Формула Якоби

Формула производной определителя матрицы

В матричном исчислении формула Якоби выражает производную определителя матрицы A через сопряженную с A и производную A. [ ¹ ]

Если A — дифференцируемое отображение действительных чисел в матрицы n  ×  n , то

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)=\left(\det A(t)\right)\cdot \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\cdot \,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)}$

где tr( X ) — след матрицы X , а — ее сопряженная матрица . (Последнее равенство справедливо только в том случае, если A ( t ) обратимо .) ${\displaystyle \operatorname {adj} (X)}$

В качестве особого случая,

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\operatorname {adj} (A)_{ji}.}$

Эквивалентно, если dA обозначает дифференциал A , общая формула имеет вид

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA)=\det(A)\operatorname {tr} \left(A^{-1}dA\right)}$

Формула названа в честь математика Карла Густава Якоба Якоби .

Вывод

С помощью матричного вычисления

Теорема. (Формула Якоби) Для любого дифференцируемого отображения A действительных чисел в матрицы n  ×  n ,

${\displaystyle d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).}$

Доказательство. Формула Лапласа для определителя матрицы A может быть записана как

${\displaystyle \det(A)=\sum _{j}A_{ij}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

Обратите внимание, что суммирование выполняется по некоторой произвольной строке i матрицы.

Определитель A можно рассматривать как функцию элементов A :

${\displaystyle \det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})}$

так что по правилу цепочки его дифференциал равен

${\displaystyle d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}.}$

Это суммирование выполняется по всем n × n элементам матрицы.

Чтобы найти ∂ F /∂ A _{ij ,} учтите, что в правой части формулы Лапласа индекс i может быть выбран по желанию. (В целях оптимизации вычислений: любой другой выбор в конечном итоге даст тот же результат, но это может быть намного сложнее). В частности, его можно выбрать так, чтобы он соответствовал первому индексу ∂ / ∂ A _ij :

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}}$

Таким образом, по правилу произведения,

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

Теперь, если элемент матрицы A _ij и сомножитель adj ^T ( A ) _ik элемента A _ik лежат в одной строке (или столбце), то сомножитель не будет функцией A _ij , поскольку сомножитель A _ik выражается через элементы, не находящиеся в его собственной строке (или столбце). Таким образом,

${\displaystyle {\partial \operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0,}$

так

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}.}$

Все элементы A независимы друг от друга, т.е.

${\displaystyle {\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk},}$

где δ — это символ Кронекера , поэтому

${\displaystyle {\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}.}$

Поэтому,

${\displaystyle d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\operatorname {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}=\sum _{j}\sum _{i}\operatorname {adj} (A)_{ji}\,dA_{ij}=\sum _{j}(\operatorname {adj} (A)\,dA)_{jj}=\operatorname {tr} (\operatorname {adj} (A)\,dA).\ \square }$

Через цепочку правил

Лемма 1. , где — дифференциал . ${\displaystyle \det '(I)=\mathrm {tr} }$ ${\displaystyle \det '}$ ${\displaystyle \det }$

Это уравнение означает, что дифференциал , вычисленный в единичной матрице, равен следу. Дифференциал — это линейный оператор, который отображает матрицу n × n в действительное число. ${\displaystyle \det }$ ${\displaystyle \det '(I)}$

Доказательство. Используя определение производной по направлению вместе с одним из ее основных свойств для дифференцируемых функций, имеем

${\displaystyle \det '(I)(T)=\nabla _{T}\det(I)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\det(I+\varepsilon T)-\det I}{\varepsilon }}}$

${\displaystyle \det(I+\varepsilon T)}$является многочленом порядка n . Он тесно связан с характеристическим многочленом . Постоянный член в этом многочлене (член с ) равен 1, тогда как линейный член в равен . ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varepsilon =0}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathrm {tr} \ T}$

Лемма 2. Для обратимой матрицы A имеем: . ${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\;\mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

Доказательство. Рассмотрим следующую функцию X :

