расслоение Хопфа

Пучок волокон 3-сферы над 2-сферой, с 1-сферами в качестве волокон.

Расслоение Хопфа можно визуализировать, используя стереографическую проекцию S ³ на R ³ и затем сжимая R ³ в шар. На этом изображении показаны точки на S ² и соответствующие им волокна одного цвета.

Попарно связанные брелоки имитируют часть расслоения Хопфа.

В математической области дифференциальной топологии расслоение Хопфа ( также известное как расслоение Хопфа или отображение Хопфа ) описывает 3-сферу ( гиперсферу в четырехмерном пространстве ) в терминах кругов и обычной сферы . Обнаруженный Хайнцем Хопфом в 1931 году, он является влиятельным ранним примером пучка волокон . Технически Хопф нашел непрерывную функцию (или «карту») «многие к одному» из 3- сферы в 2- сферу, такую, что каждая отдельная точка 2- сферы отображается из отдельного большого круга 3- сферы . (Хопф 1931). ^[1] Таким образом, 3- сфера состоит из волокон, где каждое волокно представляет собой круг — по одному на каждую точку 2- сферы.

Эта структура расслоения обозначается

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},}$

это означает, что расслоение S ¹ (круг) вложено в тотальное пространство S ³ ( 3 -сфера), а p  :  S ³ → S ² (отображение Хопфа) проецирует S ³ на базовое пространство S ² (обычное 2 -сфера). Расслоение Хопфа, как и любое расслоение, обладает важным свойством: оно локально является пространством произведения . Однако это не тривиальное расслоение , т.е. S3 не является глобально произведением S2 и ^{S1 , хотя локально оно} от него неотличимо.

Это имеет множество последствий: например, существование этого расслоения показывает, что высшие гомотопические группы сфер вообще не являются тривиальными. Он также предоставляет базовый пример главного расслоения , идентифицируя слой с группой кругов .

Стереографическая проекция расслоения Хопфа приводит к замечательной структуре на R ³ , в которой все трехмерное пространство, за исключением оси z, заполнено вложенными торами , состоящими из соединяющих кругов Вилларсо . Здесь каждое волокно представляет собой окружность в пространстве (одна из которых представляет собой линию, которую можно представить как «круг, проходящий через бесконечность»). Каждый тор представляет собой стереографическую проекцию обратного изображения круга широты 2- сферы. (Топологически тор представляет собой произведение двух окружностей.) Эти торы показаны на изображениях справа. При сжатии R ³ до границы шара некоторая геометрическая структура теряется, хотя топологическая структура сохраняется (см. Топология и геометрия ). Петли гомеоморфны окружностям, хотя и не являются геометрическими окружностями .

Существует множество обобщений расслоения Хопфа. Единичная сфера в комплексном координатном пространстве C ^{n +1} естественным образом расслояется над комплексным проективным пространством CP ⁿ с кругами в качестве слоев, а также существуют действительные , кватернионные , ^[2] и октононные версии этих расслоений. В частности, расслоение Хопфа принадлежит семейству из четырех расслоений, в которых все пространство, базовое пространство и расслоенное пространство являются сферами:

${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},}$

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},}$

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.}$

По теореме Адамса такие расслоения могут возникать только в этих измерениях.

Расслоение Хопфа играет важную роль в теории твисторов . ^{[ нужны разъяснения ]}

Определение и конструкция

Для любого натурального числа n n -мерная сфера или n-сфера может быть определена как набор точек в -мерном пространстве , которые находятся на фиксированном расстоянии от центральной точки . Для конкретности за начало координат можно принять центральную точку , а расстояние точек на сфере от этого начала принять за единицу длины. Согласно этому соглашению, n -сфера состоит из точек с x ₁ ²  +  x ₂ ²  + ⋯+  x _{n + 1} ²  = 1. Например, 3 -сфера состоит из точек ( x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  x ₄ ) в R ⁴ с x ₁ ²  +  x ₂ ²  +  x ₃ ²  +  x ₄ ²  = 1. ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

Расслоение Хопфа p : S ³ → S ² 3- сферы над 2- сферой можно определить несколькими способами.

