Формула Коши–Бине

Тождество в линейной алгебре

В математике , в частности линейной алгебре , формула Коши–Бине , названная в честь Огюстена-Луи Коши и Жака Филиппа Мари Бине , является тождеством для определителя произведения двух прямоугольных матриц транспонированной формы (так что произведение является хорошо определенным и квадратным ). Она обобщает утверждение о том, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей. Формула верна для матриц с элементами из любого коммутативного кольца .

Заявление

Пусть A — матрица m × n , а B — матрица n × m . Запишем [ n ] для множества {1, ...,  n } и для множества m - комбинаций [ n ] (т. е. подмножеств [ n ] размера m ; их существует ). Для запишем A _{[ m ], S} для матрицы m × m , столбцы которой являются столбцами A с индексами из S , и B _{S ,[ m ]} для матрицы m × m , строки которой являются строками B с индексами из S . Формула Коши–Бине тогда гласит ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ ${\displaystyle S\in {\tbinom {[n]}{m}}}$

${\displaystyle \det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).}$

Пример: Принимая m  = 2 и n  = 3, а матрицы и , формула Коши–Бине дает определитель ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&1&2\\3&1&-1\\\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&1\\3&1\\0&2\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \det(AB)=\left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\3&1\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\1&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}3&1\\0&2\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}1&2\\3&-1\end{matrix}}\right|\cdot \left|{\begin{matrix}1&1\\0&2\end{matrix}}\right|.}$

Действительно , и его определитель равен , что равно из правой части формулы. ${\displaystyle AB={\begin{pmatrix}4&6\\6&2\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle -28}$ ${\displaystyle -2\times -2+-3\times 6+-7\times 2}$

Особые случаи

Если n  <  m, то — пустое множество, и формула гласит, что det( AB ) = 0 (ее правая часть — пустая сумма); действительно, в этом случае ранг матрицы AB размером m × m не превышает n , что подразумевает , что ее  определитель равен нулю. Если n = m , случай, когда A и B — квадратные матрицы ( одноэлементное множество), поэтому сумма включает только S  = [ n ], и формула гласит, что det( AB ) = det( A )det( B ). ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}}$ ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{m}}=\{[n]\}}$

При m  = 0 A и B являются пустыми матрицами (но имеют разную форму, если n  > 0), как и их произведение AB ; суммирование включает в себя один член S  = Ø, и формула устанавливает 1 = 1, причем обе стороны заданы определителем матрицы 0×0. При m  = 1 суммирование охватывает совокупность n различных синглтонов, взятых из [ n ], и обе стороны формулы дают , скалярное произведение пары векторов, представленных матрицами. Наименьшее значение m, для которого формула устанавливает нетривиальное равенство, равно m  = 2; оно обсуждается в статье о тождестве Бине–Коши . ${\displaystyle {\tbinom {[n]}{1}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum _{j=1}^{n}A_{1,j}B_{j,1}}$

В случаен = 3

Пусть будут трехмерными векторами. ${\displaystyle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}},{\boldsymbol {c}},{\boldsymbol {d}},{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}},{\boldsymbol {z}},{\boldsymbol {w}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&1=1&(m=0)\\[10pt]&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}=a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}&(m=1)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&{\begin{vmatrix}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{3}&a_{1}\\b_{3}&b_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&({\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}})\cdot ({\boldsymbol {x}}\times {\boldsymbol {y}})&(m=2)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\\x_{3}&y_{3}&z_{3}\end{vmatrix}}\\[4pt]={}&[{\boldsymbol {a}}\cdot ({\boldsymbol {b}}\times {\boldsymbol {c}})][{\boldsymbol {x}}\cdot ({\boldsymbol {y}}\times {\boldsymbol {z}})]&(m=3)\\[10pt]&{\begin{vmatrix}{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {b}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {c}}\cdot {\boldsymbol {w}}\\{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {x}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {y}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {z}}&{\boldsymbol {d}}\cdot {\boldsymbol {w}}\end{vmatrix}}=0&(m=4)\end{aligned}}}$

В случае m  > 3 правая часть всегда равна 0.

Простое доказательство

Следующее простое доказательство опирается на два факта, которые можно доказать несколькими различными способами: ^[1]

1. Для любого коэффициент в многочлене равен сумме главных миноров . ${\displaystyle 1\leq k\leq n}$ ${\displaystyle z^{n-k}}$ ${\displaystyle \det(zI_{n}+X)}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle X}$
2. Если и — матрица и матрица , то ${\displaystyle m\leq n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle n\times m}$

${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$.

