В системе смешанных сигналов ( аналоговых и цифровых ) фильтр реконструкции , иногда называемый анти-образным фильтром , используется для построения плавного аналогового сигнала из цифрового входа, как в случае цифро-аналогового преобразователя ( ЦАП ) или другого устройства вывода дискретизированных данных.
Теорема дискретизации описывает, почему на входе АЦП требуется аналоговый электронный фильтр нижних частот , называемый фильтром сглаживания : дискретизированный входной сигнал должен быть ограничен по полосе пропускания , чтобы предотвратить наложение спектров (здесь имеется в виду, что волны более высокой частоты регистрируются как волны более низкой частоты).
По той же причине выход ЦАП требует низкочастотного аналогового фильтра, называемого фильтром реконструкции, поскольку выходной сигнал должен быть ограничен по полосе пропускания, чтобы предотвратить искажение (то есть восстановление коэффициентов Фурье в виде ложных высокочастотных «зеркал»). Это реализация интерполяционной формулы Уиттекера–Шеннона .
В идеале оба фильтра должны быть фильтрами brickwall , постоянной фазовой задержкой в полосе пропускания с постоянной плоской частотной характеристикой и нулевым откликом от частоты Найквиста . Этого можно добиться с помощью фильтра с импульсной характеристикой « sinc ».
В то время как в теории ЦАП выдает ряд дискретных импульсов Дирака , на практике реальный ЦАП выдает импульсы с конечной шириной полосы пропускания и длительностью. Как идеализированные импульсы Дирака, так и удерживаемые шаги нулевого порядка и другие выходные импульсы, если их не фильтровать, будут содержать ложные высокочастотные копии, " или изображения " исходного сигнала с ограниченной полосой пропускания. Таким образом, фильтр реконструкции сглаживает форму волны, удаляя частоты изображения (копии) выше предела Найквиста . При этом он реконструирует непрерывный во времени сигнал (будь то изначально дискретизированный или смоделированный цифровой логикой), соответствующий цифровой временной последовательности.
Практические фильтры имеют неплоскую частотную или фазовую характеристику в полосе пропускания и неполное подавление сигнала в других местах. Идеальная синусоидальная форма волны имеет бесконечный отклик на сигнал, как в положительном, так и в отрицательном направлении времени, что невозможно выполнить в реальном времени, так как это потребовало бы бесконечной задержки. Следовательно, реальные фильтры реконструкции обычно либо допускают некоторую энергию выше скорости Найквиста, либо ослабляют некоторые внутриполосные частоты, либо и то, и другое. По этой причине может использоваться передискретизация , чтобы гарантировать, что интересующие частоты точно воспроизводятся без избыточной энергии, излучаемой за пределы полосы.
В системах, где есть и то, и другое, фильтр сглаживания и фильтр реконструкции могут иметь одинаковую конструкцию. Например, и вход, и выход для аудиооборудования могут быть дискретизированы на частоте 44,1 кГц. В этом случае оба аудиофильтра блокируют как можно больше выше 22 кГц и пропускают как можно больше ниже 20 кГц.
В качестве альтернативы система может не иметь фильтра реконструкции и просто допускать трату некоторой энергии на воспроизведение более высокочастотных изображений спектра первичного сигнала.
При обработке изображений цифровые фильтры реконструкции используются как для воссоздания изображений из образцов, как в медицинской визуализации [1] , так и для повторной выборки . [2] Было проведено множество сравнений по различным критериям; [1] [2] [3] [4] одно наблюдение заключается в том, что реконструкцию можно улучшить, если в дополнение к амплитуде известна также производная сигнала, [3] и наоборот, выполнение также производной реконструкции может улучшить методы реконструкции сигнала. [1]
Повторную выборку можно назвать прореживанием или интерполяцией , в зависимости от того, уменьшается или увеличивается частота выборки — как и при выборке и реконструкции в целом, в обоих случаях применяются одни и те же критерии, и, следовательно, может использоваться один и тот же фильтр.
Для повторной выборки, в принципе, аналоговое изображение реконструируется, затем дискретизируется, и это необходимо для общих изменений в разрешении. Для целочисленных соотношений частоты дискретизации можно упростить, дискретизировав импульсный отклик фильтра непрерывной реконструкции для получения дискретного фильтра повторной выборки, а затем используя дискретный фильтр повторной выборки для прямой повторной выборки изображения. Для прореживания на целочисленную величину необходим только один фильтр выборки; для интерполяции на целочисленную величину необходимы разные выборки для разных фаз — например, если выполняется передискретизация в 4 раза, то один фильтр выборки используется для средней точки, в то время как другой фильтр выборки используется для точки на 1/4 пути от одной точки до другой.
Тонкость обработки изображений заключается в том, что (линейная) обработка сигнала предполагает линейную яркость — удвоение значения пикселя удваивает яркость выходного сигнала. Однако изображения часто кодируются гамма-сигналом , особенно в цветовом пространстве sRGB , поэтому яркость нелинейна. Таким образом, чтобы применить линейный фильтр, сначала нужно гамма-декодировать значения — а в случае повторной выборки нужно гамма-декодировать, повторной выборки, а затем гамма-кодировать.
Наиболее распространенные ежедневные фильтры: [5]
Они расположены в порядке возрастания подавления полосы задерживания (сглаживания) и убывания скорости.
Для целей реконструкции используются различные ядра, многие из которых можно интерпретировать как аппроксимирующие функцию sinc [4] либо с помощью окна, либо с помощью сплайн-аппроксимации, либо с помощью кубических сплайнов, либо сплайнов более высокого порядка. В случае оконных фильтров sinc частотная характеристика фильтра реконструкции может быть понята в терминах частотной характеристики окна, поскольку частотная характеристика оконного фильтра является сверткой исходной характеристики (для sinc — кирпичная стена) с частотной характеристикой окна. Среди них часто хвалят окно Ланцоша и окно Кайзера .
Другой класс фильтров реконструкции включает гауссовские для различных ширин, [2] или кардинальные B-сплайны более высокого порядка – фильтр-коробка и фильтр-тент являются кардинальными B-сплайнами 0-го и 1-го порядка. Эти фильтры не являются интерполирующими фильтрами, поскольку их импульсная характеристика не исчезает ни в одной из ненулевых исходных точек выборки – для передискретизации 1:1 они не являются тождественными, а скорее размывают. С другой стороны, будучи неотрицательными, они не вносят никаких артефактов перерегулирования или звона , и, будучи шире во временной области, они могут быть уже в частотной области (по принципу неопределенности Фурье ), хотя и за счет размывания, которое отражается в спаде полосы пропускания («гребешковом»).
В фотографии существует большое разнообразие интерполяционных фильтров, [6] некоторые из которых являются фирменными, мнения о которых неоднозначны. Оценка часто субъективна, реакции различны, и некоторые утверждают, что при реалистичных коэффициентах повторной выборки между ними мало различий по сравнению с бикубическими, [7] хотя при более высоких коэффициентах повторной выборки поведение более разнообразно. [8]
Фильтры реконструкции также используются при «реконструкции» формы волны или изображения из набора коэффициентов вейвлета . В медицинской визуализации распространенной техникой является использование ряда 2D -рентгеновских фотографий или сканов МРТ для «реконструкции» 3D-изображения.