Прямое строительство

Отождествите R ⁴ с C ² и R ³ с C × R (где C обозначает комплексные числа ), написав:

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_{3}+ix_{4})}$

и

${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})}$.

Таким образом ^, S3 отождествляется ^с подмножеством всех ( z0 , z1 ) в _C2 таких _, что | я ₀ | ² + | я ₁ | ²  = 1 , а S ² отождествляется с подмножеством всех ( z , x ) в C × R таких, что | г | ²  +  Икс ² = 1 . (Здесь для комплексного числа z  = x  + i y , | z | ²  = z  z ^∗  = x ²  +  y ² , где звездочка обозначает комплексно-сопряженное число .) Тогда расслоение Хопфа p определяется формулой

${\displaystyle p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).}$

Первый компонент представляет собой комплексное число, тогда как второй компонент является действительным. Любая точка 3- сферы должна обладать свойством | я ₀ | ²  + | я ₁ | ²  = 1 . Если это так, то p ( z0 , z1 ) лежит на единичной 2- сфере в C × R , _{как можно показать ,} сложив квадраты абсолютных значений комплексной и вещественной компонент p

${\displaystyle 2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1}$

Более того, если две точки на 3-сфере сопоставляются с одной и той же точкой на 2-сфере, т. е. если p ( z ₀ , z ₁ ) = p ( w ₀ , w ₁ ) , то ( w ₀ , w ₁ ) должно быть равно ( λ  z ₀ , λ  z ₁ ) для некоторого комплексного числа λ с | λ | ²  = 1 . Обратное также верно; любые две точки на 3- сфере, отличающиеся общим комплексным коэффициентом λ, сопоставляются с одной и той же точкой на 2- сфере. Эти выводы следуют из того, что комплексный множитель λ сокращается со своим комплексно-сопряженным λ ^∗ в обеих частях p : в комплексной 2 z ₀ z ₁ ^∗ компоненте и в действительной компоненте | я ₀ | ²  − | я ₁ | ² .

Поскольку множество комплексных чисел λ с | λ | ²  = 1 образуют единичную окружность на комплексной плоскости, отсюда следует, что для каждой точки m в S 2 прообраз p − 1 ⁽ m ) ^{является} окружностью , т . е. p ⁻¹ m  ≅  S ¹ . Таким образом, 3- сфера реализуется как непересекающееся объединение этих круговых волокон.

Прямая параметризация 3- сферы с использованием отображения Хопфа заключается в следующем. ^[3]

${\displaystyle z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta }$

${\displaystyle z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .}$

или в евклидовом R ⁴

${\displaystyle x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta }$

${\displaystyle x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

${\displaystyle x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta }$

Где η находится в диапазоне от 0 до π /2 , ξ ₁ — в диапазоне от 0 до 2 π , а ξ ₂ может принимать любое значение от 0 до 4 π . Каждое значение η , за исключением 0 и π /2 , которые определяют круги, определяет отдельный плоский тор в 3- сфере, и одно путешествие туда и обратно ( от 0 до 4 π ) либо ξ ₁ , либо ξ ₂ заставляет вас совершить один полный круг. обоих конечностей тора.

Отображение указанной выше параметризации на 2 -сферу происходит следующим образом: точки на окружностях параметризуются ξ ₂ .

${\displaystyle z=\cos(2\eta )}$

${\displaystyle x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}}$

${\displaystyle y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}}$

Геометрическая интерпретация с использованием сложной проективной линии

Геометрическую интерпретацию расслоения можно получить, используя комплексную проективную прямую CP 1 ^, которая определяется как множество всех комплексных одномерных подпространств C ² . Эквивалентно, CP ¹ является фактором C ² \{0} по отношению эквивалентности , которое отождествляет ( z ₀ , z ₁ ) с ( λ z ₀ , λ z ₁ ) для любого ненулевого комплексного числа λ . На любой комплексной прямой в C ² существует окружность единичной нормы, поэтому ограничение фактор- отображения на точки единичной нормы является расслоением S ³ над CP ¹ .

