Стабильное распределение

Распределение переменных, удовлетворяющее свойству устойчивости относительно линейных комбинаций

В теории вероятностей распределение называется устойчивым, если линейная комбинация двух независимых случайных величин с этим распределением имеет то же распределение, с точностью до параметров местоположения и масштаба . Случайная величина называется устойчивой, если ее распределение устойчиво. Семейство устойчивых распределений иногда также называют альфа-устойчивым распределением Леви , в честь Поля Леви , первого математика, который его изучал. ^{[1] [2]}

Из четырех параметров, определяющих семейство, наибольшее внимание было сосредоточено на параметре устойчивости (см. панель). Устойчивые распределения имеют , с верхней границей, соответствующей нормальному распределению , и распределению Коши . Распределения имеют неопределенную дисперсию для , и неопределенное среднее для . Важность устойчивых распределений вероятностей заключается в том, что они являются « аттракторами » для правильно нормированных сумм независимых и одинаково распределенных ( iid ) случайных величин. Нормальное распределение определяет семейство устойчивых распределений. По классической центральной предельной теореме правильно нормированная сумма набора случайных величин, каждая из которых имеет конечную дисперсию, будет стремиться к нормальному распределению по мере увеличения числа переменных. Без предположения о конечной дисперсии предел может быть устойчивым распределением, которое не является нормальным. Мандельброт называл такие распределения «устойчивыми паретианскими распределениями», ^{[3] [4] [5]} в честь Вильфредо Парето . В частности, он называл те, которые максимально смещены в положительном направлении , «распределениями Парето–Леви» ^[1] , которые он считал лучшими описаниями цен на акции и товары, чем нормальные распределения. ^[6] ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle 0<\alpha \leq 2}$ ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$ ${\displaystyle \alpha \leq 1}$ ${\displaystyle 1<\alpha <2}$

Определение

Невырожденное распределение является устойчивым распределением, если оно удовлетворяет следующему свойству:

Пусть X ₁ и X ₂ — независимые реализации случайной величины X . Тогда X называется устойчивой, если для любых констант a > 0 и b > 0 случайная величина aX ₁ + bX ₂ имеет то же распределение, что и cX + d для некоторых констант c > 0 и d . Распределение называется строго устойчивым, если это выполняется при d = 0 . ^[7]

Поскольку нормальное распределение , распределение Коши и распределение Леви обладают указанным выше свойством, то они являются частными случаями устойчивых распределений.

Такие распределения образуют четырехпараметрическое семейство непрерывных распределений вероятностей, параметризованных параметрами местоположения и масштаба μ и c , соответственно, и двумя параметрами формы и , примерно соответствующими мерам асимметрии и концентрации, соответственно (см. рисунки). ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha }$

Характеристическая функция любого распределения вероятностей — это преобразование Фурье его функции плотности вероятности . Таким образом, функция плотности — это обратное преобразование Фурье характеристической функции: ^[8] ${\displaystyle \varphi (t)}$ ${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle \varphi (t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ixt}\,dx.}$$

Хотя функция плотности вероятности для общего устойчивого распределения не может быть записана аналитически, общая характеристическая функция может быть выражена аналитически. Случайная величина X называется стабильной, если ее характеристическая функция может быть записана как ^{[7] [9]} где sgn( t ) — это просто знак t , а μ ∈ R — это параметр сдвига, называемый параметром асимметрии , является мерой асимметрии. Обратите внимание, что в этом контексте обычная асимметрия не определена хорошо, поскольку распределение не допускает 2-го или более высоких моментов , а обычное определение асимметрии — это 3-й центральный момент . $${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,c,\mu )=\exp \left(it\mu -|ct|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$ $${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\tan \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |t|&\alpha =1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \beta \in [-1,1]}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

Причина, по которой это дает стабильное распределение, заключается в том, что характеристическая функция для суммы двух независимых случайных величин равна произведению двух соответствующих характеристических функций. Сложение двух случайных величин из стабильного распределения дает что-то с одинаковыми значениями и , но, возможно, с разными значениями μ и c . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

Не каждая функция является характеристической функцией законного распределения вероятностей (то есть, чья кумулятивная функция распределения действительна и изменяется от 0 до 1 без убывания), но характеристические функции, приведенные выше, будут законными, пока параметры находятся в своих диапазонах. Значение характеристической функции при некотором значении t является комплексно сопряженным значением ее значения при − t , как и должно быть, чтобы функция распределения вероятностей была действительной.

В простейшем случае характеристическая функция представляет собой просто растянутую экспоненциальную функцию ; распределение симметрично относительно μ и называется симметричным альфа-устойчивым распределением (Леви) , часто сокращенно SαS . ${\displaystyle \beta =0}$

Когда и , распределение поддерживается на [ μ , ∞). ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

Параметр c > 0 представляет собой масштабный коэффициент, который является мерой ширины распределения, в то время как является показателем или индексом распределения и определяет асимптотическое поведение распределения. ${\displaystyle \alpha }$

Параметризации

Параметризация стабильных распределений не является уникальной. Нолан ^[10] приводит 11 параметризаций, встречающихся в литературе, и приводит формулы преобразования. Две наиболее часто используемые параметризации — это та, что выше (Нолановская «1») и та, что непосредственно ниже (Нолановская «0»).

