Функтор обратного образа

В математике, в частности в алгебраической топологии и алгебраической геометрии , функтор обратного образа — это контравариантная конструкция пучков ; здесь «контравариантный» в том смысле, что задано отображение , функтор обратного образа — это функтор из категории пучков на Y в категорию пучков на X. Функтор прямого образа — это первичная операция на пучках с простейшим определением. Обратный образ демонстрирует некоторые относительно тонкие особенности. ${\displaystyle f:X\to Y}$

Определение

Предположим, что нам дан пучок на и мы хотим перенести его в с помощью непрерывного отображения . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f\colon X\to Y}$

Мы назовем результат обратным образом или пучком тяги . Если мы попытаемся имитировать прямой образ , установив ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}(U)={\mathcal {G}}(f(U))}$

для каждого открытого множества , мы немедленно сталкиваемся с проблемой: не обязательно открыто. Лучшее, что мы могли бы сделать, это аппроксимировать его открытыми множествами, и даже тогда мы получим предпучок , а не пучок. Следовательно, мы определяем как пучок, связанный с предпучком : ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f^{-1}{\mathcal {G}}}$

${\displaystyle U\mapsto \varinjlim _{V\supseteq f(U)}{\mathcal {G}}(V).}$

(Здесь представлено открытое подмножество , а копредел пробегает все открытые подмножества , содержащие . ) ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f(U)}$

Например, если — это просто включение точки , то — это просто стебель в этой точке. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ограничение отображений, а также функториальность обратного образа вытекают из универсального свойства прямых пределов .

При работе с морфизмами локально окольцованных пространств , например, схемами в алгебраической геометрии , часто работают с пучками -модулей , где — структурный пучок . Тогда функтор не подходит, поскольку в общем случае он даже не дает пучков -модулей. Чтобы исправить это, в этой ситуации определяют для пучка -модулей его обратный образ с помощью ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle f^{*}{\mathcal {G}}:=f^{-1}{\mathcal {G}}\otimes _{f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}}{\mathcal {O}}_{X}}$.

Характеристики

• Хотя определить сложнее, чем , стебли вычислить проще: если задана точка , то . ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle (f^{-1}{\mathcal {G}})_{x}\cong {\mathcal {G}}_{f(x)}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$является точным функтором , как видно из приведенного выше вычисления стеблей.
• ${\displaystyle f^{*}}$(в общем случае) только справа точен. Если точен, f называется плоским . ${\displaystyle f^{*}}$
• ${\displaystyle f^{-1}}$является левым сопряженным функтора прямого образа . Это подразумевает, что существуют естественные единичные и коединичные морфизмы и . Эти морфизмы дают естественное соответствие присоединения: ${\displaystyle f_{\ast }}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (X)}(f^{-1}{\mathcal {G}},{\mathcal {F}})=\mathrm {Hom} _{\mathbf {Sh} (Y)}({\mathcal {G}},f_{*}{\mathcal {F}})}$.

Однако морфизмы и почти никогда не являются изоморфизмами. Например, если обозначает включение замкнутого подмножества, то стебель в точке канонически изоморфен , если находится в , а в противном случае. Аналогичное присоединение справедливо для случая пучков модулей, заменяя на . ${\displaystyle {\mathcal {G}}\rightarrow f_{*}f^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle f^{-1}f_{*}{\mathcal {F}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle i\colon Z\to Y}$ ${\displaystyle i_{*}i^{-1}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{y}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle i^{-1}}$ ${\displaystyle i^{*}}$

Ссылки

• Иверсен, Биргер (1986), Когомологии пучков , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16389-3, МР  0842190, См. раздел II.4.
• Хартшорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Graduate Texts in Mathematics , т. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, МР  0463157