Лимон (геометрия)

Геометрическая форма

Лимон

В геометрии лимон — это геометрическая фигура , которая строится как поверхность вращения дуги окружности с углом, меньшим половины полной окружности, вращающейся вокруг оси, проходящей через концы линзы (или дуги). Поверхность вращения дополнительной дуги той же окружности, проходящей через ту же ось, называется яблоком .

Половина самопересекающегося тора

Яблоко и лимон вместе образуют веретенообразный тор (или самопересекающийся тор или самопересекающийся тор ). Лимон образует границу выпуклого множества , в то время как окружающее его яблоко невыпукло. ^{[1] [2]}

североамериканский футбол

Мяч в североамериканском футболе имеет форму, напоминающую геометрический лимон. Однако, хотя термин «футбольный мяч» используется в связанном значении в геометрии, он чаще используется для обозначения поверхности вращения, гауссова кривизна которой положительна и постоянна , образованной более сложной кривой, чем дуга окружности. ^[3] В качестве альтернативы, футбольный мяч может относиться к более абстрактному орбифолду , поверхности, локально смоделированной на сфере, за исключением двух точек. ^[4]

Площадь и объем

Лимон получается вращением дуги радиусом и полууглом, меньшим, чем вокруг его хорды. Обратите внимание, что обозначает широту, как это используется в геофизике. Площадь поверхности определяется как ^[5] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \pi /2}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d\phi }$

Объем определяется по формуле

${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{2}\cos \phi d\phi }$

Эти интегралы можно оценить аналитически, получив

${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})}$

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]}$

Яблоко получается вращением дуги на половину угла, большего, чем его хорда. Приведенные выше уравнения справедливы как для лимона, так и для яблока. ${\displaystyle \phi _{m}}$ ${\displaystyle \pi /2}$

Смотрите также

• Корпус Сирса–Хаака
• Список фигур

Ссылки

1. Крипач, Джири (февраль 1997 г.), «Механизм постоянного именования топологических сущностей в параметрических твердотельных моделях на основе истории», Computer-Aided Design , 29 (2): 113–122, doi :10.1016/s0010-4485(96)00040-1
2. Кривошапко, СН; Иванов, ВН (2015), «Поверхности вращения», Энциклопедия аналитических поверхностей , Springer International Publishing, стр. 99–158, doi :10.1007/978-3-319-11773-7_2
3. Кумбс, Кевин Р.; Липсман, Рональд Л.; Розенберг, Джонатан М. (1998), Многомерное исчисление и математика , Springer New York, стр. 128, doi :10.1007/978-1-4612-1698-8, ISBN 978-0-387-98360-8
4. Борзеллино, Джозеф Э. (1994), «Теоремы о сдавливании для слезинок и футбольных мячей революции», Бюллетень Австралийского математического общества , 49 (3): 353–364, doi : 10.1017/S0004972700016464 , MR  1274515
5. Верралл, Стивен С.; Аткинс, Мика; Камински, Эндрю; Фридерик, Эмили; Отто, Эндрю; Верралл, Келли С.; Линч, Питер (2023-01-23), "Модель протона квантового вихря в основном состоянии", Основы физики , 53 (1): 28, doi :10.1007/s10701-023-00669-y, ISSN  1572-9516, S2CID  256115776

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , «Поверхность лимона», MathWorld
• Поверхность в форме футбольного мяча (шпиндельного типа) с положительной постоянной кривизной в коллекции моделей Гронингенского университета