Формула характера Вейля

Теория представлений

В математике формула характера Вейля в теории представлений описывает характеры неприводимых представлений компактных групп Ли через их старшие веса . ^[1] Это доказал Герман Вейль  (1925, 1926a, 1926b). Существует близкая формула для определения характера неприводимого представления полупростой алгебры Ли. ^[2] В подходе Вейля к теории представлений связных компактных групп Ли доказательство формулы характера является ключевым шагом в доказательстве того, что каждый доминирующий целочисленный элемент на самом деле возникает как старший вес некоторого неприводимого представления. ^[3] Важными следствиями формулы характера являются формула размерности Вейля и формула кратности Костанта .

По определению, характер представления G есть след , как функции элемента группы . Все неприводимые представления в этом случае конечномерны (это часть теоремы Питера – Вейля ); поэтому понятие следа является обычным в линейной алгебре. Знание характера дает много информации о себе . ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi (g)}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

Формула Вейля — это замкнутая формула для характера в терминах других объектов, построенных из G и ее алгебры Ли . ${\displaystyle \chi }$

Формулировка формулы характера Вейля

Формула характера может быть выражена через представления комплексных полупростых алгебр Ли или через (по существу эквивалентную) теорию представлений компактных групп Ли .

Комплексные полупростые алгебры Ли

Пусть – неприводимое конечномерное представление комплексной полупростой алгебры Ли . Предположим, что это подалгебра Картана в . Тогда характер функции определяется формулой ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }:{\mathfrak {h}}\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\operatorname {tr} (e^{\pi (H)}).}$

Значение символа at — это размерность . Из элементарных соображений характер можно вычислить как ${\displaystyle H=0}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)=\sum _{\mu }m_{\mu }e^{\mu (H)}}$,

где сумма колеблется по всем весам и где кратность . (Предыдущее выражение иногда воспринимается как определение символа.) ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

Формула символов гласит ^[4] , которую также можно вычислить как ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)}$

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}}}$

где

• ${\displaystyle W}$– группа Вейля ;
• ${\displaystyle \Delta ^{+}}$– множество положительных корней корневой системы ; ${\displaystyle \Delta }$
• ${\displaystyle \rho }$— полусумма положительных корней, часто называемая вектором Вейля ;
• ${\displaystyle \lambda }$— старший вес неприводимого представления ; ${\displaystyle V}$
• ${\displaystyle \varepsilon (w)}$является определителем действия на подалгебре Картана . Это равно , где длина элемента группы Вейля , определяемая как минимальное количество отражений относительно простых корней, таких что равно произведению этих отражений. ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle (-1)^{\ell (w)}}$ ${\displaystyle \ell (w)}$ ${\displaystyle w}$

Обсуждение

Используя формулу знаменателя Вейля (описанную ниже), формулу характера можно переписать как

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H)={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}}$,

или, что то же самое,

${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }(H){\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}=\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}.}$

Персонаж сам по себе представляет собой большую сумму экспонент. В этом последнем выражении мы затем умножаем символ на попеременную сумму экспонент, что, по-видимому, приведет к еще большей сумме экспонент. Удивительная часть формулы символов заключается в том, что когда мы вычисляем это произведение, на самом деле остается лишь небольшое количество членов. Гораздо больше членов встречаются хотя бы один раз в произведении символа и знаменателя Вейля, но большинство из этих членов сокращаются до нуля. ^[5] Единственные термины, которые выживают, - это термины, которые встречаются только один раз, а именно (который получается путем взятия наивысшего веса из и самого высокого веса из знаменателя Вейля) и вещи на орбите группы Вейля . ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} _{\pi }}$ ${\displaystyle e^{(\lambda +\rho )(H)}}$

Компактные группы Ли

Пусть – компактная связная группа Ли и пусть – максимальный тор в . Пусть – неприводимое представление . Затем мы определяем характер функции ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K.}$

Легко увидеть, что характер является функцией класса на, и теорема Питера-Вейля утверждает, что характеры образуют ортонормированный базис для пространства интегрируемых с квадратом функций класса на . ^[6] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

