Функтор представлен схемой

В алгебраической геометрии функтор , представленный схемой X, является многозначным контравариантным функтором в категории схем, таким, что значение функтора в каждой схеме S является (с точностью до естественных биекций) множеством всех морфизмов . Тогда говорят, что функтор F естественно эквивалентен функтору точек X ; и говорят, что схема X представляет функтор F и классифицирует геометрические объекты над S , заданные F. ^[1 ] ${\displaystyle S\to X}$

Функтор, производящий определенные геометрические объекты над S, может быть представлен схемой X. Например, функтор, переводящий S в множество всех линейных расслоений над S (или, точнее, n -мерных линейных систем ), представлен проективным пространством . Другим примером является схема Гильберта X схемы Y , которая представляет функтор, переводящий схему S в множество замкнутых подсхем, плоские семейства которых над S. ^[2] ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle Y\times S}$

В некоторых приложениях может оказаться невозможным найти схему, которая представляет заданный функтор. Это привело к понятию стека , который не совсем функтор, но все еще может рассматриваться как геометрическое пространство. (Схема Гильберта — это схема, а не стек, потому что, грубо говоря, теория деформации проще для замкнутых схем.)

Некоторые проблемы модулей решаются путем предоставления формальных решений (в отличие от полиномиальных алгебраических решений), и в этом случае результирующий функтор представляется формальной схемой . Такая формальная схема затем называется алгебраизуемой, если существует схема, которая может представлять тот же функтор с точностью до некоторых изоморфизмов.

Мотивация

Понятие является аналогом классифицирующего пространства в алгебраической топологии , где каждое главное G -расслоение над пространством S является (с точностью до естественных изоморфизмов ) обратным проецированием универсального расслоения вдоль некоторого отображения . Задать главное G -расслоение над S — то же самое, что задать отображение (называемое классифицирующим отображением) из S в классифицирующее пространство . ${\displaystyle EG\to BG}$ ${\displaystyle S\to BG}$ ${\displaystyle BG}$

Аналогичное явление в алгебраической геометрии задается линейной системой : задание морфизма из базисного многообразия S в проективное пространство эквивалентно заданию линейной системы без базисных точек (или, что эквивалентно, линейного расслоения) на S. То есть, проективное пространство X представляет собой функтор , который задает все линейные расслоения над S. ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}}$

Лемма Йонеды гласит, что схема X определяет и определяется своим функтором точек. ^[3]

Функтор точек

Пусть X — схема . Ее функтор точек — это функтор

Hom(−, X ): (Аффинные схемы) ^op  ⟶ Множество

отправка аффинной схемы Y в набор схемных карт . ^[4] ${\displaystyle Y\to X}$

Схема определяется с точностью до изоморфизма своим функтором точек. Это более сильная версия леммы Йонеды , которая гласит, что X определяется отображением Hom(−, X ) : Схемы ^op  → Наборы.

Наоборот, функтор F  : (Аффинные схемы) ^op  → Sets является функтором точек некоторой схемы тогда и только тогда, когда F является пучком относительно топологии Зарисского на (Аффинные схемы) и F допускает открытое покрытие аффинными схемами. ^[5]

Примеры

Точки как символы

Пусть X — схема над базовым кольцом B. Если x — теоретико-множественная точка X , то поле вычетов — это поле вычетов локального кольца (т.е. фактор по максимальному идеалу). Например, если X — аффинная схема Spec( A ), а x — простой идеал , то поле вычетов x — это поле функций замкнутой подсхемы . ${\displaystyle k(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A/{\mathfrak {p}})}$

Для простоты предположим . Тогда включение теоретико-множественной точки x в X соответствует кольцевому гомоморфизму: ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$

${\displaystyle A\to k(x)}$

(что если .) ${\displaystyle A\to A_{\mathfrak {p}}\to k({\mathfrak {p}})}$ ${\displaystyle x={\mathfrak {p}}}$

Вышеизложенное следует сравнить со спектром коммутативной банаховой алгебры .

Точки как разделы

По универсальному свойству расслоенного произведения каждая R -точка схемы X определяет морфизм R -схем

${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)\to X_{R}{\overset {\mathrm {def} }{=}}X\times _{\operatorname {Spec} (B)}\operatorname {Spec} (R)}$;

т.е. сечение проекции . Если S является подмножеством X ( R ), то записывается множество изображений сечений, определяемых элементами в S . ^[6] ${\displaystyle X_{R}\to \operatorname {Spec} (R)}$ ${\displaystyle |S|\subset X_{R}}$

Спецификация кольца дуальных чисел

Пусть , Spec кольца дуальных чисел над полем k и X — схема над k . Тогда каждый равен касательному вектору к X в точке , которая является образом замкнутой точки отображения. ^[1] Другими словами, — это множество касательных векторов к X. ${\displaystyle D=\operatorname {Spec} (k[t]/(t^{2}))}$ ${\displaystyle D\to X}$ ${\displaystyle X(D)}$

Универсальный объект

Пусть будет функтором, представленным схемой . При изоморфизме существует уникальный элемент , который соответствует тождественному отображению . Этот уникальный элемент известен как универсальный объект или универсальное семейство (когда классифицируемые объекты являются семействами). Универсальный объект действует как шаблон, из которого все остальные элементы в для любой схемы могут быть получены посредством обратного протягивания вдоль морфизма из в . ^[1] ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F(X)\cong {\text{Hom}}(X,X)}$ ${\displaystyle F(X)}$ ${\displaystyle {\text{id}}_{X}:X\to X}$ ${\displaystyle F(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Смотрите также

• Пространство модулей
• ограничение Вейля
• Рациональная точка
• Спуск по торсорам

Примечания

1. Шафаревич 1994, Гл. VI § 4.1.
2. Шафаревич 1994, Гл. VI § 4.4.
3. Фактически, X определяется своими R -точками с различными кольцами R : в точных терминах, если заданы схемы X , Y , любое естественное преобразование из функтора в функтор определяет морфизм схем X → Y естественным образом. ${\displaystyle R\mapsto X(R)}$ ${\displaystyle R\mapsto Y(R)}$
4. Проект «Стеки», 01J5
5. Функтор точек, лемма Йонеды, пространства модулей и универсальные свойства (Брайан Оссерман), Cor. 3.6
6. Это похоже на стандартную нотацию; см., например, «Неабелева двойственность Пуанкаре в алгебраической геометрии (лекция 9)» (PDF) .

Ссылки

• Дэвид Мамфорд (1999). Красная книга многообразий и схем: включает Мичиганские лекции (1974) по кривым и их якобианам . Заметки лекций по математике. Том 1358 (2-е изд.). Springer-Verlag. doi :10.1007/b62130. ISBN 3-540-63293-X.
• Лурье, Якоб. «Лекция 14: Существование борелевских редукций (I)» (PDF) .
• Шафаревич, Игорь (1994). Основы алгебраической геометрии, второе, переработанное и дополненное издание, т. 2. Springer-Verlag.
• Шафаревич, Игорь Робертович (2013). Основная алгебраическая геометрия 2 . дои : 10.1007/978-3-642-38010-5. ISBN 978-3-642-38009-9.

Внешние ссылки

• http://www.math.washington.edu/~zhang/Shanghai2011/Slides/ardanov.pdf