Устный счет

Арифметические вычисления с использованием только человеческого мозга

Устный счет уже давно является частью математического образования.

Ментальный расчет состоит из арифметических вычислений, использующих только человеческий мозг , без помощи каких-либо принадлежностей (таких как карандаш и бумага) или устройств, таких как калькулятор . Люди могут использовать ментальный расчет, когда вычислительные инструменты недоступны, когда это быстрее, чем другие средства расчета (такие как обычные методы учебных заведений), или даже в конкурентной среде . Ментальный расчет часто включает использование специальных методов, разработанных для определенных типов задач. Людей с необычно высокой способностью выполнять ментальные расчеты называют ментальными калькуляторами или молниеносными калькуляторами .

Многие из этих методов используют преимущества или полагаются на десятичную систему счисления.

Методы и приемы

Выбрасывание девяток

После применения арифметической операции к двум операндам и получения результата можно использовать следующую процедуру для повышения уверенности в правильности результата:

1. Сложите цифры первого операнда; любые девятки (или наборы цифр, которые в сумме дают 9) можно считать за 0.
2. Если полученная сумма состоит из двух или более цифр, сложите эти цифры, как в шаге 1; повторяйте этот шаг до тех пор, пока полученная сумма не будет содержать только одну цифру.
3. Повторите шаги один и два со вторым операндом. На этом этапе есть два однозначных числа, первое получено из первого операнда, а второе получено из второго операнда. ^[a]
4. Примените первоначально указанную операцию к двум сжатым операндам, а затем примените процедуру суммирования цифр к результату операции.
5. Сложите цифры результата, которые были первоначально получены при первоначальном расчете.
6. Если результат шага 4 не равен результату шага 5, то исходный ответ неверен. Если два результата совпадают, то исходный ответ может быть правильным, хотя это не гарантируется.

Пример

• Предположим, что вычисление 6338 × 79, выполненное вручную, дало результат 500 702:

1. Сложите цифры числа 6338: (6 + 3 = 9, поэтому считайте это как 0) + 3 + 8 = 11
2. Повторяйте по мере необходимости: 1 + 1 = 2
3. Сложите цифры числа 79: 7 + (9 считается как 0) = 7
4. Выполните исходную операцию над сжатыми операндами и просуммируйте цифры: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. Сложите цифры числа 500702: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9, что считается как 0) = 5
6. 5 = 5, поэтому есть большая вероятность, что прогноз о том, что 6338 × 79 равно 500 702, верен.

Одну и ту же процедуру можно использовать для нескольких операций, повторяя шаги 1 и 2 для каждой операции.

Факторы

При умножении полезно помнить, что множители операндов все еще остаются. Например, было бы неразумно говорить, что 14 × 15 равно 201. Поскольку 15 кратно 5, произведение также должно быть кратным 5. Аналогично, 14 кратно 2, поэтому произведение должно быть четным. Более того, любое число, кратное как 5, так и 2, обязательно кратно 10, и в десятичной системе будет заканчиваться на 0. Правильный ответ — 210. Оно кратно 10, 7 (другой простой множитель 14) и 3 (другой простой множитель 15).

Расчет разницы:а−б

Прямой расчет

Когда все цифры b меньше соответствующих цифр a , расчет можно выполнить цифра за цифрой. Например, вычислите 872 − 41, просто вычитая 1 из 2 в разряде единиц и 4 из 7 в разряде десятков: 831.

Косвенный расчет

Если описанная выше ситуация неприменима, существует другой метод, известный как косвенный расчет.

Метод заимствования с перспективой на будущее

Этот метод можно использовать для вычитания чисел слева направо, и если все, что требуется, это прочитать результат вслух, то для вычитания чисел произвольной величины пользователю потребуется немного памяти.

Обработка производится по одному месту за раз, слева направо.