Поскольку это функция класса, она определяется ее ограничением на . Теперь, поскольку в алгебре Ли мы имеем ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))=\operatorname {trace} (e^{\pi (H)})}$,

где – ассоциированное представление алгебры Ли . Таким образом, функция — это просто символ соответствующего представления , как описано в предыдущем подразделе. Тогда ограничение характера to задается той же формулой, что и в случае алгебры Ли: ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H\mapsto \operatorname {trace} (\Pi (e^{H}))}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\lambda +\rho )(H)}}{\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}}}.}$

Доказательство Вейля формулы характера в ситуации компактной группы полностью отличается от алгебраического доказательства формулы характера в ситуации полупростых алгебр Ли. ^[7] В условиях компактной группы обычно используются «действительные корни» и «действительные веса», которые в раз отличаются от корней и весов, используемых здесь. Таким образом, формула в случае компактной группы повсюду имеет множители показателя степени. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$

Случай SU(2)

В случае группы SU(2) рассмотрим неприводимое представление размерности . Если мы возьмем диагональную подгруппу SU(2), то формула характера в этом случае будет иметь вид ^[8] ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

(И числитель, и знаменатель в формуле характера имеют два члена.) В этом случае поучительно проверить эту формулу непосредственно, чтобы мы могли наблюдать явление сокращения, неявное в формуле характера Вейля.

Поскольку представления известны очень явно, характер представления можно записать как

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

Тем временем знаменатель Вейля — это просто функция . Умножение символа на знаменатель Вейля дает ${\displaystyle e^{i\theta }-e^{-i\theta }}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=\left(e^{i(m+1)\theta }+e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }\right)-\left(e^{i(m-1)\theta }+\cdots +e^{-i(m-1)\theta }+e^{-i(m+1)\theta }\right).}$

Теперь мы можем легко убедиться, что большинство членов сокращаются между двумя членами в правой части выше, оставляя нам только

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)(e^{i\theta }-e^{-i\theta })=e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}$

так что

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {e^{i(m+1)\theta }-e^{-i(m+1)\theta }}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin \theta }}.}$

Символом в данном случае является геометрическая прогрессия, а предыдущий аргумент представляет собой небольшой вариант стандартного вывода формулы суммы конечной геометрической прогрессии. ${\displaystyle R=e^{2i\theta }}$

Формула знаменателя Вейля

В частном случае тривиального одномерного представления характер равен 1, поэтому формула характера Вейля становится формулой знаменателя Вейля : ^[9]

${\displaystyle {\sum _{w\in W}\varepsilon (w)e^{w(\rho )(H)}=\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(e^{\alpha (H)/2}-e^{-\alpha (H)/2})}.}$

Для специальных унитарных групп это эквивалентно выражению

${\displaystyle \sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,X_{1}^{\sigma (1)-1}\cdots X_{n}^{\sigma (n)-1}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i})}$

для определителя Вандермонда . ^[10]

Формула измерения Вейля

Оценивая характер в , формула характера Вейля дает формулу измерения Вейля ${\displaystyle H=0}$

${\displaystyle \dim(V_{\lambda })={\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\lambda +\rho ,\alpha ) \over \prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(\rho ,\alpha )}}$

для размерности конечномерного представления с наибольшим весом . (Как обычно, ρ представляет собой половину суммы положительных корней, а произведения пробегают положительные корни α.) Специализация не совсем тривиальна, поскольку и числитель, и знаменатель формулы характера Вейля обращаются в нуль в высоком порядке в единичном элементе, поэтому необходимо взять предел следа элемента, стремящегося к тождеству, используя вариант правила Лопиталя . ^[11] В случае SU(2), описанном выше, например, мы можем восстановить размерность представления, используя правило Лопиталя для оценки предела, стремящегося к нулю . ${\displaystyle V_{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

В качестве примера мы можем рассмотреть комплексную полупростую алгебру Ли sl(3, C ) или, что то же самое, компактную группу SU(3). В этом случае представления помечаются парой неотрицательных целых чисел. В этом случае имеется три положительных корня и нетрудно проверить, что формула размерности принимает явный вид ^[12] ${\displaystyle (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \dim(V_{m_{1},m_{2}})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)}$

