Теорема факторизации Вейерштрасса

В математике , и особенно в области комплексного анализа , теорема факторизации Вейерштрасса утверждает, что каждая целая функция может быть представлена ​​как (возможно, бесконечное) произведение, включающее свои нули . Теорему можно рассматривать как расширение фундаментальной теоремы алгебры , которая утверждает, что каждый многочлен можно разложить на линейные факторы, по одному на каждый корень.

Теорема, названная в честь Карла Вейерштрасса , тесно связана со вторым результатом, согласно которому каждая последовательность, стремящаяся к бесконечности, имеет связанную с ней целую функцию с нулями точно в точках этой последовательности.

Обобщение теоремы распространяет ее на мероморфные функции и позволяет рассматривать данную мероморфную функцию как произведение трех факторов: членов, зависящих от нулей и полюсов функции , и связанной с ней ненулевой голоморфной функции . ^{[ нужна цитата ]}

Мотивация

Ясно, что любому конечному набору точек комплексной плоскости соответствует многочлен , нули которого находятся точно в точках этого множества. Обратное является следствием фундаментальной теоремы алгебры : любая полиномиальная функция в комплексной плоскости имеет факторизацию , где а — ненулевая константа и множество нулей . ^[1] ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\textstyle p(z)=\prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle p(z)}$ ${\textstyle p(z)=a\prod _{n}(z-c_{n}),}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$ ${\displaystyle p(z)}$

Две формы факторизационной теоремы Вейерштрасса можно рассматривать как расширение вышеизложенного на целые функции. Необходимость дополнительных членов в произведении демонстрируется, если учесть, что последовательность не конечна . Он никогда не сможет определить целую функцию, потому что бесконечное произведение не сходится. Таким образом, вообще невозможно определить целую функцию из последовательности предписанных нулей или представить целую функцию ее нулями, используя выражения, полученные из основной теоремы алгебры. ${\textstyle \prod _{n}(z-c_{n})}$ ${\displaystyle \{c_{n}\}}$

Необходимым условием сходимости рассматриваемого бесконечного произведения является то, что для каждого z множители должны приближаться к 1 при . Поэтому само собой разумеется, что следует искать функцию, которая могла бы быть равна 0 в заданной точке, но оставаться вблизи 1, когда она находится не в этой точке, и, кроме того, вводить не больше нулей, чем предписано. Элементарные факторы Вейерштрасса обладают этими свойствами и служат той же цели, что и предыдущие факторы . ${\displaystyle (z-c_{n})}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle (z-c_{n})}$

Элементарные факторы

Рассмотрим функции вида для . При они оцениваются до и имеют пологий наклон при порядке до . Сразу после , они резко падают до некоторого небольшого положительного значения. Напротив, рассмотрим функцию , у которой нет плоского наклона, но при которой ее значение равно нулю. Также обратите внимание, что для | г | < 1 , ${\textstyle \exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\right)}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle 1-z}$ ${\displaystyle z=1}$

${\displaystyle (1-z)=\exp(\ln(1-z))=\exp \left(-{\tfrac {z^{1}}{1}}-{\tfrac {z^{2}}{2}}-{\tfrac {z^{3}}{3}}+\cdots \right).}$

График для n = 0,...,4 и x в интервале [-1,1] . ${\displaystyle E_{n}(x)}$

Элементарные коэффициенты ^[2] также называемые первичными факторами ^[3] представляют собой функции , сочетающие в себе свойства нулевого наклона и нулевого значения (см. рисунок):

${\displaystyle E_{n}(z)={\begin{cases}(1-z)&{\text{if }}n=0,\\(1-z)\exp \left({\frac {z^{1}}{1}}+{\frac {z^{2}}{2}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{n}}\right)&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Для | г | < 1 и , это можно выразить как и можно прочитать, как эти свойства реализуются. ${\displaystyle n>0}$ ${\textstyle E_{n}(z)=\exp \left(-{\tfrac {z^{n+1}}{n+1}}\sum _{k=0}^{\infty }{\tfrac {z^{k}}{1+k/(n+1)}}\right)}$

Полезность элементарных коэффициентов заключается в следующей лемме: ^[2] ${\textstyle E_{n}(z)}$

Лемма (15.8, Рудин) для | г | ≤ 1 , ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \vert 1-E_{n}(z)\vert \leq \vert z\vert ^{n+1}.}$

Две формы теоремы

Существование всей функции с указанными нулями

Пусть – последовательность ненулевых комплексных чисел такая, что . Если – любая последовательность неотрицательных целых чисел такая, что для всех , ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle |a_{n}|\to \infty }$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle r>0}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left(r/|a_{n}|\right)^{1+p_{n}}<\infty ,}$

