Взаимность (электрические сети)

Взаимность в электрических сетях — это свойство цепи, связывающее напряжения и токи в двух точках. Теорема взаимности гласит, что ток в одной точке цепи из-за напряжения во второй точке такой же, как ток во второй точке из-за того же напряжения в первой. Теорема взаимности верна почти для всех пассивных сетей. Теорема взаимности является особенностью более общего принципа взаимности в электромагнетизме .

Описание

Если ток , , введенный в порт A, создает напряжение , , в порту B, а введенный в порт B создает в порту A, то сеть называется взаимной. Эквивалентно, взаимность может быть определена двойственной ситуацией: приложение напряжения , в порту A создает ток в порту B, а в порту B создает ток в порту A. ^[1] В общем случае пассивные сети являются взаимной. Любая сеть, которая полностью состоит из идеальных емкостей , индуктивностей (включая взаимную индуктивность ) и сопротивлений , то есть элементов, которые являются линейными и двусторонними, будет взаимной. ^[2] Однако существуют пассивные компоненты, которые являются невзаимными. Любой компонент, содержащий ферромагнитный материал, вероятно, будет невзаимным. Примерами пассивных компонентов, намеренно разработанных как невзаимные, являются циркуляторы и изоляторы . ^[3] ${\displaystyle I_{\text{A}}}$ ${\displaystyle V_{\text{B}}}$ ${\displaystyle I_{\text{A}}}$ ${\displaystyle V_{\text{B}}}$ ${\displaystyle V_{\text{A}}}$ ${\displaystyle I_{\text{B}}}$ ${\displaystyle V_{\text{A}}}$ ${\displaystyle I_{\text{B}}}$

Передаточная функция обратной сети имеет свойство быть симметричной относительно главной диагонали , если она выражена в терминах матрицы z-параметра , y-параметра или s-параметра . Несимметричная матрица подразумевает необратную сеть. Симметричная матрица не подразумевает симметричную сеть . ^[4]

В некоторых параметризациях сетей репрезентативная матрица не симметрична для взаимных сетей. Обычными примерами являются h-параметры и ABCD-параметры , но все они имеют некоторые другие условия для взаимности, которые могут быть вычислены из параметров. Для h-параметров условием является , а для ABCD-параметров — . Эти представления смешивают напряжения и токи в одном и том же векторе-столбце и поэтому даже не имеют соответствующих единиц в транспонированных элементах. ^[5] ${\displaystyle h_{12}=-h_{21}}$ ${\displaystyle AD-BC=1}$

Пример

Пример взаимности можно продемонстрировать с помощью асимметричного резистивного аттенюатора . Асимметричная сеть выбрана в качестве примера, поскольку симметричная сеть, очевидно, является взаимной.

Асимметричный аттенюатор в форме П с номиналами резисторов 20, 12 и 8 Ом слева направо

Подача 6 ампер на порт 1 этой сети создает 24  вольта на порту 2.

Предыдущий аттенюатор, показывающий разделение тока порта 1 до 3 А в каждой ветви

Подача 6 ампер в порт 2 дает 24 вольта на порту 1.

Предыдущий аттенюатор, показывающий разделение тока порта 2 на 1,2 и 4,8 А по горизонтальным и вертикальным ветвям соответственно

Следовательно, сеть является взаимной. В этом примере порт, который не подает ток, остается разомкнутым. Это происходит потому, что генератор тока, подающий нулевой ток, является разомкнутым контуром. Если, с другой стороны, кто-то хочет подать напряжение и измерить полученный ток, то порт, к которому напряжение не подается, будет закорочен. Это происходит потому, что генератор напряжения, подающий ноль вольт, является короткозамкнутым контуром.

Доказательство

Взаимность электрических сетей является частным случаем взаимности Лоренца , но ее также можно доказать более непосредственно из теорем о сетях. Это доказательство показывает взаимность для двухузловой сети с точки зрения ее матрицы проводимости , а затем показывает взаимность для сети с произвольным числом узлов с помощью аргумента индукции . Линейная сеть может быть представлена ​​как набор линейных уравнений с помощью узлового анализа . Для сети, состоящей из n +1 узлов (один из которых является опорным узлом), где, как правило, проводимость подключена между каждой парой узлов и где ток вводится в каждый узел (обеспечиваемый идеальным источником тока, подключенным между узлом и опорным узлом), эти уравнения могут быть выражены в виде матрицы проводимости, ^[6]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\\\vdots \\I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}&\cdots &Y_{1n}\\Y_{21}&Y_{22}&\cdots &Y_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\Y_{n1}&Y_{n2}&\cdots &Y_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\\\vdots \\V_{n}\end{bmatrix}}}$

