Основная единица (теория чисел)

В алгебраической теории чисел фундаментальная единица является генератором (по модулю корней из единицы ) для группы единиц кольца целых чисел числового поля , когда эта группа имеет ранг 1 (т. е. когда группа единиц по модулю ее подгруппы кручения является бесконечной циклической ). Теорема Дирихле о единицах показывает, что группа единиц имеет ранг 1 именно тогда, когда числовое поле является действительным квадратичным полем , комплексным кубическим полем или полностью мнимым квартикальным полем. Когда группа единиц имеет ранг ≥ 1, ее базис по модулю ее кручения называется фундаментальной системой единиц . ^[1] Некоторые авторы используют термин фундаментальная единица для обозначения любого элемента фундаментальной системы единиц, не ограничиваясь случаем ранга 1 (например, Neukirch 1999, стр. 42).

Действительные квадратичные поля

Для действительного квадратичного поля (с d, свободным от квадратов) фундаментальная единица ε обычно нормируется так, что ε > 1 (как действительное число). Тогда она однозначно характеризуется как минимальная единица среди тех, которые больше 1. Если Δ обозначает дискриминант K , то фундаментальная единица есть ${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$

${\displaystyle \varepsilon ={\frac {a+b{\sqrt {\Delta }}}{2}}}$

где ( a ,  b ) — наименьшее решение ^[2]

${\displaystyle x^{2}-\Delta y^{2}=\pm 4}$

в положительных целых числах. Это уравнение по сути является уравнением Пелля или отрицательным уравнением Пелля, и его решения могут быть получены аналогичным образом с использованием разложения в непрерывную дробь . ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

Имеет ли x ²  − Δ y ²  = −4 решение, определяет, совпадает ли группа классов K с его узкой группой классов , или, что эквивалентно, существует ли единица нормы −1 в K . Известно, что это уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда период разложения непрерывной дроби нечетен. Более простое соотношение можно получить с помощью сравнений: если Δ делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, то K не имеет единицы нормы −1. Однако обратное утверждение неверно, как показано в примере d  = 34. ^[3] В начале 1990-х годов Питер Стивенхаген предложил вероятностную модель, которая привела его к гипотезе о том, как часто обратное утверждение оказывается неверным. В частности, если D ( X ) — число действительных квадратичных полей, дискриминант которых Δ < X не делится на простое число, сравнимое с 3 по модулю 4, а D ⁻ ( X ) — число полей, имеющих единицу нормы −1, то ^[4] ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}}$

${\displaystyle \lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {D^{-}(X)}{D(X)}}=1-\prod _{j\geq 1{\text{ odd}}}\left(1-2^{-j}\right).}$

Другими словами, обратное утверждение не выполняется примерно в 42% случаев. По состоянию на март 2012 года последний результат в отношении этой гипотезы был предоставлен Этьеном Фуври и Юргеном Клюнерсом ^[5] , которые показали, что обратное утверждение не выполняется в 33–59% случаев. В 2022 году Питер Койманс и Карло Пагано ^[6] заявили о полном доказательстве гипотезы Стивенхагена.

Кубические поля

Если K — комплексное кубическое поле, то оно имеет единственное действительное вложение, и фундаментальную единицу ε можно выбрать единственным образом, так что |ε| > 1 в этом вложении. Если дискриминант Δ поля K удовлетворяет |Δ| ≥ 33, то ^[7]

${\displaystyle \epsilon ^{3}>{\frac {|\Delta |-27}{4}}.}$

Например, фундаментальная единица — это и тогда как дискриминант этого поля равен −108, таким образом, ${\displaystyle \mathbf {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})}$ ${\displaystyle \epsilon =1+{\sqrt[{3}]{2}}+{\sqrt[{3}]{2^{2}}},}$ ${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9}$

${\displaystyle {\frac {|\Delta |-27}{4}}=20.25}$

так . ${\displaystyle \epsilon ^{3}\approx 56.9>20.25}$

Примечания

1. Алака и Уильямс 2004, §13.4
2. Нойкирх 1999, Упражнение I.7.1
3. Алака и Уильямс 2004, Таблица 11.5.4.
4. Стивенхаген 1993, Гипотеза 1.4
5. Фуври и Клюнерс 2010
6. Койманс, Питер; Пагано, Карло (2022-01-31). «О гипотезе Стивенхагена». arXiv : 2201.13424 [math.NT].
7. Алака и Уильямс 2004, Теорема 13.6.1

Ссылки

• Аладжа, Шабан; Уильямс, Кеннет С. (2004), Введение в алгебраическую теорию чисел , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-54011-7
• Дункан Бьюэлл (1989), Бинарные квадратичные формы: классическая теория и современные вычисления, Springer-Verlag , стр. 92–93, ISBN 978-0-387-97037-0
• Фуври, Этьен; Клюнерс, Юрген (2010), «Об отрицательном уравнении Пелля», Annals of Mathematics , 2 (3): 2035–2104, doi : 10.4007/annals.2010.172.2035 , MR  2726105
• Нойкирх, Юрген (1999), Алгебраическая теория чисел , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften , vol. 322, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-65399-8, MR  1697859, Zbl  0956.11021
• Стивенхаген, Питер (1993), «Число действительных квадратичных полей, имеющих единицы отрицательной нормы», Experimental Mathematics , 2 (2): 121–136, CiteSeerX  10.1.1.27.3512 , doi :10.1080/10586458.1993.10504272, MR  1259426

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Фундаментальная единица». MathWorld .