Функция Вейерштрасса

Функция, которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема

График функции Вейерштрасса на интервале [−2, 2]. Как и некоторые другие фракталы , функция проявляет самоподобие : каждое увеличение (красный круг) похоже на глобальный график.

В математике функция Вейерштрасса , названная в честь ее первооткрывателя Карла Вейерштрасса , является примером действительной функции , которая непрерывна всюду, но нигде не дифференцируема . Это также пример фрактальной кривой .

Функция Вейерштрасса исторически выполняла роль патологической функции, будучи первым опубликованным примером (1872), специально придуманным для того, чтобы бросить вызов представлению о том, что каждая непрерывная функция дифференцируема, за исключением набора изолированных точек. ^[1] Демонстрация Вейерштрассом того, что непрерывность не подразумевает почти всюду дифференцируемость, перевернула математику, опрокинув несколько доказательств, которые опирались на геометрическую интуицию и расплывчатые определения гладкости . Эти типы функций были осуждены современниками: Анри Пуанкаре назвал их «монстрами» и назвал работу Вейерштрасса «возмутительным надругательством над здравым смыслом», в то время как Шарль Эрмит писал, что они были «плачевным бедствием». Функции было трудно визуализировать до появления компьютеров в следующем столетии, и результаты не получили широкого признания, пока практические приложения, такие как модели броуновского движения, не потребовали бесконечно зубчатых функций (ныне известных как фрактальные кривые). ^[2]

Строительство

Анимация, основанная на увеличении значения b от 0,1 до 5.

В оригинальной статье Вейерштрасса функция была определена как ряд Фурье :

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}\cos(b^{n}\pi x),}$$

где , — положительное нечетное целое число, а ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle b}$

$${\displaystyle ab>1+{\frac {3}{2}}\pi .}$$

Минимальное значение , для которого существует такое, что эти ограничения выполняются, равно . Эта конструкция, вместе с доказательством того, что функция не дифференцируема ни на каком интервале, была впервые представлена ​​Вейерштрассом в докладе, представленном в Королевской академии наук 18 июля 1872 года. ^{[3] [4] [5]} ${\textstyle b}$ ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle b=7}$

Несмотря на то, что функция нигде не дифференцируема, она непрерывна: поскольку члены бесконечного ряда, который ее определяет, ограничены и это имеет конечную сумму для , сходимость суммы членов равномерна по М-тесту Вейерштрасса с . Поскольку каждая частичная сумма непрерывна, по равномерной предельной теореме следует, что является непрерывной. Кроме того, поскольку каждая частичная сумма равномерно непрерывна , следует, что также является равномерно непрерывным. ${\textstyle \pm a^{n}}$ ${\textstyle 0<a<1}$ ${\textstyle M_{n}=a^{n}}$ ${\textstyle f}$ ${\textstyle f}$

Можно было бы ожидать, что непрерывная функция должна иметь производную или что множество точек, в которых она не дифференцируема, должно быть счетно бесконечным или конечным. Согласно Вейерштрассу в его статье, более ранние математики, включая Гаусса, часто предполагали, что это верно. Это может быть связано с тем, что трудно нарисовать или визуализировать непрерывную функцию, множество недифференцируемых точек которой является чем-то иным, чем счетное множество точек. Аналогичные результаты для классов непрерывных функций с лучшим поведением существуют, например, функции Липшица , множество точек недифференцируемости которых должно быть нулевым множеством Лебега ( теорема Радемахера ). Когда мы пытаемся нарисовать общую непрерывную функцию, мы обычно рисуем график функции, которая является липшицевой или иным образом хорошо себя ведет. Более того, тот факт, что множество точек недифференцируемости для монотонной функции имеет меру ноль, подразумевает, что быстрые колебания функции Вейерштрасса необходимы для того, чтобы гарантировать, что она нигде не дифференцируема.

Функция Вейерштрасса была одним из первых изученных фракталов , хотя этот термин стал использоваться гораздо позже. Функция имеет детали на каждом уровне, поэтому увеличение части кривой не показывает, что она постепенно приближается к прямой линии. Вместо этого между любыми двумя точками, независимо от того, насколько близко они находятся, функция не будет монотонной.