где

${\displaystyle I_{k}}$ток, подаваемый в узел k генератором (который равен нулю, если к узлу k не подключен источник тока )

${\displaystyle V_{k}}$— это напряжение в узле k относительно опорного узла (можно также сказать, что это электрический потенциал в узле k )

${\displaystyle Y_{jk}}$( j ≠ k ) — отрицательное значение проводимости, непосредственно соединяющей узлы j и k (если таковые имеются)

${\displaystyle Y_{kk}}$представляет собой сумму проводимостей, подключенных к узлу k (независимо от другого узла, к которому подключена проводимость).

Это представление соответствует тому, которое получено с помощью узлового анализа . Если мы далее потребуем, чтобы сеть состояла из пассивных, двусторонних элементов, то

${\displaystyle Y_{jk}=Y_{kj}}$

поскольку проводимость, соединенная между узлами j и k, является тем же элементом, что и проводимость, соединенная между узлами k и j . Матрица, таким образом, симметрична. ^[7] Для случая, когда матрица сводится к, ${\displaystyle n=2}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{bmatrix}}}$.

Из чего видно, что,

${\displaystyle Y_{12}=\left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}}$и

${\displaystyle Y_{21}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}\ .}$

Но с тех пор, ${\displaystyle Y_{12}=Y_{21}}$

${\displaystyle \left.{\frac {I_{1}}{V_{2}}}\right|_{V_{1}=0}=\left.{\frac {I_{2}}{V_{1}}}\right|_{V_{2}=0}}$

что является синонимом условия взаимности. Другими словами, отношение тока на одном порту к напряжению на другом является тем же отношением, если управляемые и измеряемые порты поменять местами. Таким образом, взаимность доказана для случая . ^[8] ${\displaystyle n=2}$

Для случая матрицы произвольного размера порядок матрицы может быть уменьшен путем исключения узлов . После исключения s -го узла новая матрица проводимости будет иметь вид,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}(Y_{11}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{1s})&(Y_{12}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{1s})&(Y_{13}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{1s})&\cdots \\(Y_{21}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{2s})&(Y_{22}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{2s})&(Y_{23}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{2s})&\cdots \\(Y_{31}Y_{ss}-Y_{s1}Y_{3s})&(Y_{32}Y_{ss}-Y_{s2}Y_{3s})&(Y_{33}Y_{ss}-Y_{s3}Y_{3s})&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{bmatrix}}}$

Видно, что эта новая матрица также симметрична. Узлы можно продолжать исключать таким образом, пока не останется только симметричная матрица 2×2, включающая два интересующих узла. Поскольку эта матрица симметрична, доказано, что взаимность применяется к матрице произвольного размера, когда один узел приводится в действие напряжением и током, измеряемыми в другом. Похожий процесс с использованием матрицы импеданса из анализа сетки демонстрирует взаимность, когда один узел приводится в действие током, а напряжение измеряется в другом. ^[9]

Ссылки

1. Бакши и Бакши, стр. 7-27–7-28
2. Кумар, стр. 700
3. Харрис, стр. 632
4. Чжан и Ли, стр. 119
5. Кумар, стр. 700
6. Гийемен, стр. 77–79.
7. Гийемен, стр. 79
8. Гийемен, стр. 148–149.
9. Гийемен, стр. 149–150.

Библиография

• Бакши, У.А.; Бакши, А.В., Электрические сети , Технические публикации, 2008 ISBN  8184314647 .
• Гийемен, Эрнст А., Введение в теорию цепей , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, 1953 OCLC  535111
• Кумар, К. С. Суреш, Электрические цепи и сети , Pearson Education India, 2008 ISBN 8131713903 . 
• Харрис, Винсент Г., «Микроволновые ферриты и их применение», гл. 14 в, Майладил Т. Себастьян, Рик Убик, Хели Янтунен, Микроволновые материалы и их применение , John Wiley & Sons, 2017 ISBN 1119208521 . 
• Чжан, Кэцюань; Ли, Дэцзе, Электромагнитная теория для микроволн и оптоэлектроники , Springer Science & Business Media, 2013 ISBN 3662035537 .