циклоида

Кривая, очерченная точкой на катящемся круге

Циклоида, порожденная катящимся кругом

В геометрии циклоида — это кривая , очерченная точкой окружности , катящейся по прямой без скольжения. Циклоида — это особая форма трохоиды и пример рулетки , кривой, образованной кривой, катящейся по другой кривой.

Циклоида с вершинами , направленными вверх, представляет собой кривую наискорейшего спуска в условиях равномерной силы тяжести ( кривая брахистохроны ). Это также форма кривой, для которой период простого гармонического движения объекта (повторяющегося перекатывания вверх и вниз) по кривой не зависит от начального положения объекта ( кривая таутохрона ). В физике, когда покоящаяся заряженная частица находится в однородном электрическом и магнитном поле, перпендикулярном друг другу, траектория частицы образует циклоиду.

История

Именно в левой пробке «Пекода», когда вокруг меня старательно кружился мыльный камень, я впервые косвенно поразился тому замечательному факту, что в геометрии все тела, скользящие по циклоиде, мой мыльный камень, например, будет спускаться с любой момент точно в одно и то же время.

«Моби Дик» , Герман Мелвилл , 1851 г.

Циклоиду называли «Еленой геометров», поскольку, как и Елена Троянская , она вызывала частые ссоры среди математиков 17-го века, в то время как Сара Харт считает, что она названа так «потому что свойства этой кривой настолько прекрасны». ^{[1] [2]}

Историки математики предложили несколько кандидатов на роль первооткрывателя циклоиды. Историк-математик Пол Таннери предположил, что такая простая кривая, должно быть, была известна древним , ссылаясь на аналогичную работу Карпа Антиохийского, описанную Ямвлихом . ^[3] Английский математик Джон Уоллис , написавший в 1679 году, приписал это открытие Николаю Кузанскому , ^[4] но последующие исследования показывают, что либо Уоллис ошибался, либо доказательства, которые он использовал, теперь утеряны. ^{[5] Имя} Галилео Галилея было выдвинуто в конце 19-го века ^[6] и по крайней мере один автор сообщает, что заслуга принадлежит Марину Мерсенну . ^[7] Начиная с работы Морица Кантора ^[8] и Зигмунда Гюнтера , ^[9] учёные теперь отдают приоритет французскому математику Шарлю де Бовелю ^{[10] [11] [12]} на основании его описания циклоиды в его «Введении в geometriam , опубликованная в 1503 году. ^[13] В этой работе Бовель ошибочно принимает арку, очерченную катящимся колесом, за часть большего круга с радиусом на 120% больше, чем меньшее колесо. ^[5]

Галилей ввел термин циклоида и был первым, кто серьезно изучил кривую. ^[5] По словам его ученика Эвангелиста Торричелли , ^[14] в 1599 году Галилей предпринял попытку квадратуры циклоиды (определение площади под циклоидой) с необычно эмпирическим подходом, который включал в себя отслеживание как образующего круга, так и полученной циклоиды на листовом металле, вырезаем их и взвешиваем. Он обнаружил, что соотношение составляет примерно 3:1, что является истинным значением, но он ошибочно пришел к выводу, что соотношение представляет собой иррациональную дробь, что сделало бы квадратуру невозможной. ^[7] Около 1628 года Жиль Персон де Роберваль , вероятно, узнал о квадратурной задаче от отца Марина Мерсенна и осуществил квадратуру в 1634 году, используя теорему Кавальери . ^[5] Однако эта работа не была опубликована до 1693 года (в его «Трактате о неделимых» ). ^[15]

Построение касательной циклоиды датируется августом 1638 года, когда Мерсенн получил уникальные методы от Роберваля, Пьера де Ферма и Рене Декарта . Мерсенн передал эти результаты Галилею, который передал их своим ученикам Торричелли и Вивиани, которые смогли построить квадратуру. Этот и другие результаты были опубликованы Торричелли в 1644 году ^[14] , что также является первой печатной работой по циклоиде. Это привело к тому, что Роберваль обвинил Торричелли в плагиате, но спор был прерван ранней смертью Торричелли в 1647 году ^.

