Фильтр Бесселя

Тип аналогового линейного фильтра в электронике

В электронике и обработке сигналов фильтр Бесселя — это тип аналогового линейного фильтра с максимально плоской групповой задержкой (т. е. максимально линейной фазовой характеристикой ), который сохраняет форму волны отфильтрованных сигналов в полосе пропускания. ^[1] Фильтры Бесселя часто используются в аудиокроссоверах .

Название фильтра является отсылкой к немецкому математику Фридриху Бесселю (1784–1846), который разработал математическую теорию, на которой основан фильтр. Фильтры также называются фильтрами Бесселя – Томсона в честь В. Э. Томсона, который в 1949 году разработал, как применять функции Бесселя для проектирования фильтров ^{. [2]}

Фильтр Бесселя очень похож на фильтр Гаусса и имеет тенденцию к той же форме по мере увеличения порядка фильтра. ^{[3] [4] В то время как} переходная характеристика фильтра Гаусса во временной области имеет нулевое перерегулирование , ^[5] фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, ^{[6] [7]} но все же намного меньше, чем другие распространенные частотные области. фильтры, такие как фильтры Баттерворта. Было отмечено, что импульсная характеристика фильтров Бесселя-Томсона стремится к гауссовой с увеличением порядка фильтра. ^[3]

По сравнению с аппроксимациями гауссова фильтра конечного порядка, фильтр Бесселя имеет лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку , чем гауссиан того же порядка, хотя гауссиан имеет меньшую временную задержку и нулевое перерегулирование. ^[8]

Передаточная функция

График усиления и групповой задержки для фильтра нижних частот Бесселя четвертого порядка. Обратите внимание, что переход из полосы пропускания в полосу задерживания происходит намного медленнее, чем у других фильтров, но групповая задержка практически постоянна в полосе пропускания. Фильтр Бесселя максимизирует плавность кривой групповой задержки на нулевой частоте.

Фильтр нижних частот Бесселя характеризуется своей передаточной функцией : ^[9]

${\displaystyle H(s)={\frac {\theta _{n}(0)}{\theta _{n}(s/\omega _{0})}}\,}$

где – обратный полином Бесселя, от которого фильтр получил свое название, и – частота, выбранная для получения желаемой частоты среза. Фильтр имеет низкочастотную групповую задержку . Поскольку является неопределенным по определению обратных полиномов Бесселя, но является устранимой особенностью, определяется, что . ${\displaystyle \theta _{n}(s)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle 1/\omega _{0}}$ ${\displaystyle \theta _{n}(0)}$ ${\displaystyle \theta _{n}(0)=\lim _{x\rightarrow 0}\theta _{n}(x)}$

Полиномы Бесселя

Корнями полинома Бесселя третьего порядка являются полюсы передаточной функции фильтра в плоскости , показанные здесь в виде крестов. ${\displaystyle s}$

Передаточная функция фильтра Бесселя — это рациональная функция , знаменателем которой является обратный полином Бесселя , например:

${\displaystyle n=1:\quad s+1}$

${\displaystyle n=2:\quad s^{2}+3s+3}$

${\displaystyle n=3:\quad s^{3}+6s^{2}+15s+15}$

${\displaystyle n=4:\quad s^{4}+10s^{3}+45s^{2}+105s+105}$

${\displaystyle n=5:\quad s^{5}+15s^{4}+105s^{3}+420s^{2}+945s+945}$

Обратные полиномы Бесселя имеют вид: ^[9]

${\displaystyle \theta _{n}(s)=\sum _{k=0}^{n}a_{k}s^{k},}$

где

${\displaystyle a_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n.}$

Настройка затухания среза

Для фильтров Бесселя не существует стандартного установленного значения затухания. ^[10] Однако обычно выбирают значение -3,0103 дБ. В некоторых приложениях может использоваться более высокое или низкое затухание, например –1 дБ или –20 дБ. Это можно аппроксимировать путем интерполяции таблиц затухания фильтра Бесселя или рассчитать с высокой точностью с помощью метода Ньютона или алгоритма поиска корня . Например, пример ослабления частоты среза на 20 дБ с использованием приведенного ниже примера 3-полюсного Бесселя устанавливается следующим образом.

