В геометрии флексагоны — это плоские модели, обычно изготавливаемые путем складывания полосок бумаги, которые можно сгибать или складывать определенным образом , чтобы обнажить грани, помимо двух, изначально находящихся сзади и спереди.
Флексагоны обычно квадратные или прямоугольные ( тетрофлексагоны ) или шестиугольные ( гексафлексагоны ). К названию можно добавить префикс, указывающий количество граней, которые может отображать модель, включая две грани (заднюю и переднюю), которые видны до сгибания. Например, гексафлексагон с шестью гранями называется гексагексафлексагон .
В теории гексафлексагонов (то есть, касающихся флексагонов с шестью сторонами) флексагоны обычно определяются в терминах pats . [1] [2]
Два флексагона эквивалентны, если один может быть преобразован в другой с помощью серии зажимов и поворотов. Эквивалентность флексагонов — это отношение эквивалентности . [1]
Открытие первого флексагона, тригексафлексагона, приписывают британскому математику Артуру Х. Стоуну , когда он был студентом Принстонского университета в США в 1939 году. Его новая американская статья не помещалась в его английскую папку, поэтому он отрезал концы бумаги и начал складывать их в разные формы. [3] Один из них образовал тригексафлексагон. Коллеги Стоуна Брайант Такерман , Ричард Фейнман и Джон Таки заинтересовались этой идеей и сформировали Принстонский комитет по флексагону. Такерман разработал топологический метод, названный траверсом Такермана, для выявления всех граней флексагона. [4] Траверсы Такермана показаны в виде диаграммы, которая отображает каждую грань флексагона на каждую другую грань. При этом он понял, что каждая грань не всегда появляется в одном и том же состоянии.
Флексагоны были представлены широкой публике Мартином Гарднером в выпуске журнала Scientific American за декабрь 1956 года в статье, которая была так хорошо принята, что положила начало рубрике Гарднера «Математические игры» , которая затем выходила в этом журнале в течение следующих двадцати пяти лет. [3] [5] В 1974 году фокусник Дуг Хеннинг включил гексафлексагон, который можно было построить самостоятельно, в оригинальную запись своего бродвейского шоу «The Magic Show» .
В 1955 году Рассел Роджерс и Леонард Д'Андреа из Хоумстед-Парка, штат Пенсильвания, подали заявку на патент, и в 1959 году им был выдан патент США под номером 2 883 195 на гексагексафлексагон под названием «Сменные развлекательные устройства и тому подобное».
В их патенте описывались возможные применения устройства «в качестве игрушки, рекламного устройства или учебного геометрического устройства». [6] Несколько таких новинок были выпущены Herbick & Held Printing Company , типографией в Питтсбурге , где работал Роджерс, но устройство, продаваемое под названием «Hexmo», не прижилось.
Тритетрафлексагон — это простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными сторонами). «Три» в названии означает, что у него три грани, две из которых видны в любой момент времени, если флексагон сжать. Конструкция тритетрафлексагона похожа на механизм, используемый в традиционной детской игрушке «Лестница Иакова» , в «Магии Рубика» и в фокусе с волшебным кошельком или кошельком Химбера .
У тритетрафлексагона два тупика, где вы не можете согнуться вперед. Чтобы добраться до другой грани, вы должны либо согнуться назад, либо перевернуть флексагон.
Более сложный циклический гексатетрафлексагон не требует склеивания. Циклический гексатетрафлексагон не имеет никаких «тупиков», но тот, кто его делает, может продолжать складывать его, пока не достигнет исходного положения. Если стороны раскрашивать в процессе, то состояния можно увидеть более четко.
В отличие от тритетрафлексагона, гексатетрафлексагон не имеет тупиков и его никогда не нужно сгибать назад.
Гексафлексагоны бывают самых разных видов и различаются по количеству граней, которые можно получить, сгибая собранную фигуру. (Обратите внимание, что слово гексафлексагоны [без префиксов] иногда может относиться к обычному гексагексафлексагону с шестью сторонами вместо других чисел.)
Гексафлексагон с тремя гранями — самый простой в изготовлении и обращении гексафлексагон. Он изготавливается из одной полоски бумаги, разделенной на девять равносторонних треугольников. (Некоторые шаблоны предусматривают десять треугольников, два из которых склеиваются при окончательной сборке.)
Для сборки полоска складывается каждый третий треугольник, соединяясь с собой после трех инверсий на манер международного символа переработки . Это создает ленту Мёбиуса , один край которой образует узел-трилистник .
Этот гексафлексагон имеет шесть граней. Он состоит из девятнадцати треугольников, сложенных из полоски бумаги.