Пример: 4075 − 1844 ------Тысячи: 4 − 1 = 3, посмотрите направо, 075 < 844, нужно занять. 3 − 1 = 2, скажем «Две тысячи». Один выполняет 3 - 1, а не 4 - 1, потому что столбец справа собираюсь занять у тысячного места.Сотни: 0 − 8 = отрицательные числа здесь не допускаются. Мы собираемся увеличить это место, используя цифру один, заимствованную из колонка слева. Поэтому: 10 − 8 = 2. Это 10, а не 0, потому что единица заимствована из разряда тысяч. место. 75 > 44, так что нет необходимости занимать, скажи "двести"Десятки: 7 − 4 = 3, 5 > 4, поэтому 5 - 4 = 1

Следовательно, результат — 2231.

Расчет продуктов:а×б

Многие из этих методов работают благодаря распределительному свойству .

Формула «Концов пяти»

Для любой задачи на умножение двузначных чисел, если оба числа заканчиваются на пять, можно использовать следующий алгоритм для их быстрого умножения: ^[1]

${\displaystyle \mathrm {Ex} :35\times 75}$

В качестве предварительного шага просто округлите меньшее число в меньшую сторону, а большее — в большую сторону до ближайшего кратного десяти. В этом случае:

${\displaystyle 35-5=30=X}$

${\displaystyle 75+5=80=Y}$

Алгоритм выглядит следующим образом:

${\displaystyle (X\times Y)+50(t_{1}-t_{2})+25}$

Где t ₁ — единица десятков исходного большего числа (75), а t ₂ — единица десятков исходного меньшего числа (35).

${\displaystyle =30\times 80+50(7-3)+25=2625}$

Умножение любых двузначных чисел

Чтобы легко умножить любые двузначные числа, используйте следующий простой алгоритм (где a — цифра десятков первого числа, b — цифра единиц первого числа, c — цифра десятков второго числа, а d — цифра единиц второго числа):

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

Например,

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

 800 +120 +140 + 21----- 1081

Обратите внимание, что это то же самое, что и обычная сумма частичных произведений, просто перефразированная для краткости. Чтобы минимизировать количество элементов, сохраняемых в памяти, может быть удобно сначала выполнить сумму "перекрестного" произведения, а затем сложить два других элемента:

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle {}+b\cdot d}$[из которых только цифра десятков будет мешать первому члену]

${\displaystyle {}+a\cdot c\cdot 100}$

т.е. в этом примере

(12+14)=26, 26×10=260,

к которому легко прибавить 21: 281, а затем 800: 1081

Простая мнемоника для запоминания этого — FOIL . F означает первый, O означает внешний, I означает внутренний и L означает последний. Например:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

и

${\displaystyle ab\cdot cd}$

где 7 — это a , 5 — это b , 2 — это c и 3 — это d .

Учитывать

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

это выражение аналогично любому числу в десятичной системе счисления с сотнями, десятками и единицами. FOIL также можно рассматривать как число, где F — это сотни, OI — десятки, а L — единицы.

${\displaystyle a\cdot c}$— это произведение первых цифр каждого из двух чисел; F.

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$представляет собой сложение произведений внешних цифр и внутренних цифр; OI.

${\displaystyle b\cdot d}$— произведение последней цифры каждого из двух чисел; L.

Умножение на 9

Так как 9 = 10 − 1, чтобы умножить число на девять, умножьте его на 10, а затем вычтите исходное число из результата. Например, 9 × 27 = 270 − 27 = 243.

Этот метод можно адаптировать для умножения на восемь вместо девяти, удвоив вычитаемое число: 8 × 27 = 270 − (2×27) = 270 − 54 = 216.

Аналогично, используя сложение вместо вычитания, те же методы можно использовать для умножения на 11 и 12 соответственно (хотя существуют и более простые методы умножения на 11).

Умножение на 11

Для однозначных чисел просто продублируйте число в разряде десятков, например: 1 × 11 = 11, 2 × 11 = 22 и так до 9 × 11 = 99.

Произведение любого большего ненулевого целого числа можно найти путем ряда сложений каждой из его цифр справа налево, по две за раз.

