Формула Муавра

Теорема: (cos x + i sin x)^n = cos nx + i sin nx

В математике формула Муавра (также известная как теорема Муавра и тождество Муавра ) утверждает, что для любого действительного числа x и целого числа n имеет место случай, когда i — мнимая единица ( i ² = −1 ). Формула названа в честь Абрахама де Муавра , хотя он никогда не утверждал этого в своих работах. ^[1] Выражение cos x + i sin x иногда сокращается до cis x . $${\displaystyle {\big (}\cos x+i\sin x{\big )}^{n}=\cos nx+i\sin nx,}$$

Формула важна, поскольку она связывает комплексные числа и тригонометрию . Расширяя левую часть и затем сравнивая действительную и мнимую части в предположении, что x является действительным, можно вывести полезные выражения для cos nx и sin nx через cos x и sin x .

В том виде, в котором она написана, формула недействительна для нецелых степеней n . Однако существуют обобщения этой формулы, действительные для других показателей. Их можно использовать для получения явных выражений для корней n -й степени из единицы , то есть комплексных чисел z таких, что z ⁿ = 1 .

Используя стандартные расширения функций синуса и косинуса для комплексных чисел, формула верна даже тогда, когда x — произвольное комплексное число.

Пример

Для и формула Муавра утверждает, что или, что эквивалентно, что В этом примере легко проверить справедливость уравнения, умножив левую часть. ${\displaystyle x=30^{\circ }}$ ${\displaystyle n=2}$ $${\displaystyle \left(\cos(30^{\circ })+i\sin(30^{\circ })\right)^{2}=\cos(2\cdot 30^{\circ })+i\sin(2\cdot 30^{\circ }),}$$ $${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}+{\frac {i}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}+{\frac {i{\sqrt {3}}}{2}}.}$$

Связь с формулой Эйлера

Формула Муавра является предшественницей формулы Эйлера, в которой x выражается в радианах, а не в градусах , и устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией. $${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

Формулу Муавра можно вывести, используя формулу Эйлера и показательный закон для целых степеней.

${\displaystyle \left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx},}$

поскольку формула Эйлера подразумевает, что левая часть равна, а правая часть равна ${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{n}}$ ${\displaystyle \cos nx+i\sin nx.}$

Доказательство по индукции

Истинность теоремы Муавра может быть установлена ​​с помощью математической индукции для натуральных чисел и распространена на все целые числа оттуда. Для целого числа n вызовем следующее утверждение S( n ) :

${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx.}$

Для n > 0 мы действуем по математической индукции . S(1) очевидно истинно. Для нашей гипотезы мы предполагаем, что S( k ) истинно для некоторого натурального k . То есть мы предполагаем

${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos kx+i\sin kx.}$

Теперь рассмотрим S( k + 1) :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left(\cos kx+i\sin kx\right)\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\text{by the induction hypothesis}}\\&=\cos kx\cos x-\sin kx\sin x+i\left(\cos kx\sin x+\sin kx\cos x\right)\\&=\cos((k+1)x)+i\sin((k+1)x)&&\qquad {\text{by the trigonometric identities}}\end{alignedat}}}$

См. тождества суммы и разности углов .

Мы выводим, что S( k ) подразумевает S( k + 1) . По принципу математической индукции следует, что результат верен для всех натуральных чисел. Теперь S(0) очевидно истинен, поскольку cos(0 x ) + i sin(0 x ) = 1 + 0 i = 1 . Наконец, для случаев отрицательных целых чисел мы рассматриваем показатель степени − n для натурального n .

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{-n}&={\big (}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}{\big )}^{-1}\\&=\left(\cos nx+i\sin nx\right)^{-1}\\&=\cos nx-i\sin nx\qquad \qquad (*)\\&=\cos(-nx)+i\sin(-nx).\\\end{aligned}}}$

Уравнение (*) является результатом тождества

${\displaystyle z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}},}$

для z = cos nx + i sin nx . Следовательно, S( n ) справедливо для всех целых чисел n .