${\displaystyle {\begin{aligned}&H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}{\text{ (from the example below)}}\\&B_{arith}^{2}=10^{20/10}=0.01{\text{ (the arithmetic gain squared)}}\\&\\&{\text{Find }}H(s)'{\text{ such that }}|H(s)'|=-20{\text{ dB at }}\omega =1{\text{.}}\\&H(s)H(-s)={\frac {225}{-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225}}\\&P(s)=225-B_{arith}^{2}(-s^{6}+6s^{4}-45^{2}s+225)=0.01s^{6}-0.06s^{4}+0.45s^{2}+222.75{\text{ (polynomial to be factored)}}\\&R=j5.0771344{\text{ (the positive imaginary root for the above polynomial)}}\\&{\text{For even order filters, use the positive real root.}}\\&\\&\omega _{-20{\text{ dB atten}}}=\omega _{c}=5.0771344{\text{ rad/sec (20 dB attenuation frequency)}}\\&H(s)'=H(s)_{A=20{\text{ dB at }}\omega =1}={\frac {15}{(5.0771344^{3})s^{3}+(6\times 5.0771344^{2})s^{2}+(15\times 5.0771344)s+15}}\\&={\frac {15}{130.87478s^{3}+154.66376s^{2}+76.157016s+15}}\\&\\&{\text{Check:}}\\&|H(j)'|={\bigg |}{\frac {15}{130.87478j^{3}+154.66376j^{2}+76.157016j+15}}{\bigg |}=0.1=-20{\text{ dB Gain}}\end{aligned}}}$

Пример

График усиления фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка в зависимости от нормированной частоты.

График групповой задержки фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка, иллюстрирующий плоскую единичную задержку в полосе пропускания.

Передаточная функция для фильтра нижних частот Бесселя третьего порядка (трехполюсного) с ${\displaystyle \omega _{0}=1}$

${\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}},}$

где числитель был выбран так, чтобы дать единичный коэффициент усиления на нулевой частоте ( ). Корни полинома знаменателя, полюса фильтра, включают действительный полюс при , и комплексно-сопряженную пару полюсов при , изображенных выше. ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle s=-2.3222}$ ${\displaystyle s=-1.8389\pm j1.7544}$

Выигрыш тогда

${\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}.\,}$

Точка −3 дБ, где происходит при . Условно это называется частотой среза. ${\displaystyle |H(j\omega )|={\frac {1}{\sqrt {2}}},\,}$ ${\displaystyle \omega =1.756}$

Этап

${\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right).\,}$

Групповая задержка составляет

${\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}.\,}$

Разложение групповой задержки в ряд Тейлора равно

${\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots .}$

Обратите внимание, что два члена в и равны нулю, что приводит к очень плоской групповой задержке при . Это наибольшее количество членов, которое можно приравнять нулю, поскольку в полиноме Бесселя третьего порядка всего четыре коэффициента, и для определения требуется четыре уравнения. Одно уравнение указывает, что коэффициент усиления равен единице при , а второе указывает, что коэффициент усиления равен нулю при , оставляя два уравнения, чтобы указать, что два члена в разложении ряда равны нулю. Это общее свойство групповой задержки для фильтра Бесселя порядка : первые члены в разложении групповой задержки в ряд будут равны нулю, что максимизирует неравномерность групповой задержки при . ${\displaystyle \omega ^{2}}$ ${\displaystyle \omega ^{4}}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =0}$ ${\displaystyle \omega =\infty }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \omega =0}$

Цифровой

Хотя билинейное преобразование используется для преобразования непрерывных (аналоговых) фильтров в дискретные (цифровые) фильтры с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) со сравнимой частотной характеристикой, БИХ-фильтры, полученные с помощью билинейного преобразования, не имеют постоянной групповой задержки. ^[11] Поскольку важной характеристикой фильтра Бесселя является его максимально плоская групповая задержка, билинейное преобразование не подходит для преобразования аналогового фильтра Бесселя в цифровую форму.

