Фермионное поле

Поля, порождающие фермионные частицы

В квантовой теории поля фермионное поле — это квантовое поле , кванты которого являются фермионами ; то есть они подчиняются статистике Ферми–Дирака . Фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям , а не каноническим коммутационным соотношениям бозонных полей .

Наиболее ярким примером фермионного поля является поле Дирака, которое описывает фермионы со спином -1/2: электроны , протоны , кварки и т. д. Поле Дирака можно описать либо как 4-компонентный спинор , либо как пару 2-компонентных спиноров Вейля. Майорановские фермионы со спином 1/2 , такие как гипотетическое нейтралино , можно описать либо как зависимый 4-компонентный спинор Майораны , либо как один 2-компонентный спинор Вейля. Неизвестно, является ли нейтрино фермионом Майораны или фермионом Дирака ; экспериментальное наблюдение двойного бета-распада без нейтрино решило бы этот вопрос.

Основные свойства

Свободные (невзаимодействующие) фермионные поля подчиняются каноническим антикоммутационным соотношениям ; т. е. включают антикоммутаторы { a , b } = ab + ba , а не коммутаторы [ a , b ] = ab − ba бозонной или стандартной квантовой механики. Эти соотношения также справедливы для взаимодействующих фермионных полей в картине взаимодействия , где поля эволюционируют во времени, как если бы они были свободны, а эффекты взаимодействия закодированы в эволюции состояний.

Именно эти антикоммутационные соотношения подразумевают статистику Ферми–Дирака для квантов поля. Они также приводят к принципу исключения Паули : две фермионные частицы не могут занимать одно и то же состояние в одно и то же время.

поля Дирака

Ярким примером фермионного поля со спином 1/2 является поле Дирака (названное в честь Поля Дирака ), обозначаемое . Уравнением движения для свободной частицы со спином 1/2 является уравнение Дирака , ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi (x)=0.\,}$

где — гамма-матрицы , а — масса. Простейшими возможными решениями этого уравнения являются решения в виде плоских волн, и . Эти решения в виде плоских волн образуют основу для компонентов Фурье , допуская общее разложение волновой функции следующим образом: ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle u(p)e^{-ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle v(p)e^{ip\cdot x}\,}$ ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }(x)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2E_{p}}}}\sum _{s}\left(a_{\mathbf {p} }^{s}u_{\alpha }^{s}(p)e^{-ip\cdot x}+b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }v_{\alpha }^{s}(p)e^{ip\cdot x}\right).\,}$

u и v — спиноры, обозначенные спином, s и спинорными индексами . Для электрона, частицы со спином 1/2, s = +1/2 или s = −1/2. Энергетический фактор является результатом наличия лоренц-инвариантной меры интегрирования. При вторичном квантовании , повышается до оператора, поэтому коэффициенты его мод Фурье также должны быть операторами. Следовательно, и являются операторами. Свойства этих операторов можно вывести из свойств поля. и подчиняются антикоммутационным соотношениям: ${\displaystyle \alpha \in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s}}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)^{\dagger }}$

${\displaystyle \left\{\psi _{\alpha }(\mathbf {x} ),\psi _{\beta }^{\dagger }(\mathbf {y} )\right\}=\delta ^{(3)}(\mathbf {x} -\mathbf {y} )\delta _{\alpha \beta }.}$

Мы накладываем антикоммутационное соотношение (в отличие от коммутационного соотношения , как мы делаем для бозонного поля ), чтобы сделать операторы совместимыми со статистикой Ферми–Дирака . Подставляя разложения для и , можно вычислить антикоммутационные соотношения для коэффициентов. ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \psi (y)}$

${\displaystyle \left\{a_{\mathbf {p} }^{r},a_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=\left\{b_{\mathbf {p} }^{r},b_{\mathbf {q} }^{s\dagger }\right\}=(2\pi )^{3}\delta ^{3}(\mathbf {p} -\mathbf {q} )\delta ^{rs},\,}$

Аналогично нерелятивистским операторам уничтожения и рождения и их коммутаторам, эти алгебры приводят к физической интерпретации, которая создает фермион с импульсом p и спином s и создает антифермион с импульсом q и спином r . Теперь общее поле рассматривается как взвешенное (по энергетическому фактору) суммирование по всем возможным спинам и импульсам для создания фермионов и антифермионов. Его сопряженное поле, , является противоположностью, взвешенным суммированием по всем возможным спинам и импульсам для уничтожения фермионов и антифермионов. ${\displaystyle a_{\mathbf {p} }^{s\dagger }}$ ${\displaystyle b_{\mathbf {q} }^{r\dagger }}$ ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