Формулы для косинуса и синуса по отдельности

Для равенства комплексных чисел необходимо иметь равенство как действительных частей , так и мнимых частей обоих членов уравнения. Если x , а следовательно, также cos x и sin x , являются действительными числами , то тождество этих частей можно записать с использованием биномиальных коэффициентов . Эту формулу дал французский математик XVI века Франсуа Виет :

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\sin {\frac {(n-k)\pi }{2}}\\\cos nx&=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}(\cos x)^{k}\,(\sin x)^{n-k}\,\cos {\frac {(n-k)\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

В каждом из этих двух уравнений конечная тригонометрическая функция равна единице или минус единице или нулю, таким образом удаляя половину элементов в каждой из сумм. Эти уравнения фактически справедливы даже для комплексных значений x , поскольку обе стороны являются целыми (то есть голоморфными на всей комплексной плоскости ) функциями x , и две такие функции, которые совпадают на действительной оси, обязательно совпадают везде. Вот конкретные примеры этих уравнений для n = 2 и n = 3 :

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\cos 2x&=\left(\cos x\right)^{2}+\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&2\left(\cos x\right)^{2}-1\\\sin 2x&=2\left(\sin x\right)\left(\cos x\right)&&\\\cos 3x&=\left(\cos x\right)^{3}+3\cos x\left(\left(\cos x\right)^{2}-1\right)&{}={}&4\left(\cos x\right)^{3}-3\cos x\\\sin 3x&=3\left(\cos x\right)^{2}\left(\sin x\right)-\left(\sin x\right)^{3}&{}={}&3\sin x-4\left(\sin x\right)^{3}.\end{alignedat}}}$

Правая часть формулы для cos nx на самом деле представляет собой значение T _n (cos x ) полинома Чебышева T _n при cos x .

Неудача для нецелых степеней и обобщение

Формула Муавра не верна для нецелых степеней. Вывод формулы Муавра выше включает комплексное число, возведенное в целую степень n . Если комплексное число возводится в нецелую степень, результат будет многозначным (см. несостоятельность тождеств степени и логарифма ).

Корни комплексных чисел

Небольшое расширение формулы Муавра, приведенное в этой статье, можно использовать для нахождения корней n - й степени комплексного числа для ненулевого целого числа n . (Это эквивалентно возведению в степень 1/ n ).

Если z — комплексное число, записанное в полярной форме как

${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right),}$

тогда корни n-й степени z определяются как

${\displaystyle r^{\frac {1}{n}}\left(\cos {\frac {x+2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {x+2\pi k}{n}}\right)}$

где k изменяется в пределах от 0 до | n | − 1 .

Эту формулу также иногда называют формулой Муавра. ^[2]

Комплексные числа, возведенные в произвольную степень

В общем случае, если (в полярной форме) и w — произвольные комплексные числа, то множество возможных значений равно (обратите внимание, что если w — рациональное число , равное p / q в наименьших числах, то это множество будет иметь ровно q различных значений, а не бесконечно много. В частности, если w — целое число, то множество будет иметь ровно одно значение, как обсуждалось ранее.) Напротив, формула Муавра дает что является просто единственным значением из этого множества, соответствующим k = 0 . ${\displaystyle z=r\left(\cos x+i\sin x\right)}$ $${\displaystyle z^{w}=r^{w}\left(\cos x+i\sin x\right)^{w}=\lbrace r^{w}\cos(xw+2\pi kw)+ir^{w}\sin(xw+2\pi kw)|k\in \mathbb {Z} \rbrace \,.}$$ $${\displaystyle r^{w}(\cos xw+i\sin xw)\,,}$$

Аналоги в других условиях

Гиперболическая тригонометрия

Поскольку cosh x + sinh x = e ^x , аналог формулы Муавра также применим к гиперболической тригонометрии . Для всех целых чисел n ,