Теперь, если мы сравним коэффициент в уравнении , левая часть даст сумму главных миноров , тогда как правая часть даст постоянный член , который просто равен , что и утверждает формула Коши–Бине, т.е. ${\displaystyle z^{n-m}}$ ${\displaystyle \det(zI_{n}+BA)=z^{n-m}\det(zI_{m}+AB)}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle \det(zI_{m}+AB)}$ ${\displaystyle \det(AB)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\det(AB)=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((BA)_{S,S})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(B_{S,[m]})\det(A_{[m],S})\\[5pt]={}&\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det(A_{[m],S})\det(B_{S,[m]}).\end{aligned}}}$

Доказательство

Существуют различные виды доказательств, которые могут быть даны для формулы Коши-Бине. Доказательство ниже основано только на формальных манипуляциях и избегает использования какой-либо конкретной интерпретации определителей, которые можно считать определенными формулой Лейбница . Используются только их полилинейность относительно строк и столбцов и их свойство чередования (исчезать при наличии равных строк или столбцов); в частности, свойство мультипликативности определителей для квадратных матриц не используется, а скорее устанавливается (случай n  =  m ). Доказательство справедливо для произвольных коммутативных колец коэффициентов.

Формулу можно доказать в два этапа:

1. используйте тот факт, что обе стороны являются полилинейными (точнее, 2 m -линейными) по строкам A и столбцам B , чтобы свести это к случаю, когда каждая строка A и каждый столбец B имеют только один ненулевой элемент, который равен 1.
2. обработайте этот случай с помощью функций [ m ] → [ n ], которые сопоставляют соответственно номера строк A с номерами столбцов их ненулевых записей, а номера столбцов B с номерами строк их ненулевых записей.

Для шага 1 обратите внимание, что для каждой строки A или столбца B и для каждой m -комбинации S значения det( AB ) и det( A _{[ m ], S} )det( B _{S ,[ m ]} ) действительно линейно зависят от строки или столбца. Для последнего это непосредственно следует из полилинейного свойства определителя; для первого необходимо дополнительно проверить, что взятие линейной комбинации для строки A или столбца B, оставляя остальное неизменным, влияет только на соответствующую строку или столбец произведения AB , и той же линейной комбинацией. Таким образом, можно вывести обе стороны формулы Коши-Бине по линейности для каждой строки A , а затем также и для каждого столбца B , записав каждую из строк и столбцов как линейную комбинацию стандартных базисных векторов. Результирующие множественные суммирования огромны, но они имеют одинаковую форму для обеих сторон: соответствующие члены включают один и тот же скалярный множитель (каждый является произведением записей A и B ), и эти члены отличаются только тем, что включают два различных выражения в терминах постоянных матриц описанного выше вида, которые должны быть равны согласно формуле Коши-Бине. Это обеспечивает сокращение первого шага.

Конкретно, множественные суммирования можно сгруппировать в два суммирования, одно по всем функциям f :[ m ] → [ n ], которое для каждого индекса строки A дает соответствующий индекс столбца, и одно по всем функциям g :[ m ] → [ n ], которое для каждого индекса столбца B дает соответствующий индекс строки. Матрицы, связанные с f и g, следующие:

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}}$

где " " — символ Кронекера , а формула Коши-Бине для доказательства была переписана как ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\det(L_{f}R_{g})\\[5pt]={}&\sum _{f:[m]\to [n]}\sum _{g:[m]\to [n]}p(f,g)\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),\end{aligned}}}$

где p ( f , g ) обозначает скалярный множитель . Осталось доказать формулу Коши-Бине для A  =  L _f и B  =  R _g , для всех f , g :[ m ] → [ n ]. ${\displaystyle \textstyle (\prod _{i=1}^{m}A_{i,f(i)})(\prod _{k=1}^{m}B_{g(k),k})}$

Для этого шага 2, если f не является инъективным, то L _f и L _f R _g оба имеют две идентичные строки, а если g не является инъективным, то R _g и L _f R _g оба имеют два идентичных столбца; в любом случае обе стороны тождества равны нулю. Предположим теперь, что и f, и g являются инъективными отображениями [ m ] → [ n ], множитель справа равен нулю, если только S  =  f ([ m ]), в то время как множитель равен нулю, если только S  =  g ([ m ]). Таким образом, если образы f и g различны, правая сторона имеет только нулевые члены, и левая сторона также равна нулю, поскольку L _f R _g имеет нулевую строку (для i с ). В оставшемся случае, когда образы f и g одинаковы, скажем, f ([ m ]) =  S  =  g ([ m ]), нам нужно доказать, что ${\displaystyle \det((L_{f})_{[m],S})}$ ${\displaystyle \det((R_{g})_{S,[m]})}$ ${\displaystyle f(i)\notin g([m])}$