В 1658 году Блез Паскаль отказался от математики в пользу богословия, но, страдая от зубной боли, начал рассматривать несколько задач, касающихся циклоиды. Его зубная боль исчезла, и он воспринял это как небесный знак, чтобы продолжить свои исследования. Восемь дней спустя он закончил свое эссе и, чтобы опубликовать результаты, предложил конкурс. Паскаль предложил три вопроса, касающихся центра тяжести , площади и объема циклоиды, победитель или победители получили призы в размере 20 и 40 испанских дублонов . Судьями были Паскаль, Роберваль и сенатор Каркави, и ни одно из двух представлений ( Джона Уоллиса и Антуана де Лалувера ) не было признано адекватным. ^{[16] : 198} Пока продолжалось состязание, Кристофер Рен послал Паскалю предложение доказать выпрямление циклоиды ; Роберваль тут же заявил, что знал об этом доказательстве уже много лет. Уоллис опубликовал доказательство Рена (с указанием Рена) в «Трактате Дуэта» Уоллиса , отдав Рену приоритет для первого опубликованного доказательства. ^[15]

Пятнадцать лет спустя Христиан Гюйгенс применил циклоидальный маятник для улучшения хронометров и обнаружил, что частица может пройти сегмент перевернутой циклоидальной арки за одно и то же время, независимо от ее начальной точки. В 1686 году Готфрид Вильгельм Лейбниц использовал аналитическую геометрию, чтобы описать кривую одним уравнением. В 1696 году Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне , решением которой является циклоида. ^[15]

Уравнения

Циклоида , проходящая через начало координат, образованная кругом радиуса r , катящимся по оси x с положительной стороны ( y ≥ 0 ), состоит из точек ( x , y ) с

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r(t-\sin t)\\y&=r(1-\cos t),\end{aligned}}}$$

tпараметрt( x , y ) = ( rt , r )

Декартово уравнение получается путем решения y -уравнения для t и подстановки в x - уравнение:

$${\displaystyle x=r\cos ^{-1}\left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}},}$$

${\displaystyle r\cos \!\left({\frac {x+{\sqrt {y(2r-y)}}}{r}}\right)+y=r.}$

Когда y рассматривается как функция от x , циклоида дифференцируема везде, кроме точек возврата на оси x , при этом производная стремится к точке возврата или около нее. Отображение t в ( x , y ) дифференцируемо, фактически класса C ^∞ , с производной 0 в точках возврата. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$

Наклон касательной к циклоиде в точке определяется выражением . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\textstyle {\frac {dy}{dx}}=\cot({\frac {t}{2}})}$

Сегмент циклоиды от одного возврата к другому называется дугой циклоиды, например точки с и . ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi }$ ${\displaystyle 0\leq x\leq 2\pi }$

Рассматривая циклоиду как график функции , она удовлетворяет дифференциальному уравнению : ^[17] ${\displaystyle y=f(x)}$

${\displaystyle \left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}={\frac {2r}{y}}-1.}$

Эвольвента

Создание эвольвенты циклоиды, разворачивающей натянутую проволоку, расположенную на полудуге циклоиды (отмечено красным)

Эвольвента циклоиды имеет точно такую ​​же форму, как и циклоида, из которой она возникла . Это можно представить как путь, прослеживаемый кончиком проволоки, первоначально лежащей на половине арки циклоиды: по мере того, как она разворачивается, оставаясь касательной к исходной циклоиде, она описывает новую циклоиду (см. также циклоидальный маятник и длину дуги).

Демонстрация

Демонстрация свойств эвольвенты циклоиды.

В этой демонстрации используется определение циклоиды в виде катящегося колеса, а также вектор мгновенной скорости движущейся точки, касательный к ее траектории. На соседнем рисунке изображены две точки, принадлежащие двум катящимся кругам, причем основание первого находится чуть выше вершины второго. Изначально и совпадают в точке пересечения двух окружностей. Когда круги катятся горизонтально с одинаковой скоростью и пересекают две циклоидные кривые. Учитывая красную линию, соединяющую и в данный момент, можно доказать, что линия всегда касается нижней дуги в точке и ортогональна верхней дуге в точке . Пусть — точка соприкосновения верхнего и нижнего кругов в данный момент времени. Затем: ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle Q}$