Вычисление размерности Хаусдорфа графика классической функции Вейерштрасса было открытой проблемой до 2018 года, пока считалось, что . ^{[6] [7]} То, что D строго меньше 2, следует из условий на и сверху. Только спустя более 30 лет это было строго доказано. ^[8] ${\textstyle D}$ ${\textstyle D=2+\log _{b}(a)<2}$ ${\textstyle a}$ ${\textstyle b}$

Термин функция Вейерштрасса часто используется в реальном анализе для обозначения любой функции со свойствами и конструкцией, аналогичными исходному примеру Вейерштрасса. Например, косинусная функция может быть заменена в бесконечном ряду кусочно-линейной функцией «зигзаг» . GH Hardy показал, что функция вышеприведенной конструкции нигде не дифференцируема при предположениях . ^[9] ${\textstyle 0<a<1,ab\geq 1}$

Функция Римана

Функция Вейерштрасса основана на более ранней функции Римана, которая, как утверждается, нигде не дифференцируема. Иногда эту функцию также называют функцией Вейерштрасса. ^[10]

$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin(n^{2}x)}{n^{2}}}}$$

Хотя Бернхард Риман решительно утверждал, что функция нигде не дифференцируема, никаких доказательств этого Риманом опубликовано не было, а Вейерштрасс отметил, что он не нашел никаких доказательств этого ни в работах Римана, ни в устных выступлениях его учеников.

В 1916 году Г. Х. Харди подтвердил, что функция не имеет конечной производной при любом значении , где x иррационально или рационально с формой или , где A и B — целые числа. ^[9] В 1969 году Джозеф Гервер обнаружил, что функция Римана имеет определенный дифференциал при каждом значении x , который может быть выражен в виде с целыми числами A и B , или рациональными множителями числа pi с нечетными числителем и знаменателем. В этих точках функция имеет производную . ^[11] В 1971 году Дж. Гервер показал, что функция не имеет конечного дифференциала при значениях x , которые могут быть выражены в виде , завершив проблему дифференцируемости функции Римана. ^[12] ${\textstyle \pi x}$ ${\textstyle {\frac {2A}{4B+1}}}$ ${\textstyle {\frac {2A+1}{2B}}}$ ${\textstyle {\frac {2A+1}{2B+1}}\pi }$ ${\textstyle -{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {2A}{2B+1}}\pi }$

Поскольку функция Римана дифференцируема только на нулевом множестве точек, она не дифференцируема почти нигде .

Непрерывность Гельдера

Функцию Вейерштрасса удобно записать эквивалентно как

$${\displaystyle W_{\alpha }(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b^{-n\alpha }\cos(b^{n}\pi x)}$$

для . Тогда является непрерывным по Гельдеру с показателем α, то есть существует константа C такая, что ${\textstyle \alpha =-{\frac {\ln(a)}{\ln(b)}}}$ ${\textstyle W_{\alpha }(x)}$

$${\displaystyle |W_{\alpha }(x)-W_{\alpha }(y)|\leq C|x-y|^{\alpha }}$$

для всех и . ^[13] Более того, является непрерывным по Гёльдеру всех порядков , но не непрерывным по Липшицу . ${\textstyle x}$ ${\textstyle y}$ ${\textstyle W_{1}}$ ${\textstyle \alpha <1}$

Плотность нигде не дифференцируемых функций

Оказывается, функция Вейерштрасса — далеко не единичный пример: хотя она и «патологическая», она также «типична» для непрерывных функций:

• В топологическом смысле: множество нигде не дифференцируемых действительных функций на [0, 1] совпадает с векторным пространством C ([0, 1];  R ) всех непрерывных действительных функций на [0, 1] с топологией равномерной сходимости . ^{[14] [15]}
• В смысле теории меры : когда пространство C ([0, 1];  R ) снабжено классической мерой Винера γ , набор функций, дифференцируемых хотя бы в одной точке [0, 1], имеет γ - меру ноль . То же самое верно, даже если взять конечномерные «срезы» C ([0, 1];  R ), в том смысле, что нигде не дифференцируемые функции образуют преобладающее подмножество C ( [0, 1];  R ).