тогда функция

${\displaystyle f(z)=\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}(z/a_{n})}$

целое с нулями только в точках . Если число встречается в последовательности ровно m раз, то функция f имеет нуль кратности m . ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle z_{0}}$ ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle z=z_{0}}$

• Последовательность в формулировке теоремы существует всегда. Например, мы всегда могли взять и получить схождение. Такая последовательность не уникальна: изменение ее на конечном числе позиций или взятие другой последовательности p ′ _n ≥ p _n не нарушит сходимость. ${\displaystyle \{p_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=n}$
• Теорема обобщается на следующее: последовательности в открытых подмножествах (и, следовательно, областях ) сферы Римана имеют ассоциированные функции, которые голоморфны в этих подмножествах и имеют нули в точках последовательности. ^[2]
• Сюда также включен случай, заданный основной теоремой алгебры. Если последовательность конечна, то мы можем взять и получить: . ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle p_{n}=0}$ ${\displaystyle \,f(z)=c\,{\displaystyle \prod }_{n}(z-a_{n})}$

Теорема Вейерштрасса о факторизации

Пусть ƒ — целая функция, и пусть — ненулевые нули ƒ , повторяющиеся в соответствии с кратностью; предположим также, что ƒ имеет нуль в точке z = 0 порядка m ≥ 0 . ^[a] Тогда существует целая функция g и последовательность целых чисел такие, что ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ${\displaystyle \{p_{n}\}}$

${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{g(z)}\prod _{n=1}^{\infty }E_{p_{n}}\!\!\left({\frac {z}{a_{n}}}\right).}$^[4]

Примеры факторизации

Тригонометрические функции синус и косинус имеют факторизации

$${\displaystyle \sin \pi z=\pi z\prod _{n\neq 0}\left(1-{\frac {z}{n}}\right)e^{z/n}=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n}}\right)^{2}\right)}$$

$${\displaystyle \cos \pi z=\prod _{q\in \mathbb {Z} ,\,q\;{\text{odd}}}\left(1-{\frac {2z}{q}}\right)e^{2z/q}=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+{\tfrac {1}{2}}}}\right)^{2}\right)}$$

гамма-функция ${\displaystyle \Gamma }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=e^{\gamma z}z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)e^{-z/n},}$$

постоянная Эйлера–Машерони^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (s-z)\Gamma (s+z)}}={\frac {1}{\Gamma (s)^{2}}}\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-\left({\frac {z}{n+s}}\right)^{2}\right)}$$

^{[ нужна цитата ]} ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}}$

Теорема Адамара о факторизации

Определите канонические факторы Адамара.

$${\displaystyle E_{n}(z):=(1-z)\prod _{k=1}^{n}e^{z^{k}/k}}$$

порядка[ ^4]

$${\displaystyle f(z)=z^{m}e^{P(z)}\prod _{k=1}^{\infty }E_{p}(z/a_{k})}$$

корни ${\displaystyle a_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a_{k}\neq 0}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z=0}$ ${\displaystyle m=0}$ ${\displaystyle f(0)\neq 0}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{|a_{n}|^{p+1}}}}$$

${\displaystyle g=\max\{p,q\}}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle g\leq \rho \leq g+1}$$

${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=[\rho ]}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g=\rho -1}$ ${\displaystyle g=\rho }$

Например, и — целые функции рода . ${\displaystyle \sin }$ ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle g=\rho =1}$

Смотрите также

• Теорема Миттаг-Леффлера
• Произведение Уоллиса , которое можно получить из этой теоремы, примененной к синусоидальной функции
• продукт Бляшке

Примечания

1. Нуль порядка m = 0 в точке z = 0 означает ƒ (0) ≠ 0 , то есть не имеет нуля в точке . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle 0}$

1. Кнопп, К. (1996), «Факторная теорема Вейерштрасса», Теория функций, Часть II , Нью-Йорк: Дувр, стр. 1–7.
2. Рудин, В. (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Бостон: McGraw Hill, стр. 301–304, ISBN 0-07-054234-1, OCLC  13093736
3. Боас, Р.П. (1954), Целые функции , Нью-Йорк: Academic Press Inc., ISBN 0-8218-4505-5, OCLC  6487790, Глава 2.
4. Конвей, JB (1995), Функции одной комплексной переменной I, 2-е изд. , Springer.com: Springer, ISBN 0-387-90328-3

Внешние ссылки

• «Теорема Вейерштрасса», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

• Визуализация факторизации синусоидальной функции Вейерштрасса Эйлера в Wayback Machine (архивировано 30 ноября 2018 г.)