Параметризацию, приведенную выше, проще всего использовать для теоретической работы, но ее плотность вероятности не является непрерывной по параметрам при . ^[11] Непрерывная параметризация, более подходящая для численной работы, выглядит так ^[7], где: ${\displaystyle \alpha =1}$ $${\displaystyle \varphi (t;\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )=\exp \left(it\delta -|\gamma t|^{\alpha }\left(1-i\beta \operatorname {sgn}(t)\Phi \right)\right)}$$ $${\displaystyle \Phi ={\begin{cases}\left(|\gamma t|^{1-\alpha }-1\right)\tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right)&\alpha \neq 1\\-{\frac {2}{\pi }}\log |\gamma t|&\alpha =1\end{cases}}}$$

Диапазоны и те же, что и раньше, γ (как и c ) должно быть положительным, а δ (как и μ ) должно быть действительным. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$

В любой параметризации можно выполнить линейное преобразование случайной величины, чтобы получить случайную величину, плотность которой равна . В первой параметризации это делается путем определения новой переменной: ${\displaystyle f(y;\alpha ,\beta ,1,0)}$ $${\displaystyle y={\begin{cases}{\frac {x-\mu }{\gamma }}&\alpha \neq 1\\{\frac {x-\mu }{\gamma }}-\beta {\frac {2}{\pi }}\ln \gamma &\alpha =1\end{cases}}}$$

Для второй параметризации просто используйте независимую от . В первой параметризации, если среднее значение существует (то есть ), то оно равно μ , тогда как во второй параметризации, когда среднее значение существует, оно равно $${\displaystyle y={\frac {x-\delta }{\gamma }}}$$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha >1}$ ${\displaystyle \delta -\beta \gamma \tan \left({\tfrac {\pi \alpha }{2}}\right).}$

Распределение

Стабильное распределение, таким образом, определяется четырьмя указанными выше параметрами. Можно показать, что любое невырожденное стабильное распределение имеет гладкую (бесконечно дифференцируемую) функцию плотности. ^[7] Если обозначает плотность X , а Y — сумму независимых копий X : тогда Y имеет плотность с ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$ $${\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}k_{i}(X_{i}-\mu )}$$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{s}}f(y/s;\alpha ,\beta ,c,0)}$ $${\displaystyle s=\left(\sum _{i=1}^{N}|k_{i}|^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}}$$

Асимптотическое поведение описывается для следующим образом: ^[7] где Γ — гамма-функция (за исключением того, что при и хвост не исчезает слева или справа от μ , хотя приведенное выше выражение равно 0). Это поведение « тяжелого хвоста » приводит к тому, что дисперсия устойчивых распределений становится бесконечной для всех . Это свойство проиллюстрировано на графиках в двойном логарифмическом масштабе ниже. ${\displaystyle \alpha <2}$ $${\displaystyle f(x)\sim {\frac {1}{|x|^{1+\alpha }}}\left(c^{\alpha }(1+\operatorname {sgn}(x)\beta )\sin \left({\frac {\pi \alpha }{2}}\right){\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\pi }}\right)}$$ ${\displaystyle \alpha \geq 1}$ ${\displaystyle \beta =\pm 1}$ ${\displaystyle \alpha <2}$

При распределение является гауссовым (см. ниже) с хвостами, асимптотическими к exp(− x ² /4 c ² )/(2 c √ π ). ${\displaystyle \alpha =2}$

Одностороннее стабильное распределение и стабильное распределение количества

Когда и , распределение поддерживается на [ μ , ∞). Это семейство называется односторонним устойчивым распределением . ^[12] Его стандартное распределение ( μ  = 0) определяется как ${\displaystyle \alpha <1}$ ${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle L_{\alpha }(x)=f\left(x;\alpha ,1,\cos \left({\frac {\alpha \pi }{2}}\right)^{1/\alpha },0\right)}$, где ${\displaystyle \alpha <1.}$

Пусть , его характеристическая функция . Таким образом, интегральная форма его PDF равна (примечание: ) ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle \varphi (t;\alpha )=\exp \left(-q|t|^{\alpha }\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {Im} (q)<0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{-\infty }^{\infty }e^{itx}e^{-q|t|^{\alpha }}\,dt\right]\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-\operatorname {Re} (q)\,t^{\alpha }}\sin(tx)\sin(-\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt,{\text{ or }}\\&={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-{\text{Re}}(q)\,t^{\alpha }}\cos(tx)\cos(\operatorname {Im} (q)\,t^{\alpha })\,dt.\end{aligned}}}$$