• ${\displaystyle P_{1},Q,P_{2}}$коллинеарны: действительно, равная скорость качения дает равные углы и, следовательно , . Точка лежит на прямой поэтому и аналогично . Из равенства и также получается . Следует . ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}={\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}={\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{1}QO_{2}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {P_{2}QO_{2}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$ ${\displaystyle {\widehat {O_{1}QP_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {O_{2}QP_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{2}}}={\widehat {P_{2}QO_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}QO_{1}}}+{\widehat {P_{2}QO_{1}}}=\pi }$
• Если – точка встречи перпендикуляра из к отрезку прямой и касательной к окружности в точке , то треугольник равнобедренный, как легко видеть из построения: и . Для предыдущего отмеченного равенства между и то и является равнобедренным. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{2}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {P_{2}O_{2}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}R}}=}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\widehat {QO_{1}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {P_{1}O_{1}Q}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QO_{2}P_{2}}}}$ ${\displaystyle {\widehat {QP_{1}A}}={\widehat {QP_{2}A}}}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}}$
• Проводя от ортогонального отрезка к , от прямой, касательной к верхнему кругу, и называя точку встречи, можно видеть, что это ромб , используя теоремы об углах между параллельными прямыми. ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle O_{1}O_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P_{1}AP_{2}B}$
• Теперь рассмотрим скорость . Ее можно рассматривать как сумму двух компонентов: скорости качения и скорости сноса , которые равны по модулю, поскольку круги катятся без заноса. параллельна , а касается нижней окружности в точке и, следовательно, параллельна . Ромб составлен из составляющих и поэтому подобен (те же углы) ромбу, поскольку у них параллельные стороны. Тогда полная скорость , параллельна , поскольку обе являются диагоналями двух ромбов с параллельными сторонами и имеют общую точку контакта . Таким образом, вектор скорости лежит на продолжении . Поскольку касательная к циклоиде в точке , отсюда следует, что она также совпадает с касательной к нижней циклоиде в точке . ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle P_{1}A}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}A}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle V_{a}}$ ${\displaystyle BP_{1}AP_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$
• Аналогично легко показать, что ортогонально (другой диагонали ромба). ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle V_{1}}$
• Это доказывает, что кончик проволоки, первоначально натянутый на полудугу нижней циклоиды и прикрепленный к верхнему кругу при, будет следовать за точкой вдоль своей траектории, не меняя своей длины , поскольку скорость кончика в каждый момент ортогональна проволоке. (без растяжения и сжатия). В то же время проволока будет касаться нижней дуги из-за натяжения и фактов, продемонстрированных выше. (Если бы они не были касательными, возник бы разрыв и, следовательно, несбалансированные силы натяжения.) ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{2}}$

Область

Используя приведенную выше параметризацию , площадь под одной аркой определяется как: ${\textstyle x=r(t-\sin t),\ y=r(1-\cos t)}$ ${\displaystyle 0\leq t\leq 2\pi ,}$

$${\displaystyle A=\int _{x=0}^{2\pi r}y\,dx=\int _{t=0}^{2\pi }r^{2}(1-\cos t)^{2}dt=3\pi r^{2}.}$$

Это в три раза больше площади катящегося круга.

Длина дуги

Длина циклоиды как следствие свойства ее эвольвенты

Длина дуги S одной арки определяется выражением

$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{0}^{2\pi }r{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt\\&=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt\\&=8r.\end{aligned}}}$$

Другой геометрический способ расчета длины циклоиды состоит в том, чтобы заметить, что когда проволока, описывающая эвольвенту, полностью развернута из половины арки, она вытягивается вдоль двух диаметров, на длину 4 р . Таким образом, это равно половине длины арки, а длина полной арки — 8 р .

Циклоидальный маятник

Схема циклоидального маятника.

