Формальная производная

В математике формальная производная — это операция над элементами кольца полиномов или кольца формальных степенных рядов , которая имитирует форму производной из исчисления . Хотя они кажутся похожими, алгебраическое преимущество формальной производной состоит в том, что она не опирается на понятие предела , которое в общем случае невозможно определить для кольца . Многие свойства производной верны для формальной производной, но некоторые, особенно те, которые делают числовые утверждения, — нет.

Формальное дифференцирование используется в алгебре для проверки наличия кратных корней у многочлена .

Определение

Зафиксируем кольцо (не обязательно коммутативное) и пусть будет кольцом многочленов над . (Если не коммутативно, то это свободная алгебра над одной неопределенной переменной.) ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A=R[x]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Тогда формальная производная — это операция над элементами , где если ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},}$

тогда его формальная производная равна

${\displaystyle f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.}$

В приведенном выше определении для любого неотрицательного целого числа и , определяется как обычно в кольце: (с условием , если ). ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle r\in R}$ ${\displaystyle ir}$ ${\displaystyle ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ times}}}}$ ${\displaystyle ir=0}$ ${\displaystyle i=0}$

Это определение также работает, даже если не имеет мультипликативного тождества (то есть является rng ). ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Альтернативное аксиоматическое определение

Формальную производную можно также определить аксиоматически как отображение, удовлетворяющее следующим свойствам. ${\displaystyle (\ast )^{\prime }\colon R[x]\to R[x]}$

1. ${\displaystyle r'=0}$для всех ${\displaystyle r\in R\subset R[x].}$
2. Аксиома нормализации, ${\displaystyle x'=1.}$
3. Отображение коммутирует с операцией сложения в кольце многочленов, ${\displaystyle (a+b)'=a'+b'.}$
4. Карта удовлетворяет закону Лейбница относительно операции умножения кольца многочленов, ${\displaystyle (a\cdot b)'=a'\cdot b+a\cdot b'.}$

Можно доказать, что это аксиоматическое определение дает хорошо определенную карту, соответствующую всем обычным аксиомам кольца.

Приведенная выше формула (т.е. определение формальной производной, когда кольцо коэффициентов коммутативно) является прямым следствием вышеупомянутых аксиом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{i}a_{i}x^{i}\right)'&=\sum _{i}\left(a_{i}x^{i}\right)'\\&=\sum _{i}\left((a_{i})'x^{i}+a_{i}\left(x^{i}\right)'\right)\\&=\sum _{i}\left(0x^{i}+a_{i}\left(\sum _{j=1}^{i}x^{j-1}(x')x^{i-j}\right)\right)\\&=\sum _{i}\sum _{j=1}^{i}a_{i}x^{i-1}\\&=\sum _{i}ia_{i}x^{i-1}.\end{aligned}}}$

Характеристики

Можно убедиться, что:

• Формальное дифференцирование линейно: для любых двух многочленов f ( x ), g ( x ) в R [ x ] и элементов r , s из R имеем

${\displaystyle (r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).}$

• Формальная производная удовлетворяет правилу произведения :

${\displaystyle (f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).}$

Обратите внимание на порядок множителей; если R не является коммутативным, это важно.

Эти два свойства делают D производным от A (см. модуль относительных дифференциальных форм для обсуждения обобщения).

Обратите внимание, что формальная производная не является гомоморфизмом колец , поскольку правило произведения отличается от утверждения (и это не так), что . Однако, это гомоморфизм (линейное отображение) R -модулей , согласно приведенным выше правилам. ${\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g'}$

Применение для поиска повторяющихся факторов

Как и в исчислении, производная обнаруживает множественные корни. Если R — поле, то R [ x ] — евклидова область , и в этой ситуации мы можем определить множественность корней; для каждого многочлена f ( x ) в R [ x ] и каждого элемента r из R существует неотрицательное целое число m _r и многочлен g ( x ) такие, что

${\displaystyle f(x)=(x-r)^{m_{r}}g(x)}$

где g ( r )  ≠  0. m _r — кратность r как корня f . Из правила Лейбница следует, что в этой ситуации m _r — это также число дифференцирований, которые необходимо выполнить над f ( x ), прежде чем r перестанет быть корнем результирующего многочлена. Полезность этого наблюдения заключается в том, что хотя в общем случае не каждый многочлен степени n в R [ x ] имеет n корней, учитывая кратность (это максимум, согласно приведенной выше теореме), мы можем перейти к расширениям полей , в которых это верно (а именно, к алгебраическим замыканиям ). Как только мы это сделаем, мы можем обнаружить кратный корень, который вообще не был корнем просто над R . Например, если R — конечное поле с тремя элементами, многочлен

${\displaystyle f(x)\,=\,x^{6}+1}$

не имеет корней в R ; однако, его формальная производная ( ) равна нулю, так как 3 = 0 в R и в любом расширении R , поэтому, когда мы переходим к алгебраическому замыканию, оно имеет кратный корень, который не мог быть обнаружен факторизацией в самом R . Таким образом, формальное дифференцирование допускает эффективное понятие кратности. Это важно в теории Галуа , где проводится различие между разделимыми расширениями полей (определяемыми полиномами без кратных корней) и неразделимыми. ${\displaystyle f'(x)\,=\,6x^{5}}$

Соответствие аналитической производной

Когда кольцо R скаляров коммутативно, существует альтернативное и эквивалентное определение формальной производной, которое напоминает то, что мы видим в дифференциальном исчислении. Элемент Y–X кольца R [X,Y] делит Y ⁿ – X ⁿ для любого неотрицательного целого числа n , и, следовательно, делит f (Y) – f (X) для любого многочлена f на одну неопределенность. Если частное в R [X,Y] обозначить через g , то

${\displaystyle g(X,Y)={\frac {f(Y)-f(X)}{Y-X}}.}$

Тогда нетрудно проверить, что g (X,X) (в R [X]) совпадает с формальной производной f , как она была определена выше.

Эта формулировка производной одинаково хорошо работает и для формального степенного ряда , если кольцо коэффициентов коммутативно.

На самом деле, если деление в этом определении провести в классе функций, непрерывных в , то оно восстановит классическое определение производной. Если же его провести в классе функций, непрерывных в и , то мы получим равномерную дифференцируемость, а функция будет непрерывно дифференцируемой. Аналогично, выбирая различные классы функций (скажем, класс Липшица), мы получим различные разновидности дифференцируемости. Таким образом, дифференцирование становится частью алгебры функций. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$

Смотрите также

• Производный
• Евклидова область
• Модуль относительных дифференциальных форм
• теория Галуа
• Формальный степенной ряд
• производная Пинчерле

Ссылки

1. Джон Б. Фрели; Виктор Дж. Кац (2002). Первый курс абстрактной алгебры . Пирсон. п. 443.

Источники

• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556, Zbl  0984.00001
• Михаил Лившиц, Вы могли бы упростить исчисление, arXiv:0905.3611v1