Формализм Пресса–Шехтера

Математическая модель

Формализм Пресса -Шехтера — это математическая модель для прогнозирования количества объектов (таких как галактики , скопления галактик или гало темной материи ^[1] ) определенной массы в заданном объеме Вселенной. Он был описан в академической статье Уильяма Х. Пресса и Пола Шехтера в 1974 году. ^[2]

Фон

В контексте космологических моделей холодной темной материи возмущения на всех масштабах запечатлеваются во Вселенной в очень ранние времена, например, квантовыми флуктуациями в инфляционную эпоху . Позже, по мере того как излучение смещается в красную область спектра, они становятся массовыми возмущениями и начинают линейно расти. Только спустя долгое время, начиная с малых массовых масштабов и продвигаясь со временем к более крупным массовым масштабам, возмущения фактически коллапсируют, образуя (например) галактики или скопления галактик в так называемом иерархическом структурном образовании (см. Физическая космология ).

Пресс и Шехтер заметили, что доля массы в коллапсирующих объектах, более массивных, чем некоторая масса M , связана с долей объемных образцов, в которых сглаженные начальные флуктуации плотности превышают некоторый порог плотности. Это дает формулу для функции массы (распределения масс) объектов в любой момент времени.

Результат

Формализм Пресса-Шехтера предсказывает, что число объектов с массой между и равно: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M+dM}$ $${\displaystyle dn\equiv N(M)dM={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(1+{\frac {n}{3}}\right){\frac {\bar {\rho }}{M^{2}}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/6}\exp \left(-\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{\left(3+n\right)/3}\right)dM}$$

где - индекс спектра мощности флуктуаций в ранней Вселенной , - средняя (барионная и темная) плотность материи Вселенной в то время, когда флуктуация, из которой образовался объект, гравитационно коллапсировала, а - пороговая масса, ниже которой будут формироваться структуры. Ее значение равно: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle P(k)\propto k^{n}}$ ${\displaystyle {\bar {\rho }}}$ ${\displaystyle M^{*}}$

$${\displaystyle M^{*}=\left({\frac {{\bar {\rho }}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma ^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}=\left({\frac {{\bar {\rho }}_{0}^{1-{\frac {n}{3}}}}{2\sigma _{0}^{2}}}\right)^{\frac {3}{3+n}}\cdot {\frac {R_{0}^{2}}{R^{2}}}}$$

${\displaystyle \sigma }$— стандартное отклонение на единицу объема флуктуации, из которой образовался объект, подвергшийся гравитационному коллапсу, во время гравитационного коллапса, а R — масштаб Вселенной в то время. Параметры с индексом 0 относятся к моменту первоначального создания флуктуации (или к любому более позднему моменту времени до гравитационного коллапса).

Качественно предсказание состоит в том, что распределение масс является степенным законом для малых масс, с экспоненциальным обрезанием выше некоторой характерной массы, которая увеличивается со временем. Такие функции ранее были отмечены Шехтером как наблюдаемые функции светимости , и теперь известны как функции светимости Шехтера. Формализм Пресса-Шехтера предоставил первую количественную модель того, как такие функции могут возникать.

Случай безмасштабного спектра мощности, n = 0 (или, что эквивалентно, скалярный спектральный индекс 1), очень близок к спектру текущей стандартной космологической модели . В этом случае имеет более простую форму. Записано в безмассовых единицах: ${\displaystyle dn}$

$${\displaystyle M{\frac {dn}{dM}}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\bar {\rho }}{M}}\left({\frac {M}{M^{*}}}\right)^{1/2}e^{-M/M^{*}}}$$

Предположения и набросок вывода

Формализм Пресса-Шехтера выводится из трех ключевых предположений: ^[3]

1. Материя во Вселенной имеет возмущения, следующие гауссовому распределению , а дисперсия этого распределения зависит от масштаба и задается спектром мощности. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle P(k)}$
2. Возмущения материи растут линейно с функцией роста ${\displaystyle \delta \propto D_{+}}$
3. Гало — это сферические, вириализованные сверхплотности с плотностью выше критической плотности. ${\displaystyle \delta \geq \delta _{c}}$

Другими словами, флуктуации малы в какой-то ранний космологический момент времени и растут, пока не перейдут порог, заканчивающийся гравитационным коллапсом в гало. Эти возмущения моделируются линейно, хотя сам по себе конечный коллапс является нелинейным процессом.