После складывания грани 1, 2 и 3 найти легче, чем грани 4, 5 и 6.
Легкий способ раскрыть все шесть граней — использовать траверс Такермана, названный в честь Брайанта Такермана, одного из первых, кто исследовал свойства гексафлексагонов. Траверс Такермана включает в себя повторное сгибание путем зажимания одного угла и сгибания точно с одного и того же угла каждый раз. Если угол отказывается открываться, перейдите к соседнему углу и продолжайте сгибать. Эта процедура приводит вас к циклу из 12 граней. Однако во время этой процедуры 1, 2 и 3 появляются в три раза чаще, чем 4, 5 и 6. Цикл протекает следующим образом:
А затем снова вернуться к 1.
Каждый цвет/грань также может быть выставлен более чем одним способом. Например, на рисунке 6 каждый синий треугольник имеет в центре свой угол, украшенный клином, но также возможно, например, заставить те, которые украшены буквами Y, прийти в центр. Существует 18 таких возможных конфигураций для треугольников с разными цветами, и их можно увидеть, сгибая гексагексафлексагон всеми возможными способами в теории, но только 15 можно согнуть обычным гексагексафлексагоном. 3 дополнительные конфигурации невозможны из-за расположения плиток 4, 5 и 6 на заднем клапане. (Углы в 60 градусов в ромбах, образованных соседними плитками 4, 5 или 6, появятся только по бокам и никогда не появятся в центре, потому что для этого потребовалось бы разрезать полоску, что топологически запрещено.)
Гексагексафлексагоны могут быть построены из различных сеток из восемнадцати равносторонних треугольников. Один гексагексафлексагон, построенный из неправильной бумажной полоски, почти идентичен показанному выше, за исключением того, что все 18 конфигураций могут быть сложены в этой версии.
Хотя наиболее часто встречающиеся гексафлексагоны имеют три или шесть граней, существуют вариации с любым количеством граней. Прямые полосы производят гексафлексагоны с числом граней, кратным трем. Другие числа получаются из непрямых полос, которые являются просто прямыми полосами с некоторыми сложенными соединениями, устраняющими некоторые грани. Многие полосы можно складывать разными способами, производя различные гексафлексагоны с различными картами складывания.
В этих недавно открытых флексагонах каждая квадратная или равносторонняя треугольная грань обычного флексагона далее делится на два прямоугольных треугольника, что позволяет использовать дополнительные режимы изгибания. [7] Деление квадратных граней тетрафлексагонов на прямоугольные равнобедренные треугольники дает октафлексагоны, [8] а деление треугольных граней гексафлексагонов на прямоугольные треугольники 30-60-90 дает додекафлексагоны. [9]
В плоском состоянии пентафлексагон очень похож на логотип Chrysler : правильный пятиугольник, разделенный от центра на пять равнобедренных треугольников с углами 72–54–54. Из-за своей пятикратной симметрии пентафлексагон не может быть сложен пополам. Однако сложная серия сгибаний приводит к его трансформации из отображения сторон один и два спереди и сзади в отображение ранее скрытых сторон три и четыре. [10]
Дальнейшее деление 72-54-54 треугольников пентафлексагона на 36-54-90 прямоугольных треугольников дает одну из вариаций 10-стороннего декафлексагона. [11]
Пентафлексагон — один из бесконечной последовательности флексагонов, основанных на делении правильного n -угольника на n равнобедренных треугольников. Другие флексагоны включают гептафлексагон, [12] равнобедренный октафлексагон, [13] эннеафлексагон, [14] и другие.
Гарольд В. Макинтош также описывает «неплоские» флексагоны (т. е. те, которые нельзя согнуть так, чтобы они лежали плоско); флексагоны, сложенные из пятиугольников , называемые пентафлексагонами [15] и из семиугольников, называемые гептафлексагонами [16] . Их следует отличать от «обычных» пентафлексагонов и гептафлексагонов, описанных выше, которые сделаны из равнобедренных треугольников , и их можно сделать плоскими.
Флексагоны также являются популярной структурой книги, используемой создателями книг художников , такими как Джули Чен ( Life Cycle ) и Эдвард Х. Хатчинс ( Album and Voces de México ). Инструкции по изготовлению тетра-тетра-флексагона и кросс-флексагона включены в книгу Making Handmade Books: 100+ Bindings, Structures and Forms Алисы Голден. [17]
Гексафлексагон высокого порядка использовался в качестве сюжетного элемента в романе Пирса Энтони 0X , в котором флекс был аналогичен путешествию между альтернативными вселенными. [18]
Ви Харт , известный математик-любитель и общественный деятель, привлекла внимание общественности своим видеороликом о гексафлексагонах.