Если простой маятник подвешен к вершине перевернутой циклоиды так, что струна касается одной из ее дуг, а длина маятника L равна половине длины дуги циклоиды (т. е. в два раза больше длины дуги циклоиды). диаметр образующей окружности L = 4r ), качание маятника также движется по циклоиде. Такой маятник является изохронным , с равновременными колебаниями независимо от амплитуды. Если ввести систему координат с центром в положении точки возврата, уравнение движения будет иметь вид:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r[2\theta (t)+\sin 2\theta (t)]\\y&=r[-3-\cos 2\theta (t)],\end{aligned}}}$$

${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle \sin \theta (t)=A\cos(\omega t),\qquad \omega ^{2}={\frac {g}{L}}={\frac {g}{4r}},}$$

A <1g - ${\displaystyle \omega }$

Пять изохронных циклоидальных маятников с разными амплитудами.

Голландский математик 17-го века Христиан Гюйгенс открыл и доказал эти свойства циклоиды, когда искал более точные конструкции маятниковых часов для использования в навигации . ^[18]

Связанные кривые

Несколько кривых связаны с циклоидой.

• Трохоида : обобщение циклоиды, в которой точка, описывающая кривую, может находиться внутри катящегося круга (курчатая) или снаружи (вытянутая).
• Гипоциклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится внутри другого круга, а не по прямой.
• Эпициклоида : вариант циклоиды, в которой круг катится по внешней стороне другого круга, а не по прямой.
• Гипотрохоида : обобщение гипоциклоиды, при котором образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.
• Эпитрохоида : обобщение эпициклоиды, при котором образующая точка может не находиться на краю катящегося круга.

Все эти кривые представляют собой рулетку с кругом, прокатанным по другой кривой равномерной кривизны . Циклоида, эпициклоида и гипоциклоида обладают тем свойством, что каждая из них подобна своей эволюте . Если q является произведением этой кривизны на радиус круга, со знаком положительным для эпи- и отрицательным для гипо-, то коэффициент подобия кривой для эволюции равен 1 + 2 q .

Классическая игрушка Спирограф отслеживает кривые гипотрохоиды и эпитрохоиды .

Другое использование

Циклоидные арки в Художественном музее Кимбелла

Циклоидальная арка была использована архитектором Луи Каном в его проекте Художественного музея Кимбелла в Форт-Уэрте, штат Техас . Его также использовал Уоллес К. Харрисон при проектировании Центра Хопкинса в Дартмутском колледже в Ганновере, Нью-Гэмпшир . ^[19]

Ранние исследования показали, что некоторые поперечные дугообразные кривые пластинок скрипок золотого века точно моделируются курчатыми циклоидными кривыми. ^[20] Более поздние работы показывают, что куртатные циклоиды не служат общей моделью для этих кривых, ^[21] которые значительно различаются.

Смотрите также

• Циклогон
• Циклоидная передача
• Список периодических функций
• Кривая таутохроны