Введем сглаженное поле плотности, заданное усредненным по сфере с центром и массой, содержащейся внутри (т.е. свернутым с функцией окна top-hat). Радиус сферы имеет порядок ^[4] Тогда, если гало существует при с массой не менее ${\displaystyle \delta _{M}({\vec {x}})~,}$ ${\displaystyle \delta ({\vec {x}})}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M\sim {\bar {\rho }}R^{3}~.}$ ${\displaystyle \delta _{M}({\vec {x}})\geq \delta _{c}~,}$ ${\displaystyle {\vec {x}}}$ ${\displaystyle M~.}$

Поскольку возмущения распределены по Гауссу со средним значением 0 и дисперсией, мы можем напрямую вычислить вероятность образования гало с массами не менее ${\displaystyle \delta _{M}}$ ${\displaystyle \sigma (M)~,}$ ${\displaystyle M}$ $${\displaystyle f(\delta _{M}>\delta _{c})=\int _{\delta _{c}}^{\infty }d\delta _{M}~{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma (M)}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\frac {\delta _{M}^{2}}{\sigma ^{2}(M)}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{c}}{\sigma (M)}}\right)~.}$$

Неявно, и зависят от красного смещения, поэтому и приведенная выше вероятность тоже. Дисперсия, приведенная в статье 1974 года, равна , где — стандартное отклонение массы в объеме флуктуации. ${\displaystyle \sigma (R)}$ ${\displaystyle \delta _{M}}$ $${\displaystyle \sigma (M)^{2}={\frac {\Sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {V\cdot \sigma ^{2}}{M^{2}}}={\frac {\sigma ^{2}}{M\cdot \rho }}}$$ ${\displaystyle \Sigma }$

Обратите внимание, что в пределе больших возмущений мы ожидаем, что вся материя будет содержаться в гало, так что Однако приведенное выше уравнение дает нам предел Можно привести аргумент ad hoc и сказать, что отрицательные возмущения не вносят вклад в эту схему, так что мы ошибочно исключаем половину массы. Итак, анзац Пресса-Шехтера ${\displaystyle \sigma (M)\gg \delta _{M}~,}$ ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})=1~.}$ ${\textstyle f(\delta _{M}>\delta _{c})={\frac {1}{2}}~.}$ $${\displaystyle F(>M)=\operatorname {erfc} \left({\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {\delta _{M}}{\sigma (M)}}\right)~,}$$

доля материи, содержащаяся в гало массы ${\displaystyle >M~.}$

Дробная флуктуация ; в некоторое космологическое время достигает гравитационного коллапса после того, как вселенная расширилась с того времени в 1/δ раз. Используя это, нормальное распределение флуктуаций, записанное в терминах , , и дает формулу Пресса-Шехтера. ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \sigma }$

Обобщения

Существует ряд обобщений формулы Пресса-Шехтера, например, приближение Шета-Тормена . ^[5]

Ссылки

1. Гало темной материи, массовые функции и космология: взгляд теоретика
2. Формирование галактик и скоплений галактик путем самоподобной гравитационной конденсации, WH Press, P. Schechter, 1974
3. Barkana, Rennan (2018). Энциклопедия космологии, том 1: Формирование и эволюция галактик. Том 2. World Scientific. doi : 10.1142/9496. ISBN 9789814656221.
4. Бауманн, Дэниел (2022). Космология . 2022. doi :10.1017/9781108937092. ISBN 9781108838078.
5. Шет, Р. К. и Тормен, Г. (1999). Крупномасштабное смещение и пиковое фоновое разделение. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 308(1), 119-126.