Интеграл двойного синуса более эффективен для очень малых . ${\displaystyle x}$

Рассмотрим сумму Леви , где , тогда Y имеет плотность , где . Установить , чтобы прийти к устойчивому распределению счетов . ^[13] Его стандартное распределение определяется как ${\textstyle Y=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$ ${\textstyle X_{i}\sim L_{\alpha }(x)}$ ${\textstyle {\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {x}{\nu }}\right)}$ ${\textstyle \nu =N^{1/\alpha }}$ ${\textstyle x=1}$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )={\frac {\alpha }{\Gamma \left({\frac {1}{\alpha }}\right)}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right),{\text{ where }}\nu >0{\text{ and }}\alpha <1.}$

Устойчивое распределение счетов является сопряженным априорным распределением одностороннего устойчивого распределения. Его семейство местоположений-масштабов определяется как

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu -\nu _{0}}}L_{\alpha }\left({\frac {\theta }{\nu -\nu _{0}}}\right),{\text{ where }}\nu >\nu _{0}}$, ${\displaystyle \theta >0,{\text{ and }}\alpha <1.}$

Это также одностороннее распределение, поддерживаемое на . Параметр местоположения является местоположением отсечки, а определяет его масштаб. ${\displaystyle [\nu _{0},\infty )}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$ ${\displaystyle \theta }$

Когда , — распределение Леви , которое является обратным гамма-распределением. Таким образом, — смещенное гамма-распределение формы 3/2 и масштаба , ${\textstyle \alpha ={\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle L_{\frac {1}{2}}(x)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle 4\theta }$

${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )={\frac {1}{4{\sqrt {\pi }}\theta ^{3/2}}}(\nu -\nu _{0})^{1/2}e^{-{\frac {\nu -\nu _{0}}{4\theta }}},{\text{ where }}\nu >\nu _{0},\qquad \theta >0.}$

Его среднее значение равно , а его стандартное отклонение равно . Предполагается, что VIX распределен как с и (см. раздел 7 ^[13] ). Таким образом, стабильное распределение счета является маргинальным распределением первого порядка процесса волатильности. В этом контексте называется «половой волатильностью». ${\displaystyle \nu _{0}+6\theta }$ ${\displaystyle {\sqrt {24}}\theta }$ ${\textstyle {\mathfrak {N}}_{\frac {1}{2}}(\nu ;\nu _{0},\theta )}$ ${\displaystyle \nu _{0}=10.4}$ ${\displaystyle \theta =1.6}$ ${\displaystyle \nu _{0}}$

Другой подход к получению устойчивого распределения количества состоит в использовании преобразования Лапласа одностороннего устойчивого распределения (раздел 2.4 ^[13] ).

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-zx}L_{\alpha }(x)dx=e^{-z^{\alpha }},{\text{ where }}>\alpha <1.}$

Пусть , и можно разложить интеграл в левой части как произведение стандартного распределения Лапласа и стандартного устойчивого распределения счета, ${\displaystyle x=1/\nu }$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|z|}{\nu }}}\right)\left({\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}{\frac {1}{\nu }}L_{\alpha }\left({\frac {1}{\nu }}\right)\right)\,d\nu ={\frac {1}{2}}{\frac {\alpha }{\Gamma ({\frac {1}{\alpha }})}}e^{-|z|^{\alpha }},{\text{ where }}\alpha <1.}$

Это называется «лямбда-разложением» (см. раздел 4 ^[13] ), поскольку правая часть была названа «симметричным лямбда-распределением» в предыдущих работах Лина. Однако у него есть несколько более популярных названий, таких как « экспоненциальное распределение мощности » или «обобщенное распределение ошибок/нормальное распределение», часто упоминаемое, когда . ${\displaystyle \alpha >1}$

N-й момент является -м моментом , а все положительные моменты конечны. ${\displaystyle {\mathfrak {N}}_{\alpha }(\nu )}$ ${\displaystyle -(n+1)}$ ${\displaystyle L_{\alpha }(x)}$

Характеристики

• Устойчивые распределения бесконечно делимы .
• Устойчивые распределения — это лептокуртотические и распределения с тяжелыми хвостами , за исключением нормального распределения ( ). ${\displaystyle \alpha =2}$
• Устойчивые распределения замкнуты относительно свертки .

Устойчивые распределения замкнуты относительно свертки для фиксированного значения . Поскольку свертка эквивалентна умножению преобразованной Фурье функции, то отсюда следует, что произведение двух устойчивых характеристических функций с тем же самым даст еще одну такую ​​же характеристическую функцию. Произведение двух устойчивых характеристических функций определяется как: ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ $${\displaystyle \exp \left(it\mu _{1}+it\mu _{2}-|c_{1}t|^{\alpha }-|c_{2}t|^{\alpha }+i\beta _{1}|c_{1}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi +i\beta _{2}|c_{2}t|^{\alpha }\operatorname {sgn}(t)\Phi \right)}$$

Поскольку Φ не является функцией μ , c или переменных, то эти параметры для свернутой функции определяются следующим образом: ${\displaystyle \beta }$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &=\mu _{1}+\mu _{2}\\c&=\left(c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }\right)^{\frac {1}{\alpha }}\\[6pt]\beta &={\frac {\beta _{1}c_{1}^{\alpha }+\beta _{2}c_{2}^{\alpha }}{c_{1}^{\alpha }+c_{2}^{\alpha }}}\end{aligned}}}$$

В каждом случае можно показать, что полученные параметры лежат в требуемых интервалах для устойчивого распределения.