Случай является стандартным представлением, и действительно, формула измерения в этом случае дает значение 3. ${\displaystyle m_{1}=1,\,m_{2}=0}$

Формула кратности Костанта

Формула характера Вейля определяет характер каждого представления как частное, где числитель и знаменатель представляют собой конечную линейную комбинацию экспонент. Хотя эта формула в принципе определяет характер, не особенно очевидно, как можно явно вычислить это частное как конечную сумму экспонент. Уже в описанном выше случае SU(2) не сразу очевидно, как перейти от формулы характера Вейля, которая возвращает характер as, к формуле для характера как суммы экспонент: ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

${\displaystyle e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots +e^{-im\theta }.}$

В этом случае, возможно, не так уж и сложно распознать выражение как сумму конечной геометрической прогрессии, но вообще нужна более систематическая процедура. ${\displaystyle \sin((m+1)\theta )/\sin \theta }$

В общем, процесс деления можно выполнить, вычислив формальную величину, обратную знаменателю Вейля, а затем умножив числитель в формуле характера Вейля на эту формальную обратную величину. ^[13] Результат дает характер как конечную сумму экспонент. Коэффициентами этого разложения являются размерности весовых пространств, то есть кратности весов. Таким образом, мы получаем из формулы характера Вейля формулу для кратностей весов, известную как формула кратности Костанта . Альтернативная формула, которая в некоторых случаях более удобна в вычислительном отношении, приведена в следующем разделе.

Формула Фрейденталя

Формула Ганса Фройденталя представляет собой рекурсивную формулу для кратностей весов, которая дает тот же ответ, что и формула кратности Костанта, но иногда ее проще использовать для вычислений, поскольку суммировать можно гораздо меньше членов. Формула основана на использовании элемента Казимира , и ее вывод не зависит от формулы символа. В нем говорится ^[14]

${\displaystyle (\|\Lambda +\rho \|^{2}-\|\lambda +\rho \|^{2})m_{\Lambda }(\lambda )=2\sum _{\alpha \in \Delta ^{+}}\sum _{j\geq 1}(\lambda +j\alpha ,\alpha )m_{\Lambda }(\lambda +j\alpha )}$

где

• Λ – старший вес,
• λ — какой-то другой вес,
• m _Λ (λ) – кратность веса λ в неприводимом представлении V _Λ
• ρ — вектор Вейля
• Первая сумма ведется по всем положительным корням α.

Формула характера Вейля – Каца

Формула характера Вейля также справедлива для интегрируемых представлений алгебр Каца–Муди со старшим весом , когда она известна как формула характера Вейля–Каца . Аналогичным образом существует тождество знаменателя для алгебр Каца–Муди, которое в случае аффинных алгебр Ли эквивалентно тождеству Макдональда . В простейшем случае аффинной алгебры Ли типа _A1 это тождество тройного произведения Якоби

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1-x^{2m-1}y\right)\left(1-x^{2m-1}y^{-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}y^{n}.}$

Формула характера также может быть расширена до интегрируемых представлений со старшим весом обобщенных алгебр Каца – Муди , когда характер задается формулой

${\displaystyle {\sum _{w\in W}(-1)^{\ell (w)}w(e^{\lambda +\rho }S) \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Здесь S — поправочный член, заданный через мнимые простые корни формулой

${\displaystyle S=\sum _{I}(-1)^{|I|}e^{\Sigma I}\,}$

где сумма пробегает все конечные подмножества I мнимых простых корней, попарно ортогональных и ортогональных старшему весу λ, и |I| — мощность I, а Σ I — сумма элементов I.

Формула знаменателя монструозной алгебры Ли представляет собой формулу произведения

${\displaystyle j(p)-j(q)=\left({1 \over p}-{1 \over q}\right)\prod _{n,m=1}^{\infty }(1-p^{n}q^{m})^{c_{nm}}}$

для эллиптической модулярной функции j .