CP ¹ диффеоморфен 2 - сфере : действительно, его можно отождествить со сферой Римана C _∞ = C ∪ {∞} , которая является одноточечной компактификацией C(полученной добавлением точки на бесконечности ). Приведенная выше формула для p определяет явный диффеоморфизм между комплексной проективной прямой и обычной 2 -сферой в 3 -мерном пространстве. Альтернативно, точка ( z ₀ , z ₁ ) может быть отображена в отношение z ₁ / z ₀ в сфере Римана C _∞ .

Структура пучка волокон

Расслоение Хопфа определяет расслоение с проекцией расслоения p . Это означает, что он имеет «локальную структуру произведения» в том смысле, что каждая точка 2- сферы имеет некоторую окрестность U , прообраз которой в 3 -сфере можно отождествить с произведением U и круга: p ⁻¹ ( U ) ≅  U × S ¹ . Такое расслоение называется локально тривиальным .

^Для расслоения Хопфа достаточно удалить одну точку m из S2 и соответствующую окружность p ⁻¹ ( ^m ) из S3 ; таким образом ^, можно взять U = S2 \{ m } , и любая точка из ^S2 имеет окрестность такого вида.

Геометрическая интерпретация с использованием вращений

Другую геометрическую интерпретацию расслоения Хопфа можно получить, рассматривая вращения 2 -сферы в обычном 3 -мерном пространстве. Группа вращений SO(3) имеет двойное накрытие — спиновую группу Spin(3) , диффеоморфную 3- сфере . Спиновая группа действует ^{транзитивно} на S2 вращениями . Стабилизатор точки изоморфен группе окружностей ; его элементы представляют собой углы вращения, оставляющие данную точку неподвижной, и все они имеют общую ось, соединяющую эту точку с центром сферы. Отсюда легко следует, что 3- сфера является расслоением главных кругов над 2 -сферой и это расслоение Хопфа.

Чтобы сделать это более явным, есть два подхода: группу Spin(3) можно отождествить либо с группой Sp(1) единичных кватернионов , либо со специальной унитарной группой SU(2) .

В первом подходе вектор ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) в R ⁴ интерпретируется как кватернион q ∈ H , записывая

${\displaystyle q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!}$

Затем 3 - сфера отождествляется с версорами , кватернионами единичной нормы, теми q ∈ H , для которых | д | ² = 1 , где | д | ² = qq ^∗ , что равно x ₁ ² + x ₂ ² + x ₃ ² + x ₄ ² для q , как указано выше.

С другой стороны , вектор ( y1 , y2 _, y3 ) в _R3 можно интерпретировать как чистый ^{кватернион} _.

${\displaystyle p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!}$

Тогда, как известно со времен Кэли (1845 г.), отображение

${\displaystyle p\mapsto qpq^{*}\,\!}$

является вращением в R3 : действительно, это, очевидно, ^{изометрия} , поскольку | qpq ^* | ² знак равно qpq ^* qp ^* q ^* знак равно qpp ^* q ^* = | р | ² , и нетрудно проверить, что он сохраняет ориентацию.

Фактически это отождествляет группу версоров с группой вращений R ³ по модулю того факта, что версоры q и − q определяют одно и то же вращение. Как отмечалось выше, вращения действуют транзитивно на S ² , а множество версоров q , фиксирующих данный правый версор p, имеет вид q = u + v p , где u и v — действительные числа с u ² + v ² = 1. . Это подгруппа круга. Для конкретности можно взять p = k , и тогда расслоение Хопфа можно определить как отображение, переводящее ^версор ω в ωk ω ∗ . Все кватернионы ωq , где q — один из кругов версоров, фиксирующих k , отображаются в одно и то же (что оказывается одним из двух поворотов на 180° , поворачивающих k в то же место, что и ω ).

