Первая фундаментальная форма

Внутренний продукт поверхности в 3D, индуцированный скалярным произведением

В дифференциальной геометрии первой фундаментальной формой является скалярное произведение в касательном пространстве к поверхности в трехмерном евклидовом пространстве , которое канонически индуцируется из скалярного произведения R ³ . Он позволяет рассчитывать кривизну и метрические свойства поверхности, такие как длина и площадь, в соответствии с окружающим пространством . Первая фундаментальная форма обозначается римской цифрой I ,

$${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .}$$

Определение

Пусть X ( u , v ) — параметрическая поверхность . Тогда скалярное произведение двух касательных векторов равно

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\[5pt]={}&ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\[5pt]={}&Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}}$$

EFGкоэффициенты первой фундаментальной формы

Первую фундаментальную форму можно представить в виде симметричной матрицы .

$${\displaystyle \mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y}$$

Дальнейшие обозначения

Когда первая фундаментальная форма записана только с одним аргументом, она обозначает скалярное произведение этого вектора с самим собой.

$${\displaystyle \mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}}$$

Первую фундаментальную форму часто записывают в современных обозначениях метрического тензора . Тогда коэффициенты можно записать как g _ij :

$${\displaystyle \left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$$

Компоненты этого тензора вычисляются как скалярное произведение касательных векторов X ₁ и X ₂ :

$${\displaystyle g_{ij}=\langle X_{i},X_{j}\rangle }$$

я , j знак равно 1, 2

Вычисление длин и площадей

Первая фундаментальная форма полностью описывает метрические свойства поверхности. Таким образом, это позволяет рассчитывать длины кривых на поверхности и площади участков на поверхности. Линейный элемент ds может быть выражен через коэффициенты первой фундаментальной формы как

$${\displaystyle ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.}$$

Классический элемент площади, заданный dA = | Икс _ты × Икс _v | du dv можно выразить через первую фундаментальную форму с помощью тождества Лагранжа ,

$${\displaystyle dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.}$$

Пример: кривая на сфере

Сферическая кривая на единичной сфере в R ³ может быть параметризована как

$${\displaystyle X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].}$$

X ( u , v )uv

$${\displaystyle {\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\[5pt]X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$

производных

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.}$$

Длина кривой на сфере

Экватор единичной сферы представляет собой параметризованную кривую, заданную формулой

$${\displaystyle (u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})}$$

tπ

$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|\,dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi }$$

Площадь региона на сфере

Элемент площади можно использовать для расчета площади единичной сферы.

$${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi {\Big [}{-\cos v}{\Big ]}_{0}^{\pi }=4\pi }$$

Гауссова кривизна

Гауссова кривизна поверхности определяется выражением

$${\displaystyle K={\frac {\det \mathrm {I\!I} _{p}}{\det \mathrm {I} _{p}}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},}$$

LMNфундаментальной формы

Теорема Эгрегиум Гаусса утверждает , что гауссова кривизна поверхности может быть выражена исключительно через первую фундаментальную форму и ее производные, так что K фактически является внутренним инвариантом поверхности. Явное выражение гауссовой кривизны через первую фундаментальную форму даёт формула Бриоши .

Смотрите также

• Метрический тензор
• Вторая фундаментальная форма
• Третья фундаментальная форма
• Тавтологическая одноформа

Внешние ссылки

• Первая фундаментальная форма — из Wolfram MathWorld