Сначала возьмите цифру единиц и скопируйте ее во временный результат. Затем, начиная с цифры единиц множителя, добавьте каждую цифру к цифре слева от нее. Затем каждая сумма добавляется слева от результата, перед всеми остальными. Если число дает в сумме 10 или больше, возьмите цифру десятков, которая всегда будет 1, и перенесите ее в следующее сложение. Наконец, скопируйте самую левую (наивысшую) цифру множителя в начало результата, добавляя при необходимости переносимую 1, чтобы получить конечный продукт.

В случае отрицательного числа 11, множителя или обоих примените знак к конечному произведению, как при обычном умножении двух чисел.

Пошаговый пример 759 × 11:

1. Единица множителя, 9, копируется во временный результат.
   • результат: 9
2. Складываем 5 + 9 = 14, так что 4 помещается слева от результата, а 1 переносим.
   • результат: 49
3. Аналогично сложите 7 + 5 = 12, затем добавьте перенесенную 1, чтобы получить 13. Добавьте 3 к результату и перенесите 1.
   • результат: 349
4. Добавьте перенесенную единицу к самой высокой цифре множителя, 7 + 1 = 8, и скопируйте в результат, чтобы завершить вычисление.
   • Конечный продукт 759 × 11: 8349

Дополнительные примеры:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • Обратите внимание на обработку 9+1 как самой высокой цифры.
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

Другой метод — просто умножить число на 10 и добавить исходное число к результату.

Например:

17 × 11

 17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

Последний простой способ:

Если у вас есть двузначное число, возьмите его, сложите два числа и поместите полученную сумму в середину, и вы получите ответ.

Например: 24 x 11 = 264, потому что 2 + 4 = 6, а 6 находится между 2 и 4.

Второй пример: 87 x 11 = 957, потому что 8 + 7 = 15, поэтому 5 помещается между 8 и 7, а 1 переносится на 8. Таким образом, по сути, это 857 + 100 = 957.

Или если 43 x 11 равно сначала 4+3=7 (для десятков), то 4 — для сотен, а 3 — для десятков. И ответ — 473.

Умножение двух чисел, близких и меньших 100

Этот метод позволяет легко умножать числа, близкие и меньшие 100. (90-99) ^[2] Переменными будут два числа, которые умножаются.

Произведение двух переменных в диапазоне от 90 до 99 даст в результате 4-значное число. Первым шагом является нахождение цифры единиц и цифры десятков.

Вычтите обе переменные из 100, что даст 2 однозначных числа. Произведение 2 однозначных чисел будет последними двумя цифрами конечного произведения.

Далее вычтите одну из двух переменных из 100. Затем вычтите разницу из другой переменной. Эта разница будет первыми двумя цифрами конечного продукта, а полученное 4-значное число будет конечным продуктом.

Пример:

 95 х 97 ----Последние две цифры: 100-95=5 (вычтите первую цифру из 100) 100-97=3 (вычтите второе число из 100) 5*3=15 (умножьте две разницы) Конечный продукт-yx15Первые две цифры: 100-95=5 (вычтите первое число уравнения из 100) 97-5=92 (Вычтите этот ответ из второго числа уравнения) Теперь разница будет в первых двух цифрах  конечного продукта - 9215Альтернатива для первых двух цифр 5+3=8 (Сложите две однозначные цифры, полученные при вычислении «Последних двух цифр» на предыдущем шаге) 100-8=92 (Вычтите этот ответ из 100) Теперь разница будет в первых двух цифрах  конечного продукта - 9215

Использование квадратных чисел

Произведения малых чисел можно вычислить, используя квадраты целых чисел; например, чтобы вычислить 13 × 17, можно заметить, что 15 — это среднее значение двух множителей, и думать об этом как (15 − 2) × (15 + 2), то есть 15 ²  − 2 ² . Зная, что 15 ² равно 225, а 2 ² равно 4, простое вычитание показывает, что 225 − 4 = 221, что и является искомым произведением.

Этот метод требует знания наизусть определенного количества квадратов:

Возведение чисел в квадрат

Может быть полезно знать, что разница между двумя последовательными квадратными числами является суммой их соответствующих квадратных корней. Таким образом, если кто-то знает, что 12 × 12 = 144, и хочет узнать 13 × 13, вычислите 144 + 12 + 13 = 169.