Другой способ взглянуть на это расслоение состоит в том, что каждый версор ω перемещает плоскость, натянутую на {1, k } , в новую плоскость, натянутую на { ω , ωk } . Любой кватернион ωq , где q — один из круга версоров, фиксирующих k , будет иметь тот же эффект. Мы помещаем все это в одно волокно, и волокна можно взаимно однозначно сопоставить с 2- сферой с поворотом на 180° , что соответствует диапазону ωkω ^* .

Этот подход связан с прямым построением путем идентификации кватерниона q = x ₁ + i x ₂ + j x ₃ + k x ₄ с матрицей 2×2 :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!}$

Это идентифицирует группу версоров с SU(2) и мнимые кватернионы с косоэрмитовыми матрицами 2×2 (изоморфными C × R ).

Явные формулы

Вращение, индуцированное единичным кватернионом q = w + i x + j y + k z, явно задается ортогональной матрицей

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.}$

Здесь мы находим явную действительную формулу для проекции расслоения, отмечая, что фиксированный единичный вектор вдоль оси z (0,0,1) вращается в другой единичный вектор,

${\displaystyle {\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!}$

которая является непрерывной функцией от ( w , x , y , z ) . То есть изображение q — это точка на 2- сфере, куда он направляет единичный вектор вдоль оси z . Слой для данной точки на S ² состоит из всех тех единичных кватернионов, которые отправляют туда единичный вектор.

^{Мы также можем написать явную формулу для слоя над} точкой ( a , b , c ) в S2 . Умножение единичных кватернионов дает композицию вращений, и

${\displaystyle q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta }$

представляет собой поворот на 2 θ вокруг оси z . Поскольку θ изменяется, это сметает большой круг S 3 ^, нашего прототипного волокна. Пока базовая точка ( a , b , c ) не является антиподом (0, 0, −1) , кватернион

${\displaystyle q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)}$

отправит (0, 0, 1) в ( a , b , c ) . Таким образом, слой ( a , b , c ) задается кватернионами формы q _{( a , b , c )} q _θ , которые являются точками S3 ^.

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!}$

Поскольку умножение на q _{( a , b , c )} действует как вращение пространства кватернионов, слой представляет собой не просто топологический круг, это геометрический круг.

Последний слой для (0, 0, −1) можно задать, определив q _(0,0,−1) равным i , что даст

${\displaystyle {\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},}$

который завершает комплект. Но обратите внимание, что это взаимно однозначное отображение между S ³ и S ² × S ¹ не является непрерывным на этой окружности, что отражает тот факт, что S ³ не топологически эквивалентно S ² × S ¹ .

Таким образом, простой способ визуализации расслоения Хопфа заключается в следующем. Любая точка на 3- сфере эквивалентна кватерниону , который, в свою очередь, эквивалентен определенному вращению декартовой системы координат в трех измерениях. Набор всех возможных кватернионов создает набор всех возможных вращений, который перемещает кончик одного единичного вектора такой системы координат (скажем, вектора z ) во все возможные точки на единичной 2- сфере. Однако фиксация кончика вектора z не полностью определяет вращение; возможно дальнейшее вращение вокруг оси z . Таким образом, 3- сфера отображается на 2- сферу плюс одно вращение.

Вращение можно представить с помощью углов Эйлера θ, φ и ψ. Отображение Хопфа отображает вращение в точку на 2-сфере, заданную θ и φ, а соответствующая окружность параметризуется ψ. Обратите внимание, что когда θ = π, углы Эйлера φ и ψ не определены индивидуально, поэтому у нас нет взаимно однозначного отображения (или отображения один-два) между 3-тором (θ, φ , ψ) и S ³ .

