В системе смешанных сигналов ( аналоговых и цифровых ) фильтр реконструкции , иногда называемый антивизуальным фильтром , используется для формирования сглаженного аналогового сигнала с цифрового входа, как в случае цифро-аналогового преобразователя ( ЦАП ). или другое устройство вывода выборочных данных.
Теорема выборки описывает, почему на входе АЦП требуется аналоговый электронный фильтр нижних частот , называемый фильтром сглаживания : дискретизированный входной сигнал должен быть ограничен по полосе пропускания , чтобы предотвратить наложение спектров (здесь это означает, что волны более высокой частоты записываются как более низкие частоты). .
По той же причине на выходе ЦАП требуется аналоговый фильтр нижних частот, называемый фильтром реконструкции, поскольку выходной сигнал должен быть ограничен по полосе пропускания, чтобы предотвратить формирование изображения (это означает, что коэффициенты Фурье восстанавливаются как ложные высокочастотные «зеркала»). Это реализация интерполяционной формулы Уиттекера-Шеннона .
В идеале оба фильтра должны быть фильтрами типа кирпичной стены , постоянной задержкой фазы в полосе пропускания с постоянной ровной частотной характеристикой и нулевой характеристикой частоты Найквиста . Этого можно добиться с помощью фильтра с импульсной характеристикой « sinc ».
Хотя теоретически ЦАП выдает серию дискретных импульсов Дирака , на практике реальный ЦАП выдает импульсы с конечной полосой пропускания и шириной. И идеализированные импульсы Дирака, и удерживаемые ступени нулевого порядка , и другие выходные импульсы, если их не фильтровать, будут содержать ложные высокочастотные копии « или изображения » исходного сигнала с ограниченной полосой пропускания. Таким образом, фильтр реконструкции сглаживает форму сигнала, чтобы удалить частоты изображения (копии) выше предела Найквиста . При этом он восстанавливает непрерывный временной сигнал (независимо от того, был ли он первоначально дискретизирован или смоделирован цифровой логикой), соответствующий цифровой временной последовательности.
Практические фильтры имеют неровную частотную или фазовую характеристику в полосе пропускания и неполное подавление сигнала в других местах. Идеальная форма сигнала sinc имеет бесконечный отклик на сигнал как в положительном, так и в отрицательном направлении времени, что невозможно реализовать в реальном времени, поскольку для этого потребуется бесконечная задержка. Следовательно, реальные фильтры восстановления обычно либо допускают некоторую энергию выше скорости Найквиста, либо ослабляют некоторые внутриполосные частоты, либо и то, и другое. По этой причине можно использовать передискретизацию , чтобы гарантировать точное воспроизведение интересующих частот без выброса избыточной энергии за пределы полосы пропускания.
В системах, которые имеют оба, фильтр сглаживания и фильтр реконструкции могут иметь идентичную конструкцию. Например, как вход, так и выход аудиооборудования могут дискретизироваться с частотой 44,1 кГц. В этом случае оба аудиофильтра максимально блокируют частоты выше 22 кГц и максимально пропускают частоты ниже 20 кГц.
Альтернативно, система может не иметь восстанавливающего фильтра и просто допускать трату некоторой энергии на воспроизведение более высокочастотных изображений спектра первичного сигнала.
При обработке изображений фильтры цифровой реконструкции используются как для воссоздания изображений из образцов, как в медицинской визуализации [1] , так и для повторной выборки . [2] Был проведен ряд сравнений по различным критериям; [1] [2] [3] [4] одно из наблюдений заключается в том, что реконструкцию можно улучшить , если помимо амплитуды также известна производная сигнала, [3] и наоборот, выполнение реконструкции по производной может улучшить реконструкцию сигнала. методы. [1]
Повторную выборку можно назвать прореживанием или интерполяцией , соответственно, когда частота дискретизации уменьшается или увеличивается - как и при выборке и реконструкции, в обоих случаях обычно применяются одни и те же критерии, и, следовательно, можно использовать один и тот же фильтр.
В принципе, при повторной выборке аналоговое изображение восстанавливается, а затем дискретизируется, и это необходимо для общего изменения разрешения. Для целочисленных отношений частоты дискретизации можно упростить выборку импульсной характеристики фильтра непрерывной реконструкции для создания дискретного фильтра передискретизации, а затем использовать дискретный фильтр передискретизации для прямой передискретизации изображения. Для прореживания на целое число необходим только один фильтр выборки; для интерполяции целым числом для разных фаз необходимы разные выборки – например, если выполняется повышающая дискретизация в 4 раза, то для средней точки используется один фильтр с выборкой, а для средней точки используется другой фильтр с выборкой. точка 1/4 пути от одной точки до другой.
Тонкость обработки изображений заключается в том, что (линейная) обработка сигнала предполагает линейную яркость – удвоение значения пикселя удваивает яркость выходного сигнала. Однако изображения часто кодируются гамма-гаммой , особенно в цветовом пространстве sRGB , поэтому яркость не является линейной. Таким образом, чтобы применить линейный фильтр, необходимо сначала гамма-декодировать значения, а в случае повторной выборки необходимо гамма-декодировать, повторно дискретизировать, а затем гамма-кодировать.
Наиболее распространенными повседневными фильтрами являются: [5]
Они расположены в порядке возрастания подавления полосы задерживания (сглаживания) и уменьшения скорости.
Для целей реконструкции используются различные ядра, многие из которых можно интерпретировать как аппроксимацию функции sinc [4] либо с помощью оконной обработки, либо путем предоставления сплайн-аппроксимации, либо кубами, либо сплайнами более высокого порядка. В случае оконных sinc-фильтров частотную характеристику восстанавливающего фильтра можно понимать как частотную характеристику окна, поскольку частотная характеристика оконного фильтра представляет собой свертку исходной характеристики (для sinc - кирпичного фильтра). стены) с частотной характеристикой окна. Среди них часто хвалят окно Ланцоша и окно Кайзера .
Другой класс фильтров реконструкции включает гауссовы фильтры различной ширины, [2] или кардинальные B-сплайны более высокого порядка - коробочный фильтр и палаточный фильтр представляют собой кардинальные B-сплайны 0-го и 1-го порядка. Эти фильтры не являются интерполирующими фильтрами, поскольку их импульсная характеристика не исчезает во всех ненулевых исходных точках выборки - при повторной выборке 1:1 они не тождественны, а скорее размыты. С другой стороны, будучи неотрицательными, они не вносят каких-либо артефактов перерегулирования или звона , а будучи шире во временной области, они могут быть уже в частотной области (по принципу неопределенности Фурье ), хотя и за счет размытия, которое отражается в спаде полосы пропускания («зубце»).
В фотографии существует большое разнообразие интерполяционных фильтров, [6] некоторые из которых являются патентованными, мнения о которых неоднозначны. Оценка часто бывает субъективной, реакции различаются, и некоторые утверждают, что при реалистичных коэффициентах повторной выборки между ними мало различий по сравнению с бикубическими [7] , хотя при более высоких коэффициентах повторной выборки поведение более разнообразно. [8]
Фильтры реконструкции также используются при «реконструкции» формы сигнала или изображения из набора вейвлет- коэффициентов. В медицинской визуализации распространенным методом является использование нескольких 2D -рентгеновских фотографий или МРТ-сканирований для «реконструкции» 3D-изображения.