Это потому, что ( x  + 1) ²  −  x ² = x ²  + 2 x  + 1 −  x ² = x  + ( x  + 1)

х ² = ( х  − 1) ² + (2 х  − 1)

Возведение любого числа в квадрат

Возьмите заданное число и прибавьте и вычтите из него определенное значение, которое облегчит умножение. Например:

492 ²

492 близко к 500, на что легко умножить. Добавьте и вычтите 8 (разницу между 500 и 492), чтобы получить

492 -> 484, 500

Умножьте эти числа вместе, чтобы получить 242 000 (это можно сделать эффективно, разделив 484 на 2 = 242 и умножив на 1000). Наконец, добавьте к результату разницу (8) в квадрате (8 ^{2 = 64):}

492 ² = 242,064

Доказательство следующее:

${\displaystyle n^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-an+an-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}}$

Возведение в квадрат любого двузначного целого числа

Этот метод требует запоминания квадратов однозначных чисел от 1 до 9.

Квадрат mn , где mn — двузначное целое число, можно вычислить как

10 × m ( mn + n ) + n ²

Это означает, что квадрат mn можно найти, прибавив n к mn , умножив на m , добавив 0 в конец и, наконец, прибавив квадрат n .

Например, 23 ² :

23 ²

= 10 × 2(23 + 3) + 3 ²

= 10 × 2(26) + 9

= 520 + 9

= 529

Итак, 23 ² = 529.

Возведение в квадрат числа, заканчивающегося на 5

1. Возьмите цифру(ы), которая(ые) предшествует пятерке: abc5 , где a, b и c — цифры.
2. Умножьте это число само на себя плюс один: abc ( abc + 1)
3. Возьмите результат выше и добавьте 25 в конец.
   • Пример: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. Итак, 85 ² = 7,225
   • Пример: 125 ²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. Итак, 125 ² = 15 625
   • Математическое объяснение

Возведение в квадрат чисел, очень близких к 50

Предположим, что нужно возвести в квадрат число n, близкое к 50.

Число можно выразить как n  = 50 −  a, поэтому его квадрат равен (50− a ) ² = 50 ² − 100 a + a ² . Известно, что 50 ² равно 2500. Поэтому вычитаем 100 a из 2500, а затем прибавляем a ² .

Например, предположим, что требуется возвести в квадрат 48, что равно 50 − 2. Вычитаем 200 из 2500 и прибавляем 4, получаем n ² = 2304. Для чисел больше 50 ( n  = 50 +  a ) прибавляем 100 × a вместо вычитания.

Возведение в квадрат целого числа от 26 до 74

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до 24.

Квадрат n (легче всего вычислить, когда n находится в диапазоне от 26 до 74 включительно) равен

(50 − n ) ² + 100( n − 25)

Другими словами, квадрат числа — это квадрат его разности от пятидесяти, прибавленной к ста разностям числа и двадцати пяти. Например, для возведения в квадрат 62:

(−12) ² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3700

= 3,844

Возведение в квадрат целого числа, близкого к 100 (например, от 76 до 124)

Этот метод требует запоминания квадратов от 1 до a , где a — абсолютная разность между n и 100. Например, учащиеся, которые запомнили квадраты от 1 до 24, могут применить этот метод к любому целому числу от 76 до 124.

Квадрат n (т.е. 100 ± a ) равен

100(100 ± 2 а ) + а ²

Другими словами, квадрат числа — это квадрат его разности от 100, прибавленный к произведению ста на разность ста на произведение двух на разность ста и числа. Например, для возведения в квадрат 93:

100(100 − 2(7)) + 7 ²

= 100 × 86 + 49

= 8600 + 49

= 8,649

Другой способ взглянуть на это так:

93 ² = ? (равно −7 от 100)

93 − 7 = 86 (это дает первые две цифры)

(−7) ² = 49 (это вторые две цифры)

93 ² = 8649

Другой пример:

82 2 = ? (равно −18 от 100) 82 − 18 = 64 (вычесть первые цифры) (−18) 2 = 324 (вторая пара цифр. Нужно будет перенести 3.) 82 2 = 6724

Возведение в квадрат любого целого числа, близкого к 10^н(например, 976–1024, 9976–10024 и т. д.)