Гидравлическая механика

Если расслоение Хопфа рассматривать как векторное поле в трехмерном пространстве, то существует решение (сжимаемых, невязких) уравнений динамики жидкости Навье – Стокса , в которых жидкость течет по окружностям проекции расслоения Хопфа. в трехмерном пространстве. Величина скоростей, плотность и давление могут быть выбраны в каждой точке так, чтобы удовлетворять уравнениям. Все эти величины падают до нуля по мере удаления от центра. Если a — расстояние до внутреннего кольца, поля скорости, давления и плотности определяются по формуле:

${\displaystyle \mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)}$

${\displaystyle p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},}$

${\displaystyle \rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}}$

для произвольных констант A и B . Подобные картины полей встречаются как солитонные решения магнитогидродинамики : ^[4]

Обобщения

Конструкция Хопфа, рассматриваемая как расслоение p : S ³ → CP ¹ , допускает несколько обобщений, которые также часто называют расслоениями Хопфа. Во-первых, можно заменить проективную прямую n -мерным проективным пространством . Во-вторых, можно заменить комплексные числа любой (действительной) алгеброй с делением , включая (при n = 1) октонионы .

Настоящие расслоения Хопфа

Действительная версия расслоения Хопфа получается, если обычным способом рассматривать окружность S ¹ как подмножество R ² и отождествлять антиподальные точки. Это дает расслоение S ¹ → RP ¹ над вещественной проективной прямой со слоем S ⁰ = {1, −1}. Подобно тому, как CP ¹ диффеоморфен сфере, RP ¹ диффеоморфен окружности.

В более общем смысле, n -сфера Sn ^{расслояется} над реальным проективным пространством RP ⁿ со слоем S ⁰ .

Комплексные расслоения Хопфа

Конструкция Хопфа дает расслоения окружностей ^p :  S2n + ^{1 →} CPn над комплексным проективным ^{пространством} . Фактически это ограничение тавтологического линейного расслоения над CP ⁿ на единичную сферу в C ^{n +1} .

Кватернионные расслоения Хопфа

Аналогично, можно рассматривать S ^{4 n+3} как лежащее в H ⁿ⁺¹ ( кватернионном n -пространстве) и факторизовать умножением единичного кватерниона (= S ³ ), чтобы получить кватернионное проективное пространство HP ⁿ . В частности, поскольку S ⁴ = HP ¹ , существует расслоение S ⁷ → S ⁴ со слоем S ³ .

Октонионные расслоения Хопфа

Аналогичная конструкция с октонионами дает пучок S ¹⁵ → S ⁸ со слоем S ⁷ . Но сфера S31 ^не расслояется ^на S16 со ^слоем S15 . Можно рассматривать S ⁸ как октонионную проективную линию OP ¹ . Хотя можно также определить октонионную проективную плоскость OP ² , сфера S ²³ не расслояется над OP ² со слоем S ⁷ . ^{[5] [6]}

Расслоения между сферами

Иногда термин «расслоение Хопфа» ограничивают расслоениями между полученными выше сферами, которые

• S ¹ → S ¹ с волокном S ⁰
• S ³ → S ² с волокном S ¹
• S ⁷ → S ⁴ с волокном S ³
• S ¹⁵ → S ⁸ с волокном S ⁷

Как следствие теоремы Адамса , расслоения со сферами в качестве общего пространства, базового пространства и слоя могут возникать только в этих измерениях. Пучки волокон с похожими свойствами, но отличными от расслоений Хопфа, использовались Джоном Милнором для построения экзотических сфер .

Геометрия и приложения

Слойки расслоения Хопфа стереографически проецируются на семейство кругов Вилларсо в R ³ .

Расслоение Хопфа имеет множество последствий, некоторые из них чисто привлекательные, другие — более глубокие. Например, стереографическая проекция S ³ → R ³ вызывает замечательную структуру в R ³ , которая, в свою очередь, проливает свет на топологию расслоения (Lyons 2003). Стереографическая проекция сохраняет круги и отображает слои Хопфа в геометрически совершенные круги в R3 ^, заполняющие пространство. Здесь есть одно исключение: окружность Хопфа, содержащая точку проекции, отображается в прямую в R ³ — «окружность, проходящую через бесконечность».