Рекомендации

1. Каджори, Флориан (1999). История математики . Нью-Йорк: Челси. п. 177. ИСБН 978-0-8218-2102-2.
2. Харт, Сара (7 апреля 2023 г.). «Удивительные связи между математикой и литературой». Газета "Нью-Йорк Таймс . Проверено 7 апреля 2023 г.
3. Таннери, Поль (1883), «Pour l'histoire des lignes et Surfaces courbes dans l'antiquité», Mélanges, Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques , сер. 2, 7 : 278–291, с. 284: В преддверии выхода из цитаты из Жамблика, j'ajouterai que, dans la courbe de double mouvement de Carpos, il est difficile de pas pas pas connaître la Cycloide dont la génération si simple n'a pas dû échapper aux anciens. [Прежде чем оставить цитату Ямвлиха , добавлю, что в кривой двойного движения Карпа трудно не узнать циклоиду, столь простое зарождение которой не могло ускользнуть от древних.](цитируется по Whitman 1943);
4. Уоллис, Д. (1695). «Отрывок из письма доктора Уоллиса от 4 мая 1697 года о циклоиде, известной кардиналу Кузанскому около 1450 года; и Каролу Бовиллусу около 1500 года». Философские труды Лондонского королевского общества . 19 (215–235): 561–566. дои : 10.1098/rstl.1695.0098 .(Цитируется по Гюнтеру, стр. 5)
5. Whitman, EA (май 1943 г.), «Некоторые исторические заметки о циклоиде», The American Mathematical Monthly , 50 (5): 309–315, doi : 10.2307/2302830, JSTOR  2302830 (требуется подписка)
6. Каджори, Флориан (1999), История математики (5-е изд.), Стр. 162, ИСБН 0-8218-2102-4(Примечание: в первом (1893 г.) издании и его переизданиях утверждается, что Галилей изобрел циклоиду. По словам Филлипса, это было исправлено во втором (1919 г.) издании и сохранилось до самого последнего (пятого) издания.)
7. Ройдт, Том (2011). Циклоиды и пути (PDF) (MS). Портлендский государственный университет. п. 4. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
8. Кантор, Мориц (1892), Vorlesungen über Geschichte der Mathematik, Bd. 2, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, OCLC  25376971
9. Гюнтер, Зигмунд (1876), Vermischte untersuchungen zur geschichte der mathematischen wissenschaften , Лейпциг: Druck und Verlag Von BG Teubner, p. 352, OCLC  2060559
10. Филлипс, JP (май 1967 г.), «Брахистохрона, Таутохрона, Циклоида - Яблоко раздора», Учитель математики , 60 (5): 506–508, doi : 10.5951/MT.60.5.0506, JSTOR  27957609(требуется подписка)
11. Виктор, Джозеф М. (1978), Шарль де Бовель, 1479-1553: Интеллектуальная биография, стр. 42, ISBN 978-2-600-03073-1
12. Мартин, Дж. (2010). «Елена геометрии». Математический журнал колледжа . 41 : 17–28. дои : 10.4169/074683410X475083. S2CID  55099463.
13. де Буэль, Шарль (1503), Введение в геометрию ... Liber dequadatura circuli. Свобода кубической сферы. Перспектива введения. , OCLC  660960655
14. Торричелли, Евангелиста (1644), Opera геометрическая , OCLC  55541940
15. Уокер, Эвелин (1932), Исследование «Трактата о неделимых» Роберваля , Колумбийский университет(цитируется по Whitman 1943);
16. Коннер, Джеймс А. (2006), Ставка Паскаля: человек, который играл в кости с Богом (1-е изд.), HarperCollins, стр. 224, ISBN 9780060766917
17. Робертс, Чарльз (2018). Элементарные дифференциальные уравнения: приложения, модели и вычисления (2-е иллюстрированное изд.). ЦРК Пресс. п. 141. ИСБН 978-1-4987-7609-7.Выдержка со страницы 141, уравнение (f) с K=2r
18. К. Гюйгенс, «Маятниковые часы или геометрические демонстрации движения маятника (так в оригинале) применительно к часам», Перевод Р. Дж. Блэквелла, издательство Университета штата Айова (Эймс, Айова, США, 1986).
19. 101 причина любить Дартмут, Журнал выпускников Дартмута, 2016
20. Playfair, Q. «Курчатная циклоидная дуга в инструментах семейства кремонских скрипок Золотого века». Журнал Акустического общества Кетгута . II. 4 (7): 48–58.
21. Моттола, RM (2011). «Сравнение изогнутых профилей кремонских скрипок Золотого века и некоторых математически построенных кривых». Журнал Савар . 1 (1). Архивировано из оригинала 11 декабря 2017 г. Проверено 13 августа 2012 г.

дальнейшее чтение

• Приложение из физики : Гатак А. и Махадеван Л. Крэк-стрит: циклоидальный след цилиндра, разрывающего лист. Письма о физическом обзоре, 91 (2003). link.aps.org
• Эдвард Каснер и Джеймс Ньюман (1940) Математика и воображение , стр. 196–200, Саймон и Шустер .
• Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. стр. 445–47. ISBN 0-14-011813-6.

Внешние ссылки

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Циклоида», Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Вайсштейн, Эрик В. «Циклоида». Математический мир .Проверено 27 апреля 2007 г.
• Циклоиды на развязке
• Трактат о циклоиде и всех формах циклоидальных кривых, монография Ричарда А. Проктора, бакалавра наук, опубликованная библиотекой Корнелльского университета.
• Циклоидные кривые Шона Мэдсена при участии Дэвида фон Зеггерна, Демонстрационный проект Wolfram .
• Циклоида на PlanetPTC (Mathcad)
• ВИЗУАЛЬНЫЙ подход к задачам ИСЧИСЛЕНИЯ Тома Апостола