Критерий Чебычева–Грюблера–Куцбаха

Формула подвижности кинематической цепи

Критерий Чебычева -Грюблера-Куцбаха определяет число степеней свободы кинематической цепи , то есть сцепления твердых тел посредством механических связей. ^[1] Эти устройства также называются связями .

Критерий Кутцбаха также называют формулой подвижности , поскольку он вычисляет количество параметров, определяющих конфигурацию рычажного механизма, исходя из количества звеньев и соединений, а также степени свободы в каждом суставе.

Были разработаны интересные и полезные связи, которые нарушают формулу мобильности, используя специальные геометрические особенности и размеры, чтобы обеспечить большую мобильность, чем предсказывает эта формула. Эти устройства называются сверхограниченными механизмами .

Формула мобильности

Формула подвижности подсчитывает количество параметров, определяющих положения набора твердых тел, а затем уменьшает это число на ограничения, налагаемые соединениями, соединяющими эти тела. ^{[2] [3]}

Представьте себе сферическую чайку. Отдельное неограниченное тело, парящее в 3-мерном пространстве, имеет 6 степеней свободы: 3 поступательные (скажем, x , y , z ); и 3 вращательных (скажем, крен, тангаж, рыскание).

Так система несвязанных твердых тел, движущихся в пространстве (стая парящих чаек), имеет степени свободы, измеряемые относительно неподвижной системы координат (системы координат). Неподвижный кадр можно выбрать произвольно (наблюдатель в любом месте пляжа). Причем рамка может быть даже локальной или субъективной: с точки зрения одной из чаек мир движется вокруг нее, а она остается неподвижной. Таким образом, этот кадр можно включить в подсчет тел (вид на стайку чаек с выбранной чайки А — возможно, А стоит на пляже, возможно, А летит, но смотрит на стаю с фиксированной локальной точки зрения А) , и, таким образом, мобильность не зависит от выбора канала, который будет формировать фиксированный кадр. Тогда степень свободы этой системы равна где – число движущихся тел плюс неподвижное тело. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 6n}$ ${\displaystyle M=6(N-1),}$ ${\displaystyle N=n+1}$

Суставы, соединяющие тела в этой системе, лишают степеней свободы и уменьшают подвижность. В частности, петли и ползунки налагают по пять ограничений и, следовательно, удаляют пять степеней свободы. Удобно определить количество ограничений , которые налагает соединение, с точки зрения свободы соединения, где в случае шарнира или ползунка, которые имеют одну степень свободы, соединения имеют и, следовательно, ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle c=6-f.}$ ${\displaystyle f=1}$ ${\displaystyle c=6-1=5.}$

В результате подвижность системы, образованной из движущихся звеньев и соединений, каждый из которых обладает свободой, определяется выражением ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle i=1,...,j,}$

${\displaystyle M=6n-\sum _{i=1}^{j}\ (6-f_{i})=6(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}.}$

Напомним, что это включает в себя фиксированную ссылку. ${\displaystyle N}$

Есть два важных особых случая: (i) простая открытая цепь и (ii) простая закрытая цепь. Простая открытая цепь состоит из движущихся звеньев, соединенных встык между собой шарнирами, один конец которых соединен с заземляющим звеном. Таким образом, в этом случае и подвижность цепи равна ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle N=j+1}$

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}}$

В простой замкнутой цепи подвижные звенья соединяются встык с помощью шарниров, так что два конца соединяются с заземляющим звеном, образуя петлю. В этом случае имеем и подвижность цепи равна ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle N=j}$

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-6}$

Примером простой открытой цепи является серийный робот-манипулятор. Эти роботизированные системы состоят из ряда звеньев, соединенных шестью вращающимися или призматическими шарнирами с одной степенью свободы, поэтому система имеет шесть степеней свободы.

Примером простой замкнутой цепи является пространственная четырехзвенная связь РССР. Сумма свобод этих шарниров равна восьми, поэтому подвижность звена равна двум, где одна из степеней свободы представляет собой вращение муфты вокруг линии, соединяющей два S-образных шарнира.

Плоское и сферическое движение

Обычной практикой является проектирование системы рычагов таким образом, чтобы движение всех тел лежало в параллельных плоскостях, образуя так называемую плоскую связь . Также возможно построить систему связей так, что все тела движутся по концентрическим сферам, образуя сферическую связь . В обоих случаях степени свободы звеньев в каждой системе теперь равны трем, а не шести, а ограничения, налагаемые соединениями, теперь равны c  = 3 −  f .

В этом случае формула мобильности имеет вид

${\displaystyle M=3(N-1-j)+\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

и особые случаи становятся

• плоская или сферическая простая открытая цепь,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i},}$

• плоская или сферическая простая замкнутая цепь,

${\displaystyle M=\sum _{i=1}^{j}\ f_{i}-3.}$

Примером плоской простой замкнутой цепи является плоская четырехзвенная рычажная система , которая представляет собой четырехзвенную петлю с четырьмя шарнирами по одной степени свободы и поэтому имеет подвижность  М  = 1.

Смотрите также

• Чрезмерно ограниченный механизм
• Четырехзвенная связь
• Соединение (механическое)
• Теория Бурместера
• Машина (механическая)
• Механическая система

Примечания и ссылки

1. Хорхе Анхелес, Клиффорд Трусделл (1989). Рациональная кинематика. Спрингер. п. Глава 6, с. 78 и след. ISBN 978-0-387-96813-1.
2. Дж. Дж. Уикер, Г. Р. Пеннок и Дж. Э. Шигли, 2003, Теория машин и механизмов, Oxford University Press, Нью-Йорк.
3. Дж. М. Маккарти и Г. С. Со, Геометрический дизайн связей, 2-е издание, Springer, 2010 г.

Внешние ссылки

• Основная кинематика твердых тел.
• Критерий Чебычева–Грюблера–Куцбаха - калькулятор формулы подвижности
• Критерий Чебычева-Грюблера-Куцбаха для расчета подвижности многоконтурных механизмов, новый взгляд на теорию линейных преобразований