Слои по кругу широты на S ² образуют тор в S ³ (топологически тор представляет собой произведение двух окружностей) и проецируются на вложенные торы в R ³ , которые также заполняют пространство. Отдельные волокна отображают соединение кругов Вильярсо на этих торах, за исключением круга, проходящего через точку проекции, и круга, проходящего через противоположную точку : первый отображается в прямую линию, второй - в единичную окружность, перпендикулярную и с центром в , эта линия, которую можно рассматривать как вырожденный тор, чей малый радиус уменьшился до нуля. Изображение каждого другого волокна также окружает линию, и поэтому по симметрии каждый круг связан через каждый круг как в R ³ , так и в S ³ . Две такие зацепляющие окружности образуют зацепление Хопфа в R ³

Хопф доказал, что отображение Хопфа имеет инвариант Хопфа 1 и, следовательно, не является нуль-гомотопным . Фактически она порождает гомотопическую группу π ₃ ( S ² ) и имеет бесконечный порядок.

В квантовой механике сфера Римана известна как сфера Блоха , а расслоение Хопфа описывает топологическую структуру квантовомеханической двухуровневой системы или кубита . Аналогично топология пары запутанных двухуровневых систем задается расслоением Хопфа

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.}$

(Моссери и Дандолофф, 2001). Более того, расслоение Хопфа эквивалентно расслоенной структуре монополя Дирака . ^[7]

Расслоение Хопфа также нашло применение в робототехнике , где оно использовалось для генерации однородных выборок на SO(3) для вероятностного алгоритма дорожной карты при планировании движения. ^[8] Он также нашел применение в автоматическом управлении квадрокоптерами . ^{[9] [10]}

Примечания

1. Это разделение 3- сферы на непересекающиеся большие круги возможно, потому что, в отличие от 2- сферы, отдельные большие круги 3- сферы не обязательно должны пересекаться.
2. кватернионное расслоение Хопфа, ncatlab.org. https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
3. Смит, Бенджамин. «Заметки Бенджамина Х. Смита о расслоениях Хопфа» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 14 сентября 2016 г.
4. Камчатнов, А.М. (1982), Топологические солитоны в магнитной гидродинамике (PDF)
5. Бесс, Артур (1978). Многообразия, все геодезические которых замкнуты . Спрингер-Верлаг. ISBN 978-3-540-08158-6.(§0.26 на стр. 6)
6. тема sci.math.research 1993 г. «Сферы, состоящие из сфер»
7. Фридман, Джон Л. (июнь 2015 г.). «Историческая справка о пучках волокон». Физика сегодня . 68 (6): 11. Бибкод : 2015PhT....68f..11F. дои : 10.1063/PT.3.2799 .
8. Ершова, Анна; Джайн, Свати; ЛаВалле, Стивен М.; Митчелл, Джули К. (2010). «Построение равномерных инкрементальных сеток на SO (3) с использованием расслоения Хопфа». Международный журнал исследований робототехники . 29 (7): 801–812. дои : 10.1177/0278364909352700. ISSN  0278-3649. ПМК 2896220 . ПМИД  20607113. 
9. Уоттерсон, Майкл; Кумар, Виджай (2020). Амато, Нэнси М.; Хагер, Грег; Томас, Шона; Торрес-Торрити, Мигель (ред.). «Управление квадрокоптерами с использованием расслоения Хопфа на SO (3)» . Исследования в области робототехники . Спрингерские труды по передовой робототехнике. 10 . Чам: Springer International Publishing: 199–215. дои : 10.1007/978-3-030-28619-4_20. ISBN 978-3-030-28619-4. S2CID  195852176.
10. Цзя, Джиндо; Го, Кэсинь; Ю, Сян; Чжао, Вэйхуа; Го, Лэй (2022). «Точное отслеживание высокоманевренной траектории квадрокоптеров: метод использования сопротивления» . Письма IEEE по робототехнике и автоматизации . 7 (3): 6966–6973. дои : 10.1109/LRA.2022.3176449. ISSN  2377-3766. S2CID  249550496.