${\displaystyle \det X=\det(AA^{-1}X)=\det(A)\ \det(A^{-1}X)}$

Вычислим дифференциал и оценим его при , используя Лемму 1, уравнение выше и цепочку правил: ${\displaystyle \det X}$ ${\displaystyle X=A}$

${\displaystyle \det '(A)(T)=\det A\ \det '(I)(A^{-1}T)=\det A\ \mathrm {tr} (A^{-1}T)}$

Теорема. (Формула Якоби) ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A{\frac {dA}{dt}}\right)}$

Доказательство. Если обратим, то по лемме 2, причем ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T=dA/dt}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A=\det A\;\mathrm {tr} \left(A^{-1}{\frac {dA}{dt}}\right)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} \ A\;{\frac {dA}{dt}}\right)}$

используя уравнение, связывающее сопряженное с . Теперь формула верна для всех матриц, поскольку множество обратимых линейных матриц плотно в пространстве матриц. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{-1}}$

Через диагонализацию

Обе части формулы Якоби являются полиномами от матричных коэффициентов A и A' . Поэтому достаточно проверить полиномиальное тождество на плотном подмножестве, где собственные значения A различны и не равны нулю.

Если A разлагается дифференцируемо как , то ${\displaystyle A=BC}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} ((BC)^{-1}(BC)')=\mathrm {tr} (B^{-1}B')+\mathrm {tr} (C^{-1}C').}$

В частности, если L обратим, то и ${\displaystyle I=L^{-1}L}$

${\displaystyle 0=\mathrm {tr} (I^{-1}I')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (L^{-1}L').}$

Поскольку A имеет различные собственные значения, существует дифференцируемая комплексная обратимая матрица L такая, что и D является диагональной. Тогда ${\displaystyle A=L^{-1}DL}$

${\displaystyle \mathrm {tr} (A^{-1}A')=\mathrm {tr} (L(L^{-1})')+\mathrm {tr} (D^{-1}D')+\mathrm {tr} (L^{-1}L')=\mathrm {tr} (D^{-1}D').}$

Пусть , — собственные значения матрицы A. Тогда ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,n}$

${\displaystyle {\frac {\det(A)'}{\det(A)}}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}'/\lambda _{i}=\mathrm {tr} (D^{-1}D')=\mathrm {tr} (A^{-1}A'),}$

что является формулой Якоби для матриц A с различными ненулевыми собственными значениями.

Следствие

Ниже приведено полезное соотношение, связывающее след с определителем соответствующей матричной экспоненты :

${\displaystyle \det e^{B}=e^{\operatorname {tr} \left(B\right)}}$

Это утверждение очевидно для диагональных матриц, и далее следует доказательство общего утверждения.

Для любой обратимой матрицы в предыдущем разделе «С помощью цепного правила» мы показали, что ${\displaystyle A(t)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\;\operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

Учитывая это уравнение, получаем: ${\displaystyle A(t)=\exp(tB)}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det e^{tB}=\operatorname {tr} (B)\det e^{tB}}$

Желаемый результат получается как решение этого обыкновенного дифференциального уравнения.

Приложения

Несколько форм формулы лежат в основе алгоритма Фаддеева–Леверье для вычисления характеристического полинома и явных приложений теоремы Кэли–Гамильтона . Например, исходя из следующего уравнения, которое было доказано выше:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det A(t)=\det A(t)\ \operatorname {tr} \left(A(t)^{-1}\,{\frac {d}{dt}}A(t)\right)}$

и используя , получаем: ${\displaystyle A(t)=tI-B}$

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\det(tI-B)=\det(tI-B)\operatorname {tr} [(tI-B)^{-1}]=\operatorname {tr} [\operatorname {adj} (tI-B)]}$

где adj обозначает присоединенную матрицу .

Замечания

1. Magnus & Neudecker (1999, стр. 149–150), Часть третья, Раздел 8.3

Ссылки

• Магнус, Ян Р.; Нойдекер, Хайнц (1999). Матричное дифференциальное исчисление с приложениями в статистике и эконометрике (пересмотренное издание). Wiley. ISBN 0-471-98633-X.
• Беллман, Ричард (1997). Введение в матричный анализ. SIAM. ISBN 0-89871-399-4.