Петерсон дал рекурсивную формулу для кратностей mult(β) корней β симметризуемой (обобщенной) алгебры Каца – Муди, которая эквивалентна формуле знаменателя Вейля – Каца, но ее легче использовать для вычислений:

${\displaystyle (\beta ,\beta -2\rho )c_{\beta }=\sum _{\gamma +\delta =\beta }(\gamma ,\delta )c_{\gamma }c_{\delta }\,}$

где сумма ведется по положительным корням γ, δ и

${\displaystyle c_{\beta }=\sum _{n\geq 1}{\operatorname {mult} (\beta /n) \over n}.}$

Формула характера Хариш-Чандры

Хариш-Чандра показал, что формула характера Вейля допускает обобщение на представления реальной редуктивной группы . Пусть — неприводимое допустимое представление вещественной редуктивной группы G с бесконечно малым характером . Пусть это персонаж Хариш-Чандры ; оно определяется интегрированием по аналитической функции на регулярном множестве. Если H — подгруппа Картана в G и H' — множество регулярных элементов в H, то ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Theta _{\pi }}$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \Theta _{\pi }|_{H'}={\sum _{w\in W/W_{\lambda }}a_{w}e^{w\lambda } \over e^{\rho }\prod _{\alpha \in \Delta ^{+}}(1-e^{-\alpha })}.}$

Здесь

• W — комплексная группа Вейля относительно ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$ ${\displaystyle G_{\mathbb {C} }}$
• ${\displaystyle W_{\lambda }}$является стабилизатором в W ${\displaystyle \lambda }$

а остальные обозначения такие же, как указано выше.

Коэффициенты до сих пор не совсем понятны. Результаты по этим коэффициентам можно найти, среди других, в статьях Херба , Адамса, Шмида и Шмид-Вилонена. ${\displaystyle a_{w}}$

Смотрите также

• Теория персонажей
• Алгебраический характер
• Формула характера Демазюра
• Формула интегрирования Вейля
• Формула характера Кириллова

Рекомендации

1. Зал 2015 г. Раздел 12.4.
2. Зал 2015 г. Раздел 10.4.
3. Зал 2015 г. Раздел 12.5.
4. Холл, 2015 г., Теорема 10.14.
5. Зал 2015 г. Раздел 10.4.
6. Зал 2015 г., раздел 12.3.
7. См. Hall 2015, раздел 10.8 в настройке алгебры Ли и раздел 12.4 в настройке компактной группы.
8. Холл 2015 г. Пример 12.23
9. Холл 2015. Лемма 10.28.
10. Hall 2015. Упражнение 9 в главе 10.
11. Зал 2015 г. Раздел 10.5.
12. Холл 2015 г. Пример 10.23
13. Зал 2015 г., раздел 10.6.
14. Хамфрис, 1972 г., раздел 22.3.

• Фултон, Уильям и Харрис, Джо (1991). Теория представлений: первый курс. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0387974954 . OCLC 22861245. ^[1]
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7.
• Бесконечномерные алгебры Ли , В.Г. Кац, ISBN 0-521-37215-1 
• Дункан Дж. Мелвилл (2001) [1994], «Формула характера Вейля – Каца», Математическая энциклопедия , EMS Press
• Вейль, Герман (1925), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch линейное преобразование. I», Mathematische Zeitschrift , 23 , Springer Berlin / Heidelberg: 271–309,  doi : 10.1007/BF01506234, ISSN  0025-5874, 123145812
• Вейль, Герман (1926a), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch Lineare Transformationen. II», Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 328–376, doi : 10.1007/BF01216788, ISSN  0025-5874, S2C , ID  186229448
• Вейль, Герман (1926b), «Theorie der Darstellung kontinuierlicher halb-einfacher Gruppen durch Lineare Transformationen. III», Mathematische Zeitschrift , 24 , Springer Berlin / Heidelberg: 377–395, doi : 10.1007/BF01216789, ISSN  0025-5874, ID  186232780

1. Фултон, Уильям, 1939- (1991). Теория представлений: первый курс . Харрис, Джо, 1951–. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0387974954. ОСЛК  22861245.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)