Рекомендации

• Кэли, Артур (1845), «О некоторых результатах, касающихся кватернионов» (PDF) , Philosophical Magazine , 26 (171): 141–145, doi : 10.1080/1478644508562684; перепечатано как статья 20 в книге Кэли, Артур (1889), Сборник математических статей Артура Кэли, том. (1841–1853), Издательство Кембриджского университета , стр. 123–126.
• Хопф, Хайнц (1931), «Über die Abbildungen der drei Dimensionen Sphäre auf die Kugelfläche» , Mathematische Annalen , 104 (1), Берлин: Springer : 637–665, doi : 10.1007/BF01457962, ISSN  0025-5831, S2CID  1235338 91
• Хопф, Хайнц (1935), «Über die Abbildungen von Sphären auf Sphären niedrigerer Dimension», Fundamenta Mathematicae , 25 , Варшава: Польский акад. Sci.: 427–440, doi : 10.4064/fm-25-1-427-440 , ISSN  0016-2736.
• Лайонс, Дэвид В. (апрель 2003 г.), «Элементарное введение в расслоение Хопфа» (PDF) , Mathematics Magazine , 76 (2): 87–98, arXiv : 2212.01642 , doi : 10.2307/3219300, ISSN  0025-570X, JSTOR  3219300
• Моссери, Р.; Дандолофф, Р. (2001), «Геометрия запутанных состояний, сферы Блоха и расслоения Хопфа», Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical , 34 (47): 10243–10252, arXiv : quant-ph/0108137 , Bibcode : 2001JPhA ...3410243M, doi : 10.1088/0305-4470/34/47/324, S2CID  119462869.
• Стинрод, Норман (1951), Топология пучков волокон, PMS 14, Princeton University Press (опубликовано в 1999 г.), ISBN 978-0-691-00548-5
• Урбантке, Гонконг (2003), «Семикратное расслоение Хопфа в физике», Journal of Geometry and Physics , 46 (2): 125–150, Bibcode : 2003JGP....46..125U, doi : 10.1016/S0393 -0440(02)00121-3
• Замбой, Михал (8 января 2021 г.). «Синтетическая конструкция расслоения Хопфа в двойной ортогональной проекции 4-пространства». Журнал вычислительного проектирования и инженерии . 8 (3): 836–854. arXiv : 2003.09236v2 . doi : 10.1093/jcde/qwab018.
• Банчофф, Томас (1988). «Геометрия отображения Хопфа и торы Пинкала заданного конформного типа». В Тангоре, Мартин (ред.). Компьютеры в алгебре . Нью-Йорк и Базель: Марсель Деккер. стр. 57–62.

Внешние ссылки

• «Расслоение Хопфа», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Роуленд, Тодд. «Расслоение Хопфа». Математический мир .
• В главах 7 и 8 математики измерений расслоение Хопфа иллюстрируется с помощью анимированной компьютерной графики.
• Элементарное введение в расслоение Хопфа Дэвида В. Лайонса ( PDF )
• Анимация YouTube, показывающая динамическое сопоставление точек 2-сферы с кругами в 3-сфере профессора Найлза Джонсона.
• Анимация на YouTube, посвященная построению 120-ячеечной структуры Джан Марко Тодеско, показывает расслоение Хопфа 120-ячеечной структуры.
• Видео одного кольца из 30 ячеек из 600 ячеек с http://page.math.tu-berlin.de/~gunn/.
• Интерактивная визуализация сопоставления точек 2-сферы с кругами в 3-сфере.