Формулы Фрииса для шума

Формула Фрииса или формула Фрииса (иногда формула Фрииса ), названная в честь датско-американского инженера-электрика Харальда Т. Фрииса , представляет собой одну из двух формул, используемых в телекоммуникационной технике для расчета отношения сигнал/шум многокаскадного усилителя . Один из них связан с коэффициентом шума , а другой — с шумовой температурой .

Формула Фрииса для коэффициента шума

Формула Фрииса используется для расчета общего коэффициента шума каскада каскадов, каждый из которых имеет свой собственный коэффициент шума и коэффициент усиления мощности (при условии, что импедансы на каждом каскаде согласованы). Общий коэффициент шума затем можно использовать для расчета общего коэффициента шума . Общий коэффициент шума определяется как

${\displaystyle F_{\text{total}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\cdots G_{n-1}}}}$

где и – коэффициент шума и располагаемый коэффициент усиления мощности соответственно i -го каскада, n – количество каскадов. Обе величины выражаются в соотношениях, а не в децибелах. ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle G_{i}}$

Последствия

Важным следствием этой формулы является то, что общий коэффициент шума радиоприемника определяется в первую очередь коэффициентом шума его первого усилительного каскада. Последующие этапы оказывают уменьшающееся влияние на соотношение сигнал/шум . По этой причине усилитель первой ступени в приемнике часто называют малошумящим усилителем (МШУ). Общий «коэффициент» шума приемника тогда равен

${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }=F_{\mathrm {LNA} }+{\frac {F_{\mathrm {rest} }-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}}$

где – общий коэффициент шума последующих ступеней. Согласно уравнению, общий коэффициент шума преобладает над коэффициентом шума МШУ, если усиление достаточно велико. Результирующий коэффициент шума, выраженный в дБ, равен: ${\displaystyle F_{\mathrm {rest} }}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {receiver} }}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {LNA} }}$

${\displaystyle \mathrm {NF} _{\mathrm {receiver} }=10\log(F_{\mathrm {receiver} })}$

Вывод

Для вывода формулы Фрииса для случая трех каскадных усилителей ( ) рассмотрим изображение ниже. ${\displaystyle n=3}$

Источник выдает сигнал мощности и шум мощности . Следовательно, отношение сигнал/шум на входе приемной цепи равно . Сигнал мощности усиливается всеми тремя усилителями. Таким образом, мощность сигнала на выходе третьего усилителя равна . Мощность шума на выходе цепочки усилителя состоит из четырех частей: ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle {\text{SNR}}_{i}=S_{i}/N_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle S_{o}=S_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$

• Усиленный шум источника ( ) ${\displaystyle N_{i}\cdot G_{1}G_{2}G_{3}}$
• Выходной отраженный шум первого усилителя, усиленный вторым и третьим усилителями ( ) ${\displaystyle N_{a1}}$ ${\displaystyle N_{a1}\cdot G_{2}G_{3}}$
• Выходной отраженный шум второго усилителя, усиленный третьим усилителем ( ) ${\displaystyle N_{a2}}$ ${\displaystyle N_{a2}\cdot G_{3}}$
• Выходной отраженный шум третьего усилителя ${\displaystyle N_{a3}}$

Поэтому полная мощность шума на выходе цепочки усилителей равна

${\displaystyle N_{o}=N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}$

а отношение сигнал/шум на выходе цепочки усилителей равно

${\displaystyle {\text{SNR}}_{o}={\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}$.

Общий коэффициент шума теперь можно рассчитать как частное входного и выходного SNR:

${\displaystyle F_{\text{total}}={\frac {{\text{SNR}}_{i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}}$

Используя определения коэффициентов шума усилителей, получаем конечный результат:

${\displaystyle F_{\text{total}}=\underbrace {1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{={\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}} _{={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}$.

Общий вывод для каскада усилителей: ${\displaystyle n}$

Общий коэффициент шума выражается как отношение отношения сигнал/шум на входе каскада к отношению сигнал/шум на выходе каскада : ${\displaystyle \mathrm {SNR_{i}} ={\frac {S_{\mathrm {i} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$ ${\displaystyle \mathrm {SNR_{o}} ={\frac {S_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {o} }}}}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {\mathrm {SNR_{i}} }{\mathrm {SNR_{o}} }}={\frac {S_{\mathrm {i} }}{S_{\mathrm {o} }}}{\frac {N_{\mathrm {o} }}{N_{\mathrm {i} }}}}$.

Суммарная входная мощность -го усилителя в каскаде (шум и сигнал) равна . Он усиливается в соответствии с коэффициентом усиления усилителя . Кроме того, усилитель добавляет шум с мощностью . Таким образом, выходная мощность -го усилителя равна . Для всего каскада получаем полную выходную мощность ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle S_{k-1}+N_{k-1}}$ ${\displaystyle G_{k}}$ ${\displaystyle N_{\mathrm {a} ,k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{k}\left(S_{k-1}+N_{k-1}\right)+N_{\mathrm {a} ,k}}$

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }+N_{\mathrm {o} }=\left(\left(\left(\left(S_{\mathrm {i} }+N_{\mathrm {i} }\right)G_{1}+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a} ,3}\right)G_{4}+\dots }$

Таким образом, мощность выходного сигнала переписывается как

${\displaystyle S_{\mathrm {o} }=S_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}$

тогда как мощность выходного шума можно записать как

${\displaystyle N_{\mathrm {o} }=N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}$

Подстановка этих результатов в общий коэффициент шума приводит к

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }={\frac {N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\sum _{k=1}^{n-1}N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{n}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

${\displaystyle =1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,1}}{N_{\mathrm {i} }G_{1}}}+\sum _{k=2}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

Теперь, используя в качестве коэффициента шума отдельного -го усилителя, получаем ${\displaystyle F_{k}=1+{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i} }G_{k}}}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle F_{\mathrm {total} }=F_{1}+\sum _{k=2}^{n}{\frac {F_{k}-1}{\prod _{l=1}^{k-1}G_{l}}}}$

${\displaystyle =F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\dots +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2}\dots G_{n-1}}}}$

Формула Фрииса для шумовой температуры

Формулу Фрииса можно эквивалентно выразить через шумовую температуру :

${\displaystyle T_{\text{eq}}=T_{1}+{\frac {T_{2}}{G_{1}}}+{\frac {T_{3}}{G_{1}G_{2}}}+\cdots }$

Опубликованные ссылки

• Дж. Д. Краус, Радиоастрономия , МакГроу-Хилл, 1966.

Интернет-ссылки

• RF Cafe [1] Каскадный коэффициент шума.
• Энциклопедия микроволнового оборудования [2]. Архивировано 17 мая 2013 г. в журнале каскадного анализа Wayback Machine .
• Биография Фрииса в IEEE [3]