Смотрите также

• кривая Бланманже
• Снежинка Коха
• Нигде не непрерывная функция

Примечания

1. По крайней мере два исследователя сформулировали непрерывные, нигде не дифференцируемые функции до Вейерштрасса, но их результаты не были опубликованы при их жизни. Около 1831 года Бернард Больцано (1781–1848), чешский математик, философ и католический священник, построил такую ​​функцию; однако она не была опубликована до 1922 года. См.:
   • Мартин Яшек (1922) «Funkce Bolzanova» (функция Больцано), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Журнал для развития математики и физики), том. 51, нет. 2, страницы 69–76 (на чешском и немецком языках).
   • Войтех Ярник (1922) «O funkci Bolzanově» (О функции Больцано), Časopis pro Pěstování Matematiky a Fyziky (Журнал для развития математики и физики), том. 51, нет. 4, стр. 248–264 (на чешском языке). Доступно онлайн на чешском языке по адресу: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/109021/CasPestMatFys_051-1922-4_5.pdf. Доступно онлайн на английском языке по адресу: http://dml.cz/bitstream/handle/10338.dmlcz/400073/Bolzano_15-1981-1_6.pdf.
   • Карел Рыхлик (1923) «Über eine Funktion aus Bolzanos Handschriftlichem Nachlasse» (О функции из литературных останков Больцано в рукописи), Sitzungsberichte der königlichen Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften (Прага) (Труды Королевского чешского философского общества в Праге) (для 1921-1922 годы), II класс, вып. 4, страницы 1–20. ( Sitzungsberichte было продолжено как: Věstník Královské české společnosti nauk, třída matematicko-přírodovědecká (Журнал Королевского чешского общества науки, математики и естественных наук).)
   Около 1860 года Шарль Селлерье (1818 - 1889), профессор математики, механики, астрономии и физической географии в Женевском университете, Швейцария, независимо сформулировал непрерывную, нигде не дифференцируемую функцию, которая очень похожа на функцию Вейерштрасса. Открытие Селлерье, однако, было опубликовано посмертно:
   • Селлерье, К. (1890) «Note sur les principes Fondamentaux de l'analyse» (Заметка о фундаментальных принципах анализа), Bulletin des Sciences mathématiques , вторая серия, том. 14, стр. 142–160.
2. Кучарски, Адам (26 октября 2017 г.). «Прекрасные монстры математики: как разрушительная идея проложила путь современной математике» . Получено 11 октября 2023 г.
3. На странице 560 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Ежемесячные отчеты Королевской прусской академии наук в Берлине) 1872 года есть краткое упоминание о том, что 18 июля «Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte» Дифференциальные коэффициенты» (г-н Вейерштрасс прочитать [статью] о непрерывных функциях без определенных [т. е. четко определенных] производных [членам Академии]). Однако статья Вейерштрасса не была опубликована в Monatsberichte .
4. Карл Вейерштрасс, «Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen» [О непрерывных функциях вещественного аргумента, которые обладают определенной производной без значения аргумента], в: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften , Mathematische Werke von Карл Вейерштрасс (Берлин, Германия: Mayer & Mueller, 1895), том. 2, страницы 71–74.
5. См. также: Карл Вейерштрасс, Abhandlungen aus der Functionenlehre [ Трактаты по теории функций ] (Берлин, Германия: Юлиус Шпрингер, 1886), стр. 97.
6. Кеннет Фалконер, Геометрия фрактальных множеств (Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1985), страницы 114, 149.
7. См. также: Брайан Р. Хант (1998), «Размерность Хаусдорфа графиков функций Вейерштрасса», Труды Американского математического общества , т. 126, № 3, стр. 791–800.
8. Шэнь Вэйсяо (2018). «Хаусдорфова размерность графиков классических функций Вейерштрасса». Mathematische Zeitschrift . 289 (1–2): 223–266. arXiv : 1505.03986 . дои : 10.1007/s00209-017-1949-1. ISSN  0025-5874. S2CID  118844077.
9. Hardy GH (1916) «Недифференцируемая функция Вейерштрасса», Труды Американского математического общества , т. 17, стр. 301–325.
10. Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса». Математический мир .
11. Gerver, Joseph (1969). «Дифференциальность функции Римана при некоторых рациональных кратных π». Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . 62 (3): 668–670. doi : 10.1073/pnas.62.3.668 . PMC 223649. PMID  16591735 . 
12. Gerver, Joseph (1971). «Еще о дифференцируемости функции Римана». American Journal of Mathematics . 93 (1): 33–41. doi :10.2307/2373445. JSTOR  2373445. S2CID  124562827.
13. Зигмунд, А. (2002) [1935]. Тригонометрические ряды . Кембриджская математическая библиотека. Т. I, II (3-е изд.). Cambridge University Press . стр. 47. ISBN 978-0-521-89053-3. МР  1963498.
14. Мазуркевич, С.. (1931). «О непроизводных функциях». Студия Матем . 3 (3): 92–94. дои : 10.4064/см-3-1-92-94 .
15. Банах, С. (1931). «Über die Baire’sche Kategorie gewisser Funktionenmengen». Студия Матем . 3 (3): 174–179. дои : 10.4064/см-3-1-174-179 .