Этот метод представляет собой простое расширение приведенного выше объяснения возведения в квадрат целого числа, близкого к 100.

1012 2 = ? (1012 равно +12 от 1000) (+12) 2 = 144 ( n конечных цифр) 1012 + 12 = 1024 (первые цифры) 1012 2 = 1024144

9997 2 = ? (9997 это -3 от 10000) (-3) 2 = 0009 ( n конечных цифр) 9997 - 3 = 9994 (первые цифры) 9997 2 = 99940009

Возведение в квадрат любого целого числа вблизим ×10^н(например, от 276 до 324, от 4976 до 5024, от 79976 до 80024)

Этот метод является простым расширением объяснения, данного выше для целых чисел около 10 ⁿ .

407 2 = ? (407 это +7 от 400) (+7) 2 = 49 ( n конечных цифр) 407 + 7 = 414 414 × 4 = 1656 (начальные цифры; обратите внимание, что это умножение на m не требовалось для целых чисел от 76 до 124, поскольку их m = 1) 407 2 = 165649

79991 2 = ? (79991 равно -9 от 80000) (-9) 2 = 0081 ( n конечных цифр) 79991 - 9 79982 × 8 = 639856 (первые цифры) 79991 2 = 6398560081

Нахождение корней

Приближение квадратных корней

Простой способ приблизительного вычисления квадратного корня числа — это использование следующего уравнения:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\text{ known square root}}-{\frac {{\text{known square}}-{\text{unknown square}}}{2\times {\text{known square root}}}}\,}$

Чем ближе известный квадрат к неизвестному, тем точнее приближение. Например, чтобы оценить квадратный корень из 15, можно начать со знания того, что ближайший полный квадрат — 16 (4 ² ).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{root}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

Итак, предполагаемый квадратный корень из 15 равен 3,875. Фактический квадратный корень из 15 равен 3,872983... Следует отметить, что независимо от первоначальной догадки предполагаемый ответ всегда будет больше фактического из-за неравенства средних арифметических и геометрических значений . Таким образом, следует попытаться округлить предполагаемый ответ в меньшую сторону.

Обратите внимание, что если n ² — ближайший полный квадрат к искомому квадрату x, а d = x - n ² — их разность, то удобнее выразить это приближение в виде смешанной дроби как . Таким образом, в предыдущем примере квадратный корень из 15 равен В качестве другого примера квадратный корень из 41 равен , а фактическое значение равно 6,4031... ${\displaystyle n{\tfrac {d}{2n}}}$ ${\displaystyle 4{\tfrac {-1}{8}}.}$ ${\displaystyle 6{\tfrac {5}{12}}=6.416}$

Для упрощения устных вычислений можно отметить, что этот метод эквивалентен среднему значению известного квадрата и неизвестного квадрата, деленному на известный квадратный корень:

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\frac {{\text{mean}}({\text{known square}},{\text{unknown square}})}{\text{known square root}}}\,}$

Вывод

По определению, если r — квадратный корень из x, то

${\displaystyle \mathrm {r} ^{2}=x\,\!}$

Затем переопределяется корень

${\displaystyle \mathrm {r} =a-b\,\!}$

где a — известный корень (4 из приведенного выше примера), а b — разность между известным корнем и искомым ответом.

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

Расширение урожайности

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

Если 'a' близко к цели, 'b' будет достаточно малым числом, чтобы сделать элемент уравнения пренебрежимо малым. Таким образом, можно отбросить и перестроить уравнение так, чтобы ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$ ${\displaystyle {}+b^{2}\,}$

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

и поэтому

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

что можно свести к

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq {\frac {a^{2}+x}{2a}}\,\!}$

С другой стороны, этот подход к приближению квадратного корня можно рассматривать как отдельный шаг метода Ньютона .