Обобщенная центральная предельная теорема

Обобщенная центральная предельная теорема (GCLT) была результатом усилий многих математиков ( Берштейна , Линдеберга , Леви , Феллера , Колмогорова и других) в период с 1920 по 1937 год. ^[14] Первое опубликованное полное доказательство (на французском языке) GCLT было в 1937 году Полем Леви . ^[15] Англоязычная версия полного доказательства GCLT доступна в переводе книги Гнеденко и Колмогорова 1954 года. ^[16]

Заявление GLCT выглядит следующим образом: ^[10]

Невырожденная случайная величина Z является α-устойчивой для некоторого 0 < α ≤ 2 тогда и только тогда, когда существует независимая, одинаково распределенная последовательность случайных величин X ₁ , X ₂ , X ₃ , ... и констант a _n > 0, b _n ∈ ℝ с

а _н ( Х ₁ + ... + Х _n ) − б _н → Z.

Здесь → означает, что последовательность сумм случайных величин сходится по распределению, т. е. соответствующие распределения удовлетворяют F _n ( y ) → F ( y ) во всех точках непрерывности F.

Другими словами, если суммы независимых одинаково распределенных случайных величин сходятся по распределению к некоторому Z , то Z должно быть устойчивым распределением.

Особые случаи

Логарифмический график симметричных центрированных устойчивых распределений PDF, показывающий поведение степенного закона для больших x . Поведение степенного закона подтверждается прямолинейным видом PDF для больших x с наклоном, равным . (Единственным исключением является , выделенное черным цветом, которое является нормальным распределением.) ${\displaystyle -(\alpha +1)}$ ${\displaystyle \alpha =2}$

Логарифмический график скошенных центрированных устойчивых распределений PDF, показывающий поведение степенного закона для больших x . Снова наклон линейных участков равен ${\displaystyle -(\alpha +1)}$

Не существует общего аналитического решения для формы f ( x ). Однако есть три особых случая, которые могут быть выражены в терминах элементарных функций , как можно увидеть при рассмотрении характеристической функции : ^{[7] [9] [17]}

• Для распределения это распределение сводится к гауссову с дисперсией σ ² = 2 c ² и средним значением μ ; параметр асимметрии не имеет никакого эффекта. ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta }$
• Для и распределение сводится к распределению Коши с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =0}$
• Для и распределение сводится к распределению Леви с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =1/2}$ ${\displaystyle \beta =1}$

Обратите внимание, что три вышеупомянутых распределения также связаны следующим образом: стандартную случайную величину Коши можно рассматривать как смесь гауссовых случайных величин (все со средним значением, равным нулю), с дисперсией, взятой из стандартного распределения Леви. И на самом деле это частный случай более общей теоремы (см. стр. 59 ^[18] ), которая позволяет рассматривать любое симметричное альфа-устойчивое распределение таким образом (с параметром альфа распределения смеси, равным удвоенному параметру альфа распределения смешивания, и параметром бета распределения смешивания, всегда равным единице).

Общее выражение в замкнутой форме для устойчивых PDF с рациональными значениями доступно в терминах G-функций Мейера . ^[19] H-функции Фокса также могут использоваться для выражения устойчивых функций плотности вероятности. Для простых рациональных чисел выражение в замкнутой форме часто выражается в терминах менее сложных специальных функций . Доступно несколько выражений в замкнутой форме, имеющих довольно простые выражения в терминах специальных функций. В таблице ниже PDF, выражаемые элементарными функциями, обозначены буквой E , а те, которые выражаются специальными функциями, обозначены буквой s . ^[18] ${\displaystyle \alpha }$

Некоторые особые случаи известны под конкретными названиями:

• Для и распределение представляет собой распределение Ландау ( L ), которое имеет конкретное применение в физике под этим названием. ${\displaystyle \alpha =1}$ ${\displaystyle \beta =1}$
• Для и распределение сводится к распределению Хольцмарка с параметром масштаба c и параметром сдвига μ . ${\displaystyle \alpha =3/2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Кроме того, в пределе, когда c стремится к нулю или когда α стремится к нулю, распределение будет приближаться к дельта-функции Дирака δ ( x  −  μ ) .