${\displaystyle (\cosh x+\sinh x)^{n}=\cosh nx+\sinh nx.}$

Если n — рациональное число (но не обязательно целое), то cosh nx + sinh nx будет одним из значений (cosh x + sinh x ) ⁿ . ^[3]

Расширение до комплексных чисел

Для любого целого числа n формула верна для любого комплексного числа ${\displaystyle z=x+iy}$

${\displaystyle (\cos z+i\sin z)^{n}=\cos {nz}+i\sin {nz}.}$

где

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos z=\cos(x+iy)&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\,,\\\sin z=\sin(x+iy)&=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y\,.\end{aligned}}}$

Кватернионы

Для нахождения корней кватерниона существует аналогичная форма формулы Муавра. Кватернион в форме

${\displaystyle q=d+a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }$

можно представить в виде

${\displaystyle q=k(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}0\leq \theta <2\pi .}$

В этом представлении

${\displaystyle k={\sqrt {d^{2}+a^{2}+b^{2}+c^{2}}},}$

а тригонометрические функции определяются как

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {d}{k}}\quad {\mbox{and}}\quad \sin \theta =\pm {\frac {\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{k}}.}$

В случае, если a ² + b ² + c ² ≠ 0 ,

${\displaystyle \varepsilon =\pm {\frac {a\mathbf {\hat {i}} +b\mathbf {\hat {j}} +c\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}},}$

то есть единичный вектор. Это приводит к вариации формулы Муавра:

${\displaystyle q^{n}=k^{n}(\cos n\theta +\varepsilon \sin n\theta ).}$^[4]

Пример

Чтобы найти кубические корни

${\displaystyle Q=1+\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} ,}$

запишите кватернион в виде

${\displaystyle Q=2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+\varepsilon \sin {\frac {\pi }{3}}\right)\qquad {\mbox{where }}\varepsilon ={\frac {\mathbf {\hat {i}} +\mathbf {\hat {j}} +\mathbf {\hat {k}} }{\sqrt {3}}}.}$

Тогда кубические корни имеют вид:

${\displaystyle {\sqrt[{3}]{Q}}={\sqrt[{3}]{2}}(\cos \theta +\varepsilon \sin \theta )\qquad {\mbox{for }}\theta ={\frac {\pi }{9}},{\frac {7\pi }{9}},{\frac {13\pi }{9}}.}$

Матрицы 2 × 2

С матрицами, когда n — целое число. Это прямое следствие изоморфизма между матрицами типа и комплексной плоскостью . ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}\cos n\phi &-\sin n\phi \\\sin n\phi &\cos n\phi \end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}}$

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон; Стиган, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 74. ISBN 0-486-61272-4..

1. Лиал, Маргарет Л.; Хорнсби, Джон; Шнайдер, Дэвид И.; Кэлли Дж., Дэниелс (2008). Колледжская алгебра и тригонометрия (4-е изд.). Бостон: Pearson/Addison Wesley. стр. 792. ISBN 9780321497444.
2. "Формула Де Муавра", Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
3. Mukhopadhyay, Utpal (август 2006 г.). «Некоторые интересные особенности гиперболических функций». Resonance . 11 (8): 81–85. doi :10.1007/BF02855783. S2CID  119753430.
4. Бранд, Луис (октябрь 1942 г.). «Корни кватерниона». The American Mathematical Monthly . 49 (8): 519–520. doi :10.2307/2302858. JSTOR  2302858.

Внешние ссылки

• Теорема Муавра для тригонометрических тождеств Майкла Краучера, Wolfram Demonstrations Project .

Послушайте эту статью ( 18 минут )

Этот аудиофайл был создан на основе редакции этой статьи от 5 июня 2021 года и не отражает последующие правки. (2021-06-05)

( Аудиопомощь  · Больше устных статей )