Извлечение корней из полных степеней

Извлечение корней из полных степеней практикуется часто. Сложность задачи зависит не от количества цифр полной степени, а от точности, т. е. количества цифр корня. Кроме того, она также зависит от порядка корня; нахождение полных корней, где порядок корня взаимно прост с 10, несколько проще, поскольку цифры перемешаны согласованными способами, как в следующем разделе.

Извлечение кубических корней

Простая задача для новичка — извлечение кубических корней из кубов двузначных чисел. Например, если задано 74088, определите, какое двузначное число, умноженное само на себя один раз, а затем умноженное на это число еще раз, дает 74088. Тот, кто знает метод, быстро поймет, что ответ — 42, так как 42 ³ = 74088.

Перед освоением процедуры исполнителю необходимо запомнить кубы чисел от 1 до 10:

Обратите внимание, что в самой правой цифре есть закономерность: прибавление и вычитание с 1 или 3. Начиная с нуля:

• 0 ³ = 0
• 1 ³ = 1 вверх 1
• 2 ³ = 8 вниз 3
• 3 ³ = 2 7 вниз 1
• 4 ³ = 6 4 вниз 3
• 5 ³ = 12 5 вверх 1
• 6 ³ = 21 6 вверх 1
• 7 ³ = 34 3 вниз 3
• 8 ³ = 51 2 вниз 1
• 9 ³ = 72 9 вниз 3
• 10 ³ = 100 0 вверх 1

Извлечение кубического корня из куба двузначного числа состоит из двух шагов. Например, извлечение кубического корня из 29791. Определите разряд единиц двузначного числа. Поскольку куб заканчивается на 1, как показано выше, это должно быть 1.

• Если идеальный куб заканчивается на 0, то и его кубический корень должен заканчиваться на 0.
• Если идеальный куб заканчивается на 1, то его кубический корень должен заканчиваться на 1.
• Если идеальный куб заканчивается на 2, его кубический корень должен заканчиваться на 8.
• Если идеальный куб заканчивается на 3, то его кубический корень должен заканчиваться на 7.
• Если идеальный куб заканчивается на 4, то его кубический корень должен заканчиваться на 4.
• Если идеальный куб заканчивается на 5, то его кубический корень должен заканчиваться на 5.
• Если идеальный куб заканчивается на 6, то его кубический корень должен заканчиваться на 6.
• Если идеальный куб заканчивается на 7, его кубический корень должен заканчиваться на 3.
• Если идеальный куб заканчивается на 8, его кубический корень должен заканчиваться на 2.
• Если идеальный куб заканчивается на 9, то его кубический корень должен заканчиваться на 9.

Обратите внимание, что каждая цифра соответствует сама себе, за исключением 2, 3, 7 и 8, которые просто вычитаются из десяти, чтобы получить соответствующую цифру.

Второй шаг — определить первую цифру кубического корня из двух цифр, взглянув на величину данного куба. Для этого отбросьте последние три цифры данного куба (29791 → 29) и найдите наибольший куб, который он больше (здесь необходимо знать кубы чисел от 1 до 10). Здесь 29 больше 1 в кубе, больше 2 в кубе, больше 3 в кубе, но не больше 4 в кубе. Наибольший куб, который он больше, — это 3, поэтому первая цифра куба из двух цифр должна быть 3.

Следовательно, кубический корень из 29791 равен 31.

Другой пример:

• Найдите кубический корень из 456533.
• Кубический корень заканчивается на 7.
• После отбрасывания последних трех цифр остается 456.
• 456 больше всех кубов до 7 в кубе.
• Первая цифра кубического корня — 7.
• Кубический корень из 456533 равен 77.

Этот процесс можно расширить для нахождения кубических корней длиной в 3 цифры, используя арифметику по модулю 11. ^[3]

Подобные приемы можно использовать для любого корня, порядок которого взаимно прост с 10. Таким образом, для квадратного корня это не работает, поскольку степень 2 делит 10. 3 не делит 10, поэтому кубические корни работают.