Представление серии

Устойчивое распределение можно переформулировать как действительную часть более простого интеграла: ^[20] $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}e^{-(ct)^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}\,dt\right].}$$

Выражая вторую экспоненту в виде ряда Тейлора , это приводит к: где . Обратный порядок интегрирования и суммирования и выполнение интегрирования дает: что будет справедливо для x  ≠  μ и будет сходиться для соответствующих значений параметров. (Обратите внимание, что член n  = 0, который дает дельта-функцию в x  −  μ, поэтому был опущен.) Выражение первой экспоненты в виде ряда даст другой ряд по положительным степеням x  −  μ , который, как правило, менее полезен. $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\int _{0}^{\infty }e^{it(x-\mu )}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-qt^{\alpha })^{n}}{n!}}\,dt\right]}$$ ${\displaystyle q=c^{\alpha }(1-i\beta \Phi )}$ $${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {i}{x-\mu }}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]}$$

Для одностороннего устойчивого распределения приведенное выше разложение ряда необходимо модифицировать, поскольку и . Нет действительной части для суммирования. Вместо этого интеграл характеристической функции следует выполнять по отрицательной оси, что дает: ^{[21] [12]} ${\displaystyle q=\exp(-i\alpha \pi /2)}$ ${\displaystyle qi^{\alpha }=1}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}L_{\alpha }(x)&={\frac {1}{\pi }}\Re \left[\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-q)^{n}}{n!}}\left({\frac {-i}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\right]\\&={\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {-\sin(n(\alpha +1)\pi )}{n!}}\left({\frac {1}{x}}\right)^{\alpha n+1}\Gamma (\alpha n+1)\end{aligned}}}$$

Оценка параметров

В дополнение к существующим тестам на нормальность и последующей оценке параметров , Маккалок разработал общий метод, который опирается на квантили и работает как для симметричных, так и для асимметричных устойчивых распределений и параметра устойчивости . ^[22] ${\displaystyle 0.5<\alpha \leq 2}$

Моделирование стабильных переменных

Нет аналитических выражений для обратной функции или самой функции CDF , поэтому метод инверсии не может быть использован для генерации стабильно распределенных переменных. ^{[11] [13]} Другие стандартные подходы, такие как метод отбрасывания, потребовали бы утомительных вычислений. Элегантное и эффективное решение было предложено Чемберсом, Маллоусом и Стаком (CMS), ^[23], которые заметили, что определенная интегральная формула ^[24] дает следующий алгоритм: ^[25] ${\displaystyle F^{-1}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$

• сгенерировать случайную величину, равномерно распределенную на и независимую экспоненциальную случайную величину со средним значением 1; ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$ ${\displaystyle W}$
• для вычисления: ${\displaystyle \alpha \neq 1}$ $${\displaystyle X=\left(1+\zeta ^{2}\right)^{\frac {1}{2\alpha }}{\frac {\sin(\alpha (U+\xi ))}{(\cos(U))^{\frac {1}{\alpha }}}}\left({\frac {\cos(U-\alpha (U+\xi ))}{W}}\right)^{\frac {1-\alpha }{\alpha }},}$$
• для вычисления: где ${\displaystyle \alpha =1}$ $${\displaystyle X={\frac {1}{\xi }}\left\{\left({\frac {\pi }{2}}+\beta U\right)\tan U-\beta \log \left({\frac {{\frac {\pi }{2}}W\cos U}{{\frac {\pi }{2}}+\beta U}}\right)\right\},}$$ $${\displaystyle \zeta =-\beta \tan {\frac {\pi \alpha }{2}},\qquad \xi ={\begin{cases}{\frac {1}{\alpha }}\arctan(-\zeta )&\alpha \neq 1\\{\frac {\pi }{2}}&\alpha =1\end{cases}}}$$

Этот алгоритм выдает случайную величину . Подробное доказательство см. ^[26] ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$

Для моделирования устойчивой случайной величины для всех допустимых значений параметров , и используйте следующее свойство: Если , то . Для (и ) метод CMS сводится к хорошо известному преобразованию Бокса-Мюллера для генерации гауссовых случайных величин. ^[27] Хотя в литературе были предложены и другие подходы, включая применение разложений рядов Бергстрёма ^[28] и ЛеПейджа ^[29] , метод CMS считается самым быстрым и точным. ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle X\sim S_{\alpha }(\beta ,1,0)}$ $${\displaystyle Y={\begin{cases}cX+\mu &\alpha \neq 1\\cX+{\frac {2}{\pi }}\beta c\log c+\mu &\alpha =1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle S_{\alpha }(\beta ,c,\mu )}$ ${\displaystyle \alpha =2}$ ${\displaystyle \beta =0}$

Приложения

Стабильные распределения обязаны своей важностью как в теории, так и на практике обобщению центральной предельной теоремы на случайные величины без моментов второго (и, возможно, первого) порядка и сопутствующей самоподобности стабильного семейства. Именно кажущееся отклонение от нормальности вместе с потребностью в самоподобной модели для финансовых данных (т. е. форма распределения для годовых изменений цен активов должна напоминать форму ежедневных или ежемесячных изменений цен составляющих) привело Бенуа Мандельброта к предположению, что цены на хлопок следуют альфа-стабильному распределению с коэффициентом, равным 1,7. ^[6] Распределения Леви часто встречаются при анализе критического поведения и финансовых данных. ^{[9] [30]} ${\displaystyle \alpha }$

