиавэна . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications Inc. стр. x+113. ISBN 0-486-44994-7. MR 2250060 (см. введение)
• Хермандер, Ларс (1967). «Гипоэллиптические дифференциальные уравнения второго порядка». Acta Math . 119 : 147–171. doi : 10.1007/BF02392081 . ISSN  0001-5962. МР 0222474