В математике , особенно в проективной геометрии , конфигурация на плоскости состоит из конечного набора точек и конечного расположения линий , так что каждая точка инцидентна одному и тому же числу прямых, а каждая линия инцидентна одному и тому же числу точек. . [1]
Хотя некоторые конкретные конфигурации изучались ранее (например, Томасом Киркманом в 1849 году), формальное изучение конфигураций было впервые введено Теодором Рейе в 1876 году во втором издании его книги «Геометрия дер Лаге » в контексте обсуждения Теорема Дезарга . Эрнст Стейниц написал свою диссертацию на эту тему в 1894 году, и они были популяризированы книгой Гильберта и Кон-Фоссенов «Anschauliche Geometrie» 1932 года , переизданной на английском языке под названием «Hilbert & Cohn-Vossen» (1952).
Конфигурации могут изучаться либо как конкретные наборы точек и линий в определенной геометрии, например, евклидовой или проективной плоскости (они считаются реализуемыми в этой геометрии), либо как тип абстрактной геометрии инцидентности . В последнем случае они тесно связаны с регулярными гиперграфами и бирегулярными двудольными графами , но с некоторыми дополнительными ограничениями: каждые две точки структуры инцидентности могут быть сопоставлены не более чем с одной линией, а каждые две линии могут быть сопоставлены не более чем с одной точкой. . То есть обхват соответствующего двудольного графа ( графа Леви конфигурации) должен быть не менее шести.
Конфигурация на плоскости обозначается ( p γ ℓ π ), где p — количество точек, ℓ — количество линий, γ — количество линий на точку и π — количество точек на линию. Эти числа обязательно удовлетворяют уравнению
поскольку этот продукт представляет собой количество вхождений точечной линии ( флагов ).
Конфигурации, имеющие один и тот же символ, скажем ( p γ ℓ π ), не обязательно должны быть изоморфными как структуры инцидентности . Например, существуют три различные конфигурации (9 3 9 3 ): конфигурация Паппуса и две менее заметные конфигурации.
В некоторых конфигурациях p = ℓ и, следовательно, γ = π . Их называют симметричными или сбалансированными конфигурациями [2] , и обозначения часто сокращаются, чтобы избежать повторения. Например, (9 3 9 3 ) сокращается до (9 3 ).
Известные проективные конфигурации включают следующее:
Проективно- двойственная конфигурация ( p γ ℓ π ) — это конфигурация ( ℓ π p γ ), в которой меняются ролями «точки» и «линии». Таким образом, типы конфигураций делятся на двойственные пары, за исключением случаев, когда двойственные результаты получаются в изоморфной конфигурации. Эти исключения называются самодвойственными конфигурациями, и в таких случаях p = ℓ . [5]
Число неизоморфных конфигураций типа ( n 3 ), начиная с n = 7 , задаётся последовательностью
Эти числа считают конфигурации абстрактными структурами инцидентности, независимо от их реализуемости. [6] Как отмечает Гропп (1997), девять из десяти (10 3 ) конфигураций и все конфигурации (11 3 ) и (12 3 ) реализуемы в евклидовой плоскости, но для каждого n ≥ 16 существует хотя бы одна нереализуемая ( n 3 ) конфигурация. Гропп также указывает на давнюю ошибку в этой последовательности: статья 1895 года попыталась перечислить все (12 3 ) конфигурации и обнаружила 228 из них, но 229-я конфигурация, конфигурация Гроппа, не была открыта до 1988 года.
Существует несколько методов построения конфигураций, обычно на основе известных конфигураций. Некоторые из простейших из этих методов создают симметричные ( p γ ) конфигурации.
Любая конечная проективная плоскость порядка n представляет собой (( n 2 + n + 1) n + 1 ) конфигурацию. Пусть Π — проективная плоскость порядка n . Удалите из Π точку P и все прямые из Π , проходящие через P (но не точки, лежащие на этих прямых, кроме P ), и удалите прямую ℓ, не проходящую через P , и все точки, находящиеся на прямой ℓ . Результатом является конфигурация типа (( n 2 – 1) n ) . Если в этой конструкции линия ℓ выбрана как линия, которая проходит через P , то конструкция приводит к конфигурации типа (( n 2 ) n ) . Поскольку известно, что проективные плоскости существуют для всех порядков n , которые являются степенями простых чисел, эти конструкции дают бесконечные семейства симметричных конфигураций.
Не все конфигурации реализуемы, например, конфигурации (43 7 ) не существует. [7] Однако Гропп (1990) предложил конструкцию, которая показывает, что для k ≥ 3 конфигурация ( p k ) существует для всех p ≥ 2 ℓ k + 1 , где ℓ k — длина оптимальной линейки Голомба заказать К. _
Понятие конфигурации может быть обобщено на более высокие измерения, [8] например, на точки, линии или плоскости в пространстве . В таких случаях ограничения, согласно которым никакие две точки не принадлежат более чем одной прямой, могут быть ослаблены, поскольку две точки могут принадлежать более чем одной плоскости.
Известными трехмерными конфигурациями являются конфигурация Мёбиуса , состоящая из двух взаимно вписанных тетраэдров, конфигурация Рея , состоящая из двенадцати точек и двенадцати плоскостей, с шестью точками на плоскость и шестью плоскостями на точку, конфигурация Грея, состоящая из 3×3×3. сетка из 27 точек и 27 ортогональных линий, проходящих через них, и двойная шестерка Шлефли , конфигурация с 30 точками, 12 линиями, двумя линиями на точку и пятью точками на линию.
Конфигурация на проективной плоскости, реализуемая точками и псевдопрямыми , называется топологической конфигурацией. [2] Например, известно, что не существует точечно-линейных (19 4 ) конфигураций, однако существует топологическая конфигурация с этими параметрами.
Другое обобщение понятия конфигурации касается конфигураций точек и окружностей, ярким примером является конфигурация (8 3 6 4 ) Микеля . [2]