Они также встречаются в спектроскопии как общее выражение для квазистатически расширенной под давлением спектральной линии . ^[20]

Распределение Леви событий времени ожидания солнечных вспышек (время между событиями вспышек) было продемонстрировано для жестких рентгеновских солнечных вспышек CGRO BATSE в декабре 2001 года. Анализ статистической сигнатуры Леви показал, что были очевидны две различные сигнатуры памяти: одна связана с солнечным циклом, а вторая, происхождение которой, по-видимому, связано с локализованными или комбинацией локализованных эффектов солнечной активной области. ^[31]

Другие аналитические случаи

Известен ряд случаев аналитически выражаемых устойчивых распределений. Пусть устойчивое распределение выражается через , тогда: ${\displaystyle f(x;\alpha ,\beta ,c,\mu )}$

• Распределение Коши определяется как ${\displaystyle f(x;1,0,1,0).}$
• Распределение Леви определяется как ${\displaystyle f(x;{\tfrac {1}{2}},1,1,0).}$
• Нормальное распределение определяется как ${\displaystyle f(x;2,0,1,0).}$
• Пусть будет функцией Ломмеля , тогда: ^[32] ${\displaystyle S_{\mu ,\nu }(z)}$ $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},0,1,0\right)=\Re \left({\frac {2e^{-{\frac {i\pi }{4}}}}{3{\sqrt {3}}\pi }}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}S_{0,{\frac {1}{3}}}\left({\frac {2e^{\frac {i\pi }{4}}}{3{\sqrt {3}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)\right)}$$
• Пусть и обозначают интегралы Френеля , тогда: ^[33] ${\displaystyle S(x)}$ ${\displaystyle C(x)}$ $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{2}},0,1,0\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi |x|^{3}}}}\left(\sin \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-S\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]+\cos \left({\tfrac {1}{4|x|}}\right)\left[{\frac {1}{2}}-C\left({\tfrac {1}{\sqrt {2\pi |x|}}}\right)\right]\right)}$$
• Пусть – модифицированная функция Бесселя второго рода, тогда: ^[33] ${\displaystyle K_{v}(x)}$ $${\displaystyle f\left(x;{\tfrac {1}{3}},1,1,0\right)={\frac {1}{\pi }}{\frac {2{\sqrt {2}}}{3^{\frac {7}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}K_{\frac {1}{3}}\left({\frac {4{\sqrt {2}}}{3^{\frac {9}{4}}}}{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)}$$
• Пусть обозначают гипергеометрические функции , тогда: ^[32] причем последняя является распределением Хольцмарка . ${\displaystyle {}_{m}F_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {4}{3}},0,1,0\right)&={\frac {3^{\frac {5}{4}}}{4{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {7}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {11}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {6}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {8}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {7}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {6}{12}},{\tfrac {8}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)-{\frac {3^{\frac {11}{4}}x^{3}}{4^{3}{\sqrt {2\pi }}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {13}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {17}{12}}\right)}{\Gamma \left({\tfrac {18}{12}}\right)\Gamma \left({\tfrac {15}{12}}\right)}}{}_{2}F_{2}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {17}{12}};{\tfrac {18}{12}},{\tfrac {15}{12}};{\tfrac {3^{3}x^{4}}{4^{4}}}\right)\\[6pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},0,1,0\right)&={\frac {\Gamma \left({\tfrac {5}{3}}\right)}{\pi }}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {5}{12}},{\tfrac {11}{12}};{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {5}{6}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)-{\frac {x^{2}}{3\pi }}{}_{3}F_{4}\left({\tfrac {3}{4}},1,{\tfrac {5}{4}};{\tfrac {2}{3}},{\tfrac {5}{6}},{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {4}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)+{\frac {7x^{4}\Gamma \left({\tfrac {4}{3}}\right)}{3^{4}\pi ^{2}}}{}_{2}F_{3}\left({\tfrac {13}{12}},{\tfrac {19}{12}};{\tfrac {7}{6}},{\tfrac {3}{2}},{\tfrac {5}{3}};-{\tfrac {2^{2}x^{6}}{3^{6}}}\right)\end{aligned}}}$$
• Пусть будет функцией Уиттекера , тогда: ^{[34] [35] [36]} ${\displaystyle W_{k,\mu }(z)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f\left(x;{\tfrac {2}{3}},0,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\tfrac {2}{27}}x^{-2}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {4}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {2}{3}},1,1,0\right)&={\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left(-{\tfrac {16}{27}}x^{-2}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\tfrac {32}{27}}x^{-2}\right)\\[8pt]f\left(x;{\tfrac {3}{2}},1,1,0\right)&={\begin{cases}{\frac {\sqrt {3}}{{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left(-{\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x<0\\{}\\{\frac {\sqrt {3}}{6{\sqrt {\pi }}|x|}}\exp \left({\frac {1}{27}}x^{3}\right)W_{-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}}}\left({\frac {2}{27}}x^{3}\right)&x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}$$