Цифровым эквивалентом является фильтр Тирана, также всеполюсный фильтр нижних частот с максимально плоской групповой задержкой, ^{[12] [13],} который также может быть преобразован в всеполосный фильтр для реализации дробных задержек. ^{[14] [15]}

Смотрите также

• Функция Бесселя
• Фильтр Баттерворта
• фильтр Чебышева
• Гребенчатый фильтр
• Эллиптический фильтр
• Групповая задержка и фазовая задержка

Рекомендации

1. "Фильтр Бесселя". 2013. Архивировано из оригинала 24 января 2013 г. Проверено 14 мая 2022 г.
2. Томсон, МЫ (ноябрь 1949 г.). «Сети задержки, имеющие максимально ровные частотные характеристики» (PDF) . Труды IEE - Часть III: Радиотехника и техника связи . 96 (44): 487–490. дои : 10.1049/пи-3.1949.0101.
3. Робертс, Стивен (2001). «Переходный процесс и преобразования: 3.1 фильтры Бесселя-Томсона» (PDF) .
4. "comp.dsp | БИХ-фильтры гауссовского перехода" . www.dsprelated.com . Проверено 14 мая 2022 г. Аналоговый фильтр Бесселя является приближением фильтра Гаусса, и приближение улучшается по мере увеличения порядка фильтра.
5. «Фильтры Гаусса». www.nuhertz.com . Архивировано из оригинала 11 января 2020 г. Проверено 14 мая 2022 г.
6. «Как выбрать фильтр? (Баттерворт, Чебышев, Инверсный Чебышев, Бессель – Томсон)» . www.etc.tuiasi.ro . Проверено 14 мая 2022 г.
7. «Бесплатная программа аналоговых фильтров» . www.kecktaylor.com . Проверено 14 мая 2022 г. фильтр Бесселя имеет небольшое перерегулирование, а фильтр Гаусса не имеет перерегулирования.
8. Паарманн, LD (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров: перспектива обработки сигналов. Springer Science & Business Media. ISBN 9780792373735. Фильтр Бесселя имеет немного лучший коэффициент формирования, более плоскую фазовую задержку и более плоскую групповую задержку, чем у гауссовского фильтра того же порядка. Однако фильтр Гаусса имеет меньшую временную задержку, о чем свидетельствуют пики единичной импульсной характеристики, возникающие раньше, чем у фильтров Бесселя того же порядка.
9. Бьянки, Джованни; Соррентино, Роберто (2007). Моделирование и проектирование электронного фильтра. МакГроу-Хилл Профессионал. стр. 31–43. ISBN 978-0-07-149467-0.
10. Паарманн, Ларри Д. (2001). Проектирование и анализ аналоговых фильтров, перспектива обработки сигналов. Норвелл, Массачусетс, США: Kluwer Academic Publishers. п. 224. ИСБН 0-7923-7373-1.{{cite book}}: CS1 maint: date and year (link)
11. Чжан, Си (1 июля 2008 г.). «Разработка максимально плоских БИХ-фильтров с плоской характеристикой групповой задержки». Обработка сигнала . 88 (7): 1792–1800. doi :10.1016/j.sigpro.2008.01.016. ISSN  0165-1684.
12. Тиран, Ж.-П. (1971). «Рекурсивные цифровые фильтры с максимально плоской групповой задержкой». Транзакции IEEE по теории цепей . 18 (6): 659–664. дои : 10.1109/TCT.1971.1083363. ISSN  0018-9324.
13. Мадисетти, Виджай (1997). «Раздел 11.3.2.2 Типы классических БИХ-фильтров». Справочник по цифровой обработке сигналов. ЦРК Пресс. п. 11-32. ISBN 9780849385728.
14. Смит III, Юлиус О. (22 мая 2015 г.). «Интерполяторы Thiran Allpass». Издательство W3K . Проверено 14 мая 2022 г.
15. Вялимяки, Веса (1995). Дискретное моделирование акустических трубок с использованием фильтров дробной задержки (PDF) (Диссертация). Хельсинкский технологический университет.

Внешние ссылки

• Фильтры Бесселя и линейно-фазовые фильтры — Нугерца
• Константы фильтра Бесселя — CR Bond
• Фильтры Бесселя: полиномы, полюса и элементы цепей — CR Bond
• Исходный код Java для вычисления полюсов фильтра Бесселя