Математическое решение
В математике и, в частности, в уравнениях в частных производных (ЧДУ), формула Даламбера является общим решением одномерного волнового уравнения :
для
Оно названо в честь математика Жана ле Рона д'Аламбера , который вывел его в 1747 году для решения проблемы колеблющейся струны . [1]
Подробности
Характеристики УЧП (где знак обозначает два решения квадратного уравнения), поэтому мы можем использовать замену переменных (для положительного решения) и (для отрицательного решения), чтобы преобразовать УЧП в . Общее решение этого УЧП: где и являются функциями. Вернувшись в координаты,
- это если и есть .
Это решение можно интерпретировать как две волны с постоянной скоростью, движущиеся в противоположных направлениях вдоль оси x.
Теперь рассмотрим это решение с данными Коши .
Используя, мы получаем .
Используя, мы получаем .
Мы можем проинтегрировать последнее уравнение, чтобы получить
Теперь мы можем решить эту систему уравнений и получить
Теперь, используя
Формула Даламбера принимает вид: [2]
Обобщение для неоднородных канонических гиперболических дифференциальных уравнений
Общий вид неоднородного канонического дифференциального уравнения гиперболического типа имеет вид:
Все дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами могут быть преобразованы в соответствующие им канонические формы . Это уравнение является одним из трех случаев: эллиптическое уравнение в частных производных , параболическое уравнение в частных производных и гиперболическое уравнение в частных производных .
Единственная разница между однородным и неоднородным дифференциальным уравнением (в частных производных) состоит в том, что в однородной форме мы допускаем, чтобы 0 стоял только в правой части ( ), в то время как неоднородное уравнение является гораздо более общим, поскольку в может быть любая функция, пока поскольку он непрерывен и может быть непрерывно дифференцирован дважды.
Решение приведенного выше уравнения дается формулой:
Если , то первая часть исчезает, если , то вторая часть исчезает, а если , то третья часть исчезает из решения, поскольку интегрирование 0-функции между любыми двумя границами всегда приводит к 0.
Смотрите также
Примечания
- ^ Даламбер (1747) «Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Исследования кривой, которую образует натянутый шнур [струна] [когда] приводится в вибрацию), Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 214–219. См. Также: Д'Аламбер (1747) «Suite des recherches sur la Courbe que forme une corde tenduë mise en vibration» (Дальнейшие исследования кривой, которую образует натянутая струна, [когда] приводится в состояние вибрации), Histoire de l'académie royale. des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 3, страницы 220–249. См. также: Д'Аламбер (1750) «Addition au mémoire sur la Courbe que forme une corde tenduë mise en vibration», Histoire de l'académie royale des Sciences et belles lettres de Berlin , vol. 6, страницы 355–360.
- ^ Пинчовер, Иегуда; Рубинштейн, Джейкоб (2013). Введение в уравнения в частных производных (8-е издание). Издательство Кембриджского университета. стр. 76–92. ISBN 978-0-521-84886-2.
Внешние ссылки
https://www.knowledgeablegroup.com/2020/09/equations%20change%20world.html [ постоянная неработающая ссылка ]