Фокальные конические сечения

Пары конических сечений в геометрии

Определение фокальных коник
A,C: вершины эллипса и фокусы гиперболы
E,F: фокусы эллипса и вершины гиперболы

Фокальные конические сечения: две параболы
A: вершина красной параболы и фокус синей параболы
F: фокус красной параболы и вершина синей параболы

В геометрии фокальные коники представляют собой пару кривых, состоящих из [ ^{1] [2]} либо

• эллипс и гипербола , где гипербола содержится в плоскости, которая ортогональна плоскости , содержащей эллипс. Вершины гиперболы являются фокусами эллипса, а ее фокусы являются вершинами эллипса (см. диаграмму).

или

• две параболы , которые лежат в двух ортогональных плоскостях, причем вершина одной параболы является фокусом другой и наоборот.

Фокальные конические сечения играют существенную роль в ответе на вопрос: «Какие прямые круговые конусы содержат данный эллипс, гиперболу или параболу (см. ниже)».

Фокальные конические сечения используются в качестве директрис для создания циклид Дюпена как поверхностей каналов двумя способами. ^{[3] [4]}

Фокальные конические сечения можно рассматривать как вырожденные фокальные поверхности : циклиды Дюпена являются единственными поверхностями, где фокальные поверхности схлопываются в пару кривых, а именно фокальные конические сечения. ^[5]

В физической химии фокальные коники используются для описания геометрических свойств жидких кристаллов . ^[6]

Не следует путать фокальные коники с конфокальными . У последних все фокусы одинаковы.

Уравнения и параметрические представления

Эллипс и гипербола

Уравнения

Если описать эллипс в плоскости xy обычным способом с помощью уравнения

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

тогда соответствующая фокальная гипербола в плоскости xz имеет уравнение

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{c^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}=1\;,}$

где - линейный эксцентриситет эллипса с ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \;c^{2}=a^{2}-b^{2}\;.}$

Параметрические представления

эллипс: и ${\displaystyle \quad {\vec {u}}(\varphi )=(a\cos \varphi ,b\sin \varphi ,0)^{T}\ }$

гипербола: ${\displaystyle \ {\vec {v}}(\psi )=(c\cosh \psi ,0,b\sinh \psi )^{T}\ .}$

Две параболы

Две параболы в плоскости xy и в плоскости xz:

1. парабола: и ${\displaystyle \ y^{2}=p^{2}-2px\ }$

2. парабола: ${\displaystyle \ z^{2}=2px\ .}$

с полуширокой прямой костью обеих парабол. ${\displaystyle p}$

Прямой круговой конус (зеленый) через эллипс (синий)

Прямые круговые конусы через эллипс

• Вершины прямых круговых конусов, проходящих через данный эллипс, лежат на фокальной гиперболе, принадлежащей эллипсу.

Прямые круговые конусы через эллипс

Доказательство

Дано : эллипс с вершинами и фокусами и прямой круговой конус с вершиной, содержащей эллипс (см. рисунок). ${\displaystyle A,B}$ ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle S}$

Из-за симметрии ось конуса должна находиться в плоскости, проходящей через фокусы, которая ортогональна плоскости эллипса. Существует сфера Данделена , которая касается плоскости эллипса в фокусе , а конус — в окружности. Из диаграммы и того факта, что все касательные расстояния точки до сферы равны, получаем: ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle |AS|=|AA_{1}|+|A_{1}S|=|AF|+|B_{1}S|}$

${\displaystyle |BS|=|BB_{1}|+|B_{1}S|=|BF|+|B_{1}S|}$

Следовательно:

${\displaystyle |AS|-|BS|=|AF|-|BF|=|EF|=}$константа.

а множество всех возможных вершин лежит на гиперболе с вершинами и фокусами . ${\displaystyle E,F}$ ${\displaystyle A,B}$

Аналогично доказываются случаи, когда конусы содержат гиперболу или параболу. ^[7]

Ссылки

1. Мюллер-Круппа, С. 104
2. Glaeser-Stachel-Odehnal, с. 137
3. Феликс Кляйн: Vorlesungen Über Höhere Geometrie , Herausgeber: В. Блашке, Рихард Курант, Springer-Verlag, 2013, ISBN  3642498485 , S. 58.
4. Глезер-Штахель-Оденаль: с. 147
5. Д. Гильберт, С. Кон-Фоссен: Геометрия и воображение , Chelsea Publishing Company, 1952, стр. 218.
6. Томас Эндрю Вэй: Физика жизненных процессов , Verlag John Wiley & Sons, 2014, ISBN 1118698274 , стр. 128. 
7. Глезер-Штахель-Оденаль с. 139

• Георг Глезер, Хельмут Стахель, Борис Оденал: Вселенная коников , Springer, 2016, ISBN 3662454505 . 
• Э. Мюллер, Э. Круппа: Lehrbuch der darstellenden Geomelrie , Springer-Verlag, Вена, 1961, ISBN 978-3-211-80589-3 .