Приближение десятичных логарифмов (логарифм по основанию 10)

Для аппроксимации десятичного логарифма (с точностью хотя бы до одной десятой) требуется несколько правил логарифмирования и запоминание нескольких логарифмов. Необходимо знать:

• log(a × b) = log(a) + log(b)
• log(a / b) = log(a) - log(b)
• log(0) не существует
• лог(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(7) ~ .85

Используя эту информацию, можно найти логарифм любого числа от 1 до 9.

• лог(1) = 0
• log(2) ~ .30
• log(3) ~ .48
• log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) − log(2) ~ .70
• log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ .78
• log(7) ~ .85
• log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ .96
• лог(10) = 1 + лог(1) = 1

Первый шаг в аппроксимации десятичного логарифма — представить число в научной записи. Например, число 45 в научной записи равно 4,5 × 10 ¹ , но его назовут a × 10 ^b . Затем найдите логарифм a, который находится между 1 и 10. Начните с нахождения логарифма 4, который равен 0,60, а затем логарифма 5, который равен 0,70, поскольку 4,5 находится между этими двумя. Далее, и мастерство в этом деле приходит с практикой, поместите 5 на логарифмической шкале между .6 и .7, где-то около .653 (ПРИМЕЧАНИЕ: фактическое значение дополнительных знаков всегда будет больше, чем если бы оно было размещено на обычной шкале. т.е. можно было бы ожидать, что оно будет на .650, потому что это половина пути, но вместо этого оно будет немного больше, в данном случае .653). Как только вы получили логарифм a, просто прибавьте к нему b, чтобы получить приближение десятичного логарифма. В этом случае a + b = 0.653 + 1 = 1.653. Фактическое значение log(45) ~ 1.65321.

Тот же процесс применяется для чисел от 0 до 1. Например, 0,045 будет записано как 4,5 × 10 ⁻² . Единственное отличие в том, что b теперь отрицательно, поэтому при добавлении единицы на самом деле происходит вычитание. Это даст результат 0,653 − 2 = −1,347.

Ментальная арифметика как психологический навык

Физические нагрузки надлежащего уровня могут привести к повышению производительности умственной задачи , например, выполнению устных вычислений, выполняемых впоследствии. ^[4] Было показано, что при высоких уровнях физической активности наблюдается отрицательное влияние на производительность умственных задач. ^[5] Это означает, что слишком большая физическая работа может снизить точность и производительность умственных математических вычислений. Физиологические показатели, в частности ЭЭГ , оказались полезными для определения умственной нагрузки . ^[6] Использование ЭЭГ в качестве меры умственной нагрузки после различных уровней физической активности может помочь определить уровень физической нагрузки, который будет наиболее полезным для умственной производительности. Предыдущая работа, проведенная в Мичиганском технологическом университете Ранджаной Мехтой, включает недавнее исследование, в котором участники занимались параллельными умственными и физическими задачами. ^[7] В этом исследовании изучалось влияние умственных требований на физическую производительность при различных уровнях физической нагрузки и в конечном итоге было обнаружено снижение физической производительности, когда умственные задачи выполнялись одновременно, с более значительным эффектом при более высоком уровне физической нагрузки. Процедура Брауна-Петерсона — широко известная задача, использующая устную арифметику. Эта процедура, в основном используемая в когнитивных экспериментах, предполагает, что умственное вычитание полезно для проверки эффектов, которые может оказывать поддерживающая репетиция на продолжительность кратковременной памяти .

Чемпионат мира по устным вычислениям

Первый чемпионат мира по устным вычислениям состоялся в 1998 году. Это мероприятие повторяется каждый год и теперь проходит онлайн. Оно состоит из ряда различных задач, таких как сложение, вычитание, умножение, деление, иррациональные и точные квадратные корни, кубические корни и более глубокие корни, факторизации, дроби и календарные даты. ^[8]

Кубок мира по устному счету

Первый Кубок мира по ментальным вычислениям ( Mental Calculation World Cup ) ^[9] состоялся в 2004 году. Это очное соревнование, которое проводится раз в два года в Германии. Оно состоит из четырех различных стандартных задач — сложение десяти десятизначных чисел, умножение двух восьмизначных чисел, вычисление квадратных корней и вычисление дней недели для заданных дат — в дополнение к различным «сюрпризным» задачам. ^[10]