Ссылки

• Дэвид, Клэр (2018), «Обход динамических систем: простой способ получить размерность графика функции Вейерштрасса», Труды Международного геометрического центра , 11 (2), Академия наук Украины: 53–68, arXiv : 1711.10349 , doi : 10.15673/tmgc.v11i2.1028
• Фалконер, К. (1984), Геометрия фрактальных множеств, Cambridge Tracts in Mathematics, т. Книга 85, Кембридж: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33705-2
• Гельбаум, Б. Бернард Р.; Олмстед, Джон М. Х. (2003) [1964], Контрпримеры в анализе, Dover Books on Mathematics, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42875-8
• Харди, Г. Х. (1916), «Недифференцируемая функция Вейерштрасса» (PDF) , Труды Американского математического общества , 17 (3), Американское математическое общество: 301–325, doi :10.2307/1989005, JSTOR  1989005
• Вейерштрасс, Карл (18 июля 1872 г.), Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen , Königlich Preussische Akademie der Wissenschaften
  • Вейерштрасс, Карл (1895), «Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen», Mathematische Werke von Karl Weierstrass , vol. 2, Берлин, Германия: Майер и Мюллер, стр. 71–74.
  • Перевод на английский язык: Эдгар, Джеральд А. (1993), «О непрерывных функциях действительного аргумента, которые не обладают четко определенной производной для любого значения своего аргумента», Классика фракталов , Исследования нелинейности, Addison-Wesley Publishing Company, стр. 3–9, ISBN 978-0-201-58701-2

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Вейерштрасса». Математический мир .(другая функция Вейерштрасса, которая также непрерывна и нигде не дифференцируема)
• Доказательство существования нигде не дифференцируемой непрерывной функции с использованием принципа сокращения Банаха .
• Доказательство существования нигде не монотонной непрерывной функции с использованием теоремы Бэра о категории .
• Йохан Тим. "Непрерывные нигде не дифференцируемые функции". Магистерская диссертация Lulea Univ of Technology 2003. Архивировано из оригинала 22 февраля 2017. Получено 28 июля 2006 .
• Функция Вейерштрасса на комплексной плоскости Архивировано 24 сентября 2009 г. на Wayback Machine Красивый фрактал.
• SpringerLink - Журнал анализа Фурье и приложений, том 16, номер 1 Простые доказательства нигде не дифференцируемости для функции Вейерштрасса и случаи медленного роста
• Функции Вейерштрасса: непрерывны, но нигде не дифференцируемы
• Функция Вейерштрасса Брента Нельсона из Беркли, показывающая недифференцируемость