Поняв моды поля и определив сопряженное поле, можно построить лоренц-инвариантные величины для фермионных полей. Простейшей является величина . Это делает причину выбора ясной. Это связано с тем, что общее преобразование Лоренца на не является унитарным , поэтому величина не будет инвариантной относительно таких преобразований, поэтому включение необходимо для исправления этого. Другая возможная ненулевая лоренц-инвариантная величина, с точностью до общего сопряжения, конструируемая из фермионных полей, — это . ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi \,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{\dagger }\psi }$ ${\displaystyle \gamma ^{0}\,}$ ${\displaystyle {\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi }$

Поскольку линейные комбинации этих величин также являются инвариантными относительно Лоренца, это естественным образом приводит к плотности Лагранжа для поля Дирака в силу требования, чтобы уравнение Эйлера–Лагранжа системы восстанавливало уравнение Дирака.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}\left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi \,}$

Такое выражение имеет подавленные индексы. При повторном введении полное выражение будет

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{D}={\overline {\psi }}_{a}\left(i\gamma _{ab}^{\mu }\partial _{\mu }-m\mathbb {I} _{ab}\right)\psi _{b}\,}$

Плотность гамильтониана ( энергии ) можно также построить, сначала определив импульс, канонически сопряженный с , называемый ${\displaystyle \psi (x)}$ ${\displaystyle \Pi (x):}$

${\displaystyle \Pi \ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}_{D}}{\partial (\partial _{0}\psi )}}=i\psi ^{\dagger }\,.}$

При таком определении плотность гамильтониана равна: ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{D}={\overline {\psi }}\left[-i{\vec {\gamma }}\cdot {\vec {\nabla }}+m\right]\psi \,,}$

где — стандартный градиент пространственно-подобных координат, а — вектор пространственно-подобных матриц. Удивительно, что плотность гамильтониана не зависит напрямую от производной по времени, но выражение верно. ${\displaystyle {\vec {\nabla }}}$ ${\displaystyle {\vec {\gamma }}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \psi }$

Учитывая выражение для , мы можем построить пропагатор Фейнмана для фермионного поля: ${\displaystyle \psi (x)}$

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\left\langle 0\left|T(\psi (x){\overline {\psi }}(y))\right|0\right\rangle }$

мы определяем упорядоченное по времени произведение для фермионов со знаком минус из-за их антикоммутирующей природы

${\displaystyle T\left[\psi (x){\overline {\psi }}(y)\right]\ {\overset {\text{def}}{=}}\ \theta \left(x^{0}-y^{0}\right)\psi (x){\overline {\psi }}(y)-\theta \left(y^{0}-x^{0}\right){\overline {\psi }}(y)\psi (x).}$

Подставляя наше разложение плоской волны для поля фермиона в приведенное выше уравнение, получаем:

${\displaystyle D_{F}(x-y)=\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip\cdot (x-y)}}$

где мы использовали обозначение Фейнмана с косой чертой . Этот результат имеет смысл, поскольку фактор

${\displaystyle {\frac {i({p\!\!\!/}+m)}{p^{2}-m^{2}}}}$

является просто обратным оператору, действующему на в уравнении Дирака. Обратите внимание, что пропагатор Фейнмана для поля Клейна–Гордона обладает тем же свойством. Поскольку все разумные наблюдаемые (такие как энергия, заряд, число частиц и т. д.) построены из четного числа фермионных полей, коммутационное соотношение исчезает между любыми двумя наблюдаемыми в точках пространства-времени за пределами светового конуса. Как мы знаем из элементарной квантовой механики, две одновременно коммутирующие наблюдаемые могут быть измерены одновременно. Таким образом, мы правильно реализовали лоренц-инвариантность для поля Дирака и сохранили причинность . ${\displaystyle \psi (x)}$

Более сложные теории поля, включающие взаимодействия (такие как теория Юкавы или квантовая электродинамика ), также могут быть проанализированы с помощью различных пертурбативных и непертурбативных методов.

Поля Дирака являются важным компонентом Стандартной модели .

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Теорема о спиновой статистике
• Спинор
• Композитное поле
• Вспомогательное поле

Ссылки

• Эдвардс, Д. (1981). «Математические основы квантовой теории поля: фермионы, калибровочные поля и суперсимметрия, часть I: решеточные теории поля». Int. J. Theor. Phys . 20 (7): 503–517. Bibcode :1981IJTP...20..503E. doi :10.1007/BF00669437. S2CID  120108219.
• Пескин, М. и Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля , Westview Press. (См. страницы 35–63.)
• Средницки, Марк (2007). Квантовая теория поля. Архивировано 25 июля 2011 г. в Wayback Machine , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86449-7 . 
• Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей , (3 тома) Cambridge University Press.