Форма припоя

Математическая конструкция пучков волокон

Припаяйте форму круга к тору.

В математике , точнее в дифференциальной геометрии , пайка (или иногда форма пайки ) пучка волокон к гладкому многообразию — это способ присоединения волокон к многообразию таким образом, что их можно рассматривать как касательные. Интуитивно пайка выражает в абстрактных терминах идею о том, что многообразие может иметь точку контакта с определенной модельной геометрией Клейна в каждой точке. Во внешней дифференциальной геометрии пайка просто выражается касанием модельного пространства к многообразию. Во внутренней геометрии для ее выражения требуются другие методы. Пайка была введена в этой общей форме Чарльзом Эресманном в 1950 году. ^[1]

Пайка жгута волокон

Пусть M — гладкое многообразие, G — группа Ли , и пусть E — гладкое расслоение над M со структурной группой G. Предположим, что G действует транзитивно на типичном слое F многообразия E , и что dim F = dim M. Спайка E с M состоит из следующих данных:

1. Выделенное сечение o  : M → E .
2. Линейный изоморфизм векторных расслоений θ : T M → o * ^V E из касательного расслоения M в прообраз вертикального расслоения E вдоль выделенного сечения.

В частности, это последнее условие можно интерпретировать как утверждение, что θ определяет линейный изоморфизм

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E}$

из касательного пространства M в точке x в (вертикальное) касательное пространство волокна в точке, определяемой выделенным сечением. Форма θ называется формой припоя для пайки.

Особые случаи

По соглашению, всякий раз, когда выбор способа пайки является уникальным или канонически определенным, форма пайки называется канонической формой или тавтологической формой.

Аффинные расслоения и векторные расслоения

Предположим, что E — аффинное векторное расслоение (векторное расслоение без выбора нулевого сечения). Тогда спаивание на E сначала определяет выделенное сечение : то есть выбор нулевого сечения o , так что E может быть идентифицировано как векторное расслоение. Тогда форма спаивания является линейным изоморфизмом

${\displaystyle \theta \colon TM\to V_{o}E,}$

Однако для векторного расслоения существует канонический изоморфизм между вертикальным пространством в начале координат и волокном V _o E ≈ E. При таком отождествлении форма припоя задается линейным изоморфизмом

${\displaystyle TM\to E.}$

Другими словами, пайка на аффинном расслоении E — это выбор изоморфизма E с касательным расслоением M.

Часто говорят о форме припоя на векторном расслоении , где априори подразумевается , что выделенная секция припоя является нулевой секцией расслоения. В этом случае структурная группа векторного расслоения часто неявно расширяется полупрямым произведением GL ( n ) с типичным волокном E (которое является представлением GL ( n )). ^[2]

Примеры

• Например, как частный случай, само касательное расслоение имеет каноническую форму припоя, а именно тождество.
• Если M имеет риманову метрику (или псевдориманову метрику ), то ковариантный метрический тензор задает изоморфизм касательного расслоения в кокасательное расслоение , которое является формой пайки. ${\displaystyle g\colon TM\to T^{*}M}$
• В гамильтоновой механике форма припоя известна как тавтологическая один-форма или, поочередно, один-форма Лиувилля , один-форма Пуанкаре , каноническая один-форма или симплектический потенциал .
• Рассмотрим ленту Мёбиуса как пучок волокон над окружностью. Вертикальный пучок o ^* V E по-прежнему является лентой Мёбиуса, тогда как касательный пучок T M является цилиндром, поэтому для него нет формы пайки.

Приложения

• Форма припоя на векторном расслоении позволяет определить тензоры кручения и деформации соединения .

• Формы припоя встречаются в сигма-модели , где они склеивают касательное пространство пространственно-временного многообразия с касательным пространством полевого многообразия.

• Вирбейны , или тетрады в общей теории относительности, выглядят как формы припоя, в том смысле, что они склеивают координатные карты на пространственно-временном многообразии с предпочтительным, обычно ортонормальным базисом на касательном пространстве, где вычисления могут быть значительно упрощены. То есть, координатные карты являются в определениях выше, а поле кадра является вертикальным пучком . В сигма-модели вирбейны явно являются формами припоя. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle VE}$

Основные пучки

На языке главных расслоений форма спаивания на гладком главном G -расслоении P над гладким многообразием M является горизонтальной и G -эквивариантной дифференциальной 1-формой на P со значениями в линейном представлении V группы G, таким что ассоциированное отображение расслоения из касательного расслоения TM в ассоциированное расслоение P × _G V является изоморфизмом расслоений . (В частности, V и M должны иметь одинаковую размерность.)

Ярким примером спаянной формы является тавтологическая или фундаментальная форма на каркасном пучке коллектора.

Причина названия в том, что форма припоя припаивает (или прикрепляет) абстрактное главное расслоение к многообразию M , отождествляя ассоциированное расслоение с касательным расслоением. Формы припоя предоставляют метод изучения G -структур и играют важную роль в теории связностей Картана . Терминология и подход особенно популярны в физической литературе.

Примечания

1. Кобаяси (1957).
2. См. раздел 11 Кобаяши (1957) для обсуждения сопутствующей редукции структурной группы.

Ссылки

• Эресманн, К. (1950). «Бесконечно малые связи в различном пространстве волокон». Colloque de Topologie, Брюссель : 29–55.
• Кобаяси, Сёсичи (1957). «Теория связей». Ann. Mat. Pura Appl . 43 (1): 119–194. doi : 10.1007/BF02411907 .
• Кобаяши, Шошичи и Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии , т. 1 и 2 (новое издание). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.