Смотрите также

• Полет Леви
• Процесс Леви
• Другие распределения «степенного закона»
  • Распределение Парето
  • Распределение Зета
  • Распределение Зипфа
  • Распределение Ципфа-Мандельброта
• Финансовые модели с длиннохвостыми распределениями и кластеризацией волатильности
• Многомерное стабильное распределение
• Дискретно-устойчивое распределение

Реализации программного обеспечения

• Программа STABLE для Windows доступна на стабильной веб-странице Джона Нолана: http://www.robustanalysis.com/public/stable.html. Она вычисляет плотность (pdf), кумулятивную функцию распределения (cdf) и квантили для общего стабильного распределения, а также выполняет оценку максимального правдоподобия стабильных параметров и некоторые методы разведочного анализа данных для оценки соответствия набора данных.
• В научной библиотеке GNU , написанной на языке C, имеется пакет randist , который помимо распределений Гаусса и Коши включает также реализацию альфа-устойчивого распределения Леви, как с параметром перекоса, так и без него.
• libstable — это реализация на языке C для функций стабильного распределения PDF, CDF, случайных чисел, квантилей и подгонки (вместе с пакетом репликации эталонных данных и пакетом R).
• Пакет R 'stabledist' от Дитхельма Вюрца, Мартина Мейхлера и членов основной команды Rmetrics. Вычисляет стабильную плотность, вероятность, квантили и случайные числа.
• Реализация Python находится в scipy.stats.levy_stable в пакете SciPy .
• Julia предоставляет пакет StableDistributions.jl, который содержит методы генерации, подгонки, плотности вероятности, кумулятивной функции распределения, характеристических и моментных генерирующих функций, квантильных и связанных функций, свертки и аффинных преобразований устойчивых распределений. Он использует модернизированные алгоритмы, улучшенные Джоном П. Ноланом. ^[10]