Мемориада – Олимпиада по всемирной памяти, устному счету и скорочтению

Первая международная Мемориада прошла в Стамбуле , Турция, в 2008 году. Вторая Мемориада прошла в Анталье , Турция, 24–25 ноября 2012 года. Участвовало 89 участников из 20 стран. Награды и денежные призы были вручены в 10 категориях в общей сложности; из которых 5 категорий были связаны с устным расчетом (устное сложение, умственное умножение, умственные квадратные корни (нецелые), умственный расчет календарных дат и Flash Anzan). Третья Мемориада прошла в Лас-Вегасе, США, с 8 ноября 2016 года по 10 ноября 2016 года.

Смотрите также

• Правило Судного дня для расчета дня недели
• Ментальные счеты
• Калькулятор в уме
• Соробан

Примечания

1. Обратите внимание, что эти однозначные числа на самом деле являются остатками, которые получатся при делении исходных операндов на 9, то есть каждый из них является результатом соответствующего ему операнда по модулю 9 .

Ссылки

1. Чепрасов, Артем (3 сентября 2009 г.). О новом методе умножения и сокращениях. Соединенные Штаты: CreateSpace Independent Publishing Platform. ISBN 9781448689330.
2. умножение двух близких чисел, меньше 100
3. Доррелл, Филип. «Как извлекать кубические корни из 9-значных чисел в уме». Thinking Hard . Получено 19 июля 2015 г.
4. Ламбурн, Кейт; Томпоровски, Филлип (2010). «Влияние возбуждения, вызванного физическими упражнениями, на выполнение когнитивных задач: метарегрессионный анализ». Brain Research . 1341 : 12–24. doi : 10.1016/j.brainres.2010.03.091. PMID  20381468. S2CID  206324098.
5. Brisswalter, J.; Arcelin, R.; Audiffren, M.; Delignieres, D. (1997). «Влияние физических упражнений на время простой реакции: влияние физической подготовки». Perceptual and Motor Skills . 85 (3): 1019–27. doi :10.2466/pms.1997.85.3.1019. PMID  9399313. S2CID  30781628.
6. Мурата, Ацуо (2005). «Попытка оценить умственную нагрузку с помощью вейвлет-преобразования ЭЭГ». Человеческие факторы: Журнал Общества человеческих факторов и эргономики . 47 (3): 498–508. doi :10.1518/001872005774860096. PMID  16435692. S2CID  25313835.
7. Мехта, Ранджана К.; Нуссбаум, Мори А.; Агню, Майкл Дж. (2012). «Зависящие от мышц и задач реакции на одновременную физическую и умственную нагрузку во время прерывистой статической работы». Эргономика . 55 (10): 1166–79. doi :10.1080/00140139.2012.703695. PMID  22849301. S2CID  38648671.
8. «Чемпионат мира по устным вычислениям – Чемпионат мира по устным вычислениям».
9. "Mental Calculation World Cup - чемпионат мира по устному счету". www.recordholders.org .
10. «Mental Calculation World Cup — чемпионат мира по устному счету».

Внешние ссылки

• Кубок мира по устному счету
• Мемориада - Всемирная интеллектуальная олимпиада
• Цурио-Мазойер, Натали; Пезенти, Мауро; Заго, Лора; Кривелло, Фабрис; Мелле, Эммануэль; Самсон, Дана; Дюру, Брюно; Серон, Ксавьер; Мазойер, Бернар (2001). «Умственный расчет у вундеркинда поддерживается правыми префронтальными и медиальными височными областями». Природная неврология . 4 (1): 103–7. дои : 10.1038/82831. PMID  11135652. S2CID  23829063.
• Ривера, SM; Рейсс, AL; Экерт, MA; Менон, V (2005). «Изменения в развитии устного счета: доказательства усиления функциональной специализации в левой нижней теменной коре». Кора головного мозга . 15 (11): 1779–90. doi : 10.1093/cercor/bhi055 . PMID  15716474.