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}).\,}$

Пусть h — единственная возрастающая биекция [ m ] →  S , а π , σ — перестановки [ m ] такие, что и ; тогда — матрица перестановки для π , — матрица перестановки для σ , а L _f R _g — матрица перестановки для , и поскольку определитель матрицы перестановки равен сигнатуре перестановки, тождество следует из того факта, что сигнатуры являются мультипликативными. ${\displaystyle f=h\circ \pi ^{-1}}$ ${\displaystyle g=h\circ \sigma }$ ${\displaystyle (L_{f})_{[m],S}}$ ${\displaystyle (R_{g})_{S,[m]}}$ ${\displaystyle \pi \circ \sigma }$

Использование полилинейности по отношению как к строкам матрицы A , так и к столбцам матрицы B в доказательстве не является обязательным; можно было бы использовать только одну из них, скажем, первую, и использовать то, что матричное произведение L _f B либо состоит из перестановки строк матрицы B _{f ([ m ]),[ m ]} (если f инъективно), либо имеет по крайней мере две равные строки.

Отношение к обобщенной дельте Кронекера

Как мы видели, формула Коши–Бине эквивалентна следующей:

${\displaystyle \det(L_{f}R_{g})=\sum _{S\in {\tbinom {[n]}{m}}}\det((L_{f})_{[m],S})\det((R_{g})_{S,[m]}),}$

где

${\displaystyle L_{f}={\bigl (}(\delta _{f(i),j})_{i\in [m],j\in [n]}{\bigr )}\quad {\text{and}}\quad R_{g}={\bigl (}(\delta _{j,g(k)})_{j\in [n],k\in [m]}{\bigr )}.}$

В терминах обобщенной дельты Кронекера можно вывести формулу, эквивалентную формуле Коши–Бине:

${\displaystyle \delta _{g(1)\dots g(m)}^{f(1)\dots f(m)}=\sum _{k:[m]\to [n] \atop k(1)<\dots <k(m)}\delta _{k(1)\dots k(m)}^{f(1)\dots f(m)}\delta _{g(1)\dots g(m)}^{k(1)\dots k(m)}.}$

Геометрические интерпретации

Если A — вещественная матрица размером m × n , то det( A  A ^T ) равен квадрату m -мерного объема параллелоэдра, натянутого в R ⁿ на m строк A . Формула Бине утверждает, что это равно сумме квадратов объемов, которые возникают, если параллелепипед ортогонально проецируется на m -мерные координатные плоскости (которых имеется ). ${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$

В случае m  = 1 параллелоэдр сводится к одному вектору, а его объем равен его длине. Вышеприведенное утверждение затем утверждает, что квадрат длины вектора равен сумме квадратов его координат; это действительно так по определению этой длины, которое основано на теореме Пифагора .

В тензорной алгебре , если задано пространство скалярного произведения размерности n , формула Коши–Бине определяет индуцированное скалярное произведение на внешней алгебре , а именно: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \wedge ^{m}V}$

${\displaystyle \langle v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{m},w_{1}\wedge \cdots \wedge w_{m}\rangle =\det \left(\langle v_{i},w_{j}\rangle \right)_{i,j=1}^{m}.}$

Обобщение

Формулу Коши–Бине можно расширить простым способом до общей формулы для миноров произведения двух матриц. Контекст для формулы дан в статье о минорах , но идея состоит в том, что и формула для обычного умножения матриц , и формула Коши–Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Предположим, что A — матрица размера m × n , B — матрица размера n × p , I — подмножество {1,..., m } с k элементами, а J — подмножество {1,..., p } с k элементами. Тогда

${\displaystyle [\mathbf {AB} ]_{I,J}=\sum _{K}[\mathbf {A} ]_{I,K}[\mathbf {B} ]_{K,J}\,}$

где сумма распространяется на все подмножества K из {1,..., n } с k элементами.