Ссылки

1. Мандельброт, Б. (1960). «Закон Парето–Леви и распределение доходов». International Economic Review . 1 (2): 79–106. doi :10.2307/2525289. JSTOR  2525289.
2. Леви, Поль (1925). Расчет вероятностей . Париж: Готье-Виллар. ОСЛК  1417531.
3. Мандельброт, Б. (1961). «Стабильные паретианские случайные функции и мультипликативная вариация дохода». Econometrica . 29 (4): 517–543. doi :10.2307/1911802. JSTOR  1911802.
4. Мандельброт, Б. (1963). «Изменение некоторых спекулятивных цен». Журнал бизнеса . 36 (4): 394–419. doi :10.1086/294632. JSTOR  2350970.
5. Фама, Юджин Ф. (1963). «Мандельброт и стабильная паретианская гипотеза». Журнал бизнеса . 36 (4): 420–429. doi :10.1086/294633. JSTOR  2350971.
6. Мандельброт, Б. (1963). «Новые методы в статистической экономике». Журнал политической экономии . 71 (5): 421–440. doi :10.1086/258792. S2CID  53004476.
7. Нолан, Джон П. "Стабильные распределения – модели для данных с тяжелыми хвостами" (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 2011-07-17 . Получено 2009-02-21 .
8. Сигрист, Кайл. «Стабильные распределения». www.randomservices.org . Получено 18 октября 2018 г.
9. Voit, Johannes (2005). Balian, R; Beiglböck, W; Grosse, H; Thirring, W (ред.). Статистическая механика финансовых рынков – Springer . Тексты и монографии по физике. Springer. doi :10.1007/b137351. ISBN 978-3-540-26285-5.
10. Нолан, Джон П. (2020). Одномерные стабильные распределения, модели для данных с тяжелыми хвостами. Серия Springer по исследованию операций и финансовому инжинирингу. Швейцария: Springer. doi : 10.1007/978-3-030-52915-4. ISBN 978-3-030-52914-7. S2CID  226648987.
11. Nolan, John P. (1997). «Численный расчет устойчивых плотностей и функций распределения». Communications in Statistics. Стохастические модели . 13 (4): 759–774. doi :10.1080/15326349708807450. ISSN  0882-0287.
12. Penson, KA; Górska, K. (2010-11-17). "Точные и явные плотности вероятности для односторонних распределений Леви". Physical Review Letters . 105 (21): 210604. arXiv : 1007.0193 . Bibcode :2010PhRvL.105u0604P. doi :10.1103/PhysRevLett.105.210604. PMID  21231282. S2CID  27497684.
13. Лихн, Стивен (2017). «Теория доходности активов и волатильности при стабильном законе и стабильном лямбда-распределении». SSRN .
14. Le Cam, L. (февраль 1986 г.). «Центральная предельная теорема около 1935 г.». Статистическая наука . 1 (1): 78–91. JSTOR  2245503.
15. Леви, Поль (1937). Теория сложения непредсказуемых переменных . Париж: Готье-Виллар.
16. Гнеденко, Борис Владимирович; Кологоров, Андрей Николаевич; Дуб, Джозеф Л.; Сюй, Пао-Лу (1968). Предельные распределения для сумм независимых случайных величин . Reading, MA: Addison-wesley.
17. Самородницкий, Г.; Такку, М.С. (1994). Устойчивые негауссовские случайные процессы: стохастические модели с бесконечной дисперсией. CRC Press. ISBN 9780412051715.
18. Lee, Wai Ha (2010). Непрерывные и дискретные свойства стохастических процессов. Кандидатская диссертация, Ноттингемский университет.
19. Золотарев, В. (1995). «О представлении плотностей устойчивых законов специальными функциями». Теория вероятностей и ее приложения . 39 (2): 354–362. doi :10.1137/1139025. ISSN  0040-585X.
20. Peach, G. (1981). "Теория уширения и сдвига спектральных линий под давлением". Advances in Physics . 30 (3): 367–474. Bibcode :1981AdPhy..30..367P. doi :10.1080/00018738100101467. ISSN  0001-8732.
21. Поллард, Говард (1946). «Представление e^{-x^\lambda} как интеграла Лапласа». Bull. Amer. Math. Soc . 52 : 908. doi : 10.1090/S0002-9904-1946-08672-3 .
22. Маккалок, Дж. Хьюстон (1986). "Простые согласованные оценки параметров устойчивого распределения" (PDF) . Сообщения по статистике. Моделирование и вычисления . 15 : 1109–1136. doi :10.1080/03610918608812563.
23. Chambers, JM; Mallows, CL; Stuck, BW (1976). «Метод моделирования стабильных случайных величин». Журнал Американской статистической ассоциации . 71 (354): 340–344. doi :10.1080/01621459.1976.10480344. ISSN  0162-1459.
24. Золотарев, В. М. (1986). Одномерные устойчивые распределения . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-4519-6.
25. Misiorek, Adam; Weron, Rafał (2012). Gentle, James E.; Härdle, Wolfgang Karl; Mori, Yuichi (ред.). Heavy-Tailed Distributions in VaR Calculations (PDF) . Springer Handbooks of Computational Statistics. Springer Berlin Heidelberg. стр. 1025–1059. doi :10.1007/978-3-642-21551-3_34. ISBN 978-3-642-21550-6.
26. Верон, Рафал (1996). «О методе Чемберса-Мэллоуса-Стак для моделирования перекошенных устойчивых случайных величин». Statistics & Probability Letters . 28 (2): 165–171. CiteSeerX 10.1.1.46.3280 . doi :10.1016/0167-7152(95)00113-1. S2CID  9500064. 
27. Яницкий, Александр; Верон, Александр (1994). Моделирование и хаотическое поведение альфа-устойчивых стохастических процессов. CRC Press. ISBN 9780824788827.
28. Мантенья, Росарио Нунцио (1994). «Быстрый, точный алгоритм для численного моделирования стабильных стохастических процессов Леви». Physical Review E. 49 ( 5): 4677–4683. Bibcode : 1994PhRvE..49.4677M. doi : 10.1103/PhysRevE.49.4677. PMID  9961762.
29. Яницкий, Александр; Кокошка, Петр (1992). «Компьютерное исследование скорости сходимости рядов типа Лепажа к α-устойчивым случайным величинам». Статистика . 23 (4): 365–373. doi :10.1080/02331889208802383. ISSN  0233-1888.
30. Рачев, Светлозар Т.; Миттник, Стефан (2000). Стабильные паретианские модели в финансах. Wiley. ISBN 978-0-471-95314-2.
31. Леддон, Д., Статистическое исследование жестких рентгеновских солнечных вспышек.
32. Garoni, TM; Frankel, NE (2002). «Полеты Леви: Точные результаты и асимптотика за пределами всех порядков». Журнал математической физики . 43 (5): 2670–2689. Bibcode : 2002JMP....43.2670G. doi : 10.1063/1.1467095.
33. Hopcraft, KI; Jakeman, E.; Tanner, RMJ (1999). «Случайные блуждания Леви с флуктуирующим числом шагов и многомасштабным поведением». Physical Review E. 60 ( 5): 5327–5343. Bibcode :1999PhRvE..60.5327H. doi :10.1103/physreve.60.5327. PMID  11970402.
34. Учайкин, В.В.; Золотарев, В.М. (1999). «Случайность и устойчивость – устойчивые распределения и их приложения». VSP .
35. Злотарев, В. М. (1961). «Выражение плотности устойчивого распределения с показателем альфа больше единицы через частоту с показателем 1/альфа». Избранные переводы по математической статистике и теории вероятностей (перевод с русского: Докл. АН СССР. 98, 735–738 (1954)) . 1 : 163–167.
36. Заляпин, IV; Каган, YY; Шенберг, FP (2005). «Аппроксимация распределения сумм Парето». Чистая и прикладная геофизика . 162 (6): 1187–1228. Bibcode : 2005PApGe.162.1187Z. doi : 10.1007/s00024-004-2666-3. S2CID  18754585.