Условная сходимость

Свойство бесконечного ряда

В математике ряд или интеграл называется условно сходящимся , если он сходится, но не сходится абсолютно .

Определение

Точнее, говорят, что ряд действительных чисел сходится условно, если существует (как конечное действительное число, т.е. не или ), но ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ ${\textstyle \lim _{m\rightarrow \infty }\,\sum _{n=0}^{m}a_{n}}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=\infty .}$

Классическим примером является знакопеременный гармонический ряд, заданный формулой , который сходится к , но не является абсолютно сходящимся (см. Гармонический ряд ). $${\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \limits _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1} \over n},}$$ ${\displaystyle \ln(2)}$

Бернхард Риман доказал, что условно сходящийся ряд можно перестроить так, чтобы он сошелся к любому значению, включая ∞ или −∞; см. теорему Римана о рядах . Теорема Агню описывает перестановки, которые сохраняют сходимость для всех сходящихся рядов.

Теорема Леви–Штейница определяет множество значений, к которым может сходиться ряд членов в R ^{n .}

Типичным условно сходящимся интегралом является интеграл на неотрицательной действительной оси (см. интеграл Френеля ). ${\textstyle \sin(x^{2})}$

Смотрите также

• Абсолютная сходимость
• Безусловная сходимость

Ссылки

• Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: Нью-Йорк, 1964).