Непрерывная версия

Непрерывная версия формулы Коши–Бине, известная как тождество Андреефа — Гейне ^[2] или тождество Андреефа, обычно встречается в теории случайных матриц. ^[3] Она формулируется следующим образом: пусть и — две последовательности интегрируемых функций, поддерживаемые на . Тогда ${\displaystyle \left\{f_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle \left\{g_{j}(x)\right\}_{j=1}^{N}}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle \int _{I}\cdots \int _{I}\det \left[f_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}\det \left[g_{j}(x_{k})\right]_{j,k=1}^{N}dx_{1}\cdots dx_{N}=N!\,\det \left[\int _{I}f_{j}(x)g_{k}(x)dx\right]_{j,k=1}^{N}.}$

Доказательство

Пусть — группа перестановок порядка N, — знак перестановки, — «внутреннее произведение». ${\displaystyle S_{N}}$ ${\displaystyle |s|}$ ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{I}f(x)g(x)dx}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{left side}}&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\int _{I^{N}}\prod _{j}f_{s(j)}(x_{j})\prod _{k}g_{s'(k)}(x_{k})\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\int _{I^{N}}\prod _{j}f_{s(j)}(x_{j})g_{s'(j)}(x_{j})\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\prod _{j}\int _{I}f_{s(j)}(x_{j})g_{s'(j)}(x_{j})dx_{j}\\&=\sum _{s,s'\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'|}\prod _{j}\langle f_{s(j)},g_{s'(j)}\rangle \\&=\sum _{s'\in S_{N}}(-1)^{|s'|+|s'|}\sum _{s\in S_{N}}(-1)^{|s|+|s'^{-1}|}\prod _{j}\langle f_{(s\circ s'^{-1})(j)},g_{j}\rangle \\&=\sum _{s'\in S_{N}}\sum _{s\in S_{N}}(-1)^{|s\circ s'^{-1}|}\prod _{j}\langle f_{(s\circ s'^{-1})(j)},g_{j}\rangle \\&={\text{right side}}\\\end{aligned}}}$$

Форрестер ^[4] описывает, как восстановить обычную формулу Коши–Бине как дискретизацию вышеуказанного тождества.

Доказательство

Выбираем , выбираем , так что и то же самое справедливо для и . Теперь, подставляя и в тождество Андреева и упрощая обе стороны, получаем: Правая сторона равна , а левая сторона равна . ${\displaystyle t_{1}<\cdots <t_{m}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle f_{1},\ldots ,g_{n}}$ ${\displaystyle f_{j}(t_{k})=A_{j,k}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle f_{j}(x_{k})\sum _{l}\delta (x_{k}-t_{l})}$ ${\displaystyle g_{j}(x_{k})}$ $${\displaystyle \sum _{l_{1},\ldots ,l_{n}\in [1:m]}\det[f_{j}(t_{l_{k}})]\det[g_{j}(t_{l_{k}})]=n!\det \left[\sum _{l}f_{j}(t_{l})g_{k}(t_{l})\right]}$$ ${\displaystyle n!\det(AB)}$ ${\displaystyle n!\sum _{S\subset [1:m],|S|=n}\det(A_{[1:m],S})\det(B_{S,[1:m]})}$

Ссылки

1. Тао, Теренс (2012). Темы теории случайных матриц (PDF) . Аспирантура по математике. Том 132. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 253. doi : 10.1090/gsm/132. ISBN 978-0-8218-7430-1.
2. К. Андреиф, мем. де ла Сок. наук. де Бордо 2, 1 (1883)
3. Mehta, ML (2004). Случайные матрицы (3-е изд.). Амстердам: Elsevier/Academic Press. ISBN 0-12-088409-7.
4. Форрестер, Питер Дж. (2018). «Знакомьтесь, Андреев, Бордо, 1886 г., и Андреев, Харьков, 1882–83». arXiv : 1806.10411 [математика-ph].

• Джоэл Г. Бройда и С. Джилл Уильямсон (1989) Всестороннее введение в линейную алгебру , §4.6 Теорема Коши-Бине, стр. 208–14, Addison-Wesley ISBN 0-201-50065-5 . 
• Джин Хо Квак и Сонпё Хонг (2004) Линейная алгебра , 2-е издание, пример 2.15, формула Бине-Коши, стр. 66,7, Биркхойзер ISBN 0-8176-4294-3 . 
• И. Р. Шафаревич и А. О. Ремизов (2012) Линейная алгебра и геометрия , §2.9 (стр. 68) и §10.5 (стр. 377), Springer ISBN 978-3-642-30993-9 . 
• М. Л. Мехта (2004) Случайные матрицы , 3-е изд., Elsevier ISBN 9780120884094 .