Функция Дедекинда эта

Математическая функция

η -функция Дедекинда в верхней полуплоскости

В математике функция Дедекинда эта , названная в честь Ричарда Дедекинда , является модулярной формой веса 1/2 и является функцией, определенной на верхней полуплоскости комплексных чисел , где мнимая часть положительна. Она также встречается в теории бозонных струн .

Определение

Для любого комплексного числа τ с Im( τ ) > 0 пусть q = e ^{2 πiτ} ; тогда функция эта определяется как,

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-e^{2n\pi i\tau }\right)=q^{\frac {1}{24}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right).}$

Возводя уравнение эта в 24-ю степень и умножая на (2 π ) ¹² , получаем

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi )^{12}\eta ^{24}(\tau )}$

где Δ — модульный дискриминант . Присутствие 24 можно понять по связи с другими событиями, например, в 24-мерной решетке Лича .

Функция эта голоморфна на верхней полуплоскости, но не может быть аналитически продолжена за ее пределы.

Модуль Эйлера фи на единичном круге, раскрашенном так, что черный = 0, красный = 4

Действительная часть модульного дискриминанта как функция q .

Функция эта удовлетворяет функциональным уравнениям ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (\tau +1)&=e^{\frac {\pi i}{12}}\eta (\tau ),\\\eta \left(-{\frac {1}{\tau }}\right)&={\sqrt {-i\tau }}\,\eta (\tau ).\,\end{aligned}}}$

Во втором уравнении ветвь квадратного корня выбирается таким образом, что √ − iτ = 1 при τ = i .

В более общем случае предположим, что a , b , c , d — целые числа, причем ad − bc = 1 , так что

${\displaystyle \tau \mapsto {\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}}$

является преобразованием, принадлежащим модулярной группе . Мы можем предположить, что либо c > 0 , либо c = 0 и d = 1. Тогда

${\displaystyle \eta \left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=\epsilon (a,b,c,d)\left(c\tau +d\right)^{\frac {1}{2}}\eta (\tau ),}$

где

${\displaystyle \epsilon (a,b,c,d)={\begin{cases}e^{\frac {bi\pi }{12}}&c=0,\,d=1,\\e^{i\pi \left({\frac {a+d}{12c}}-s(d,c)-{\frac {1}{4}}\right)}&c>0.\end{cases}}}$

Здесь s ( h , k ) — сумма Дедекинда

${\displaystyle s(h,k)=\sum _{n=1}^{k-1}{\frac {n}{k}}\left({\frac {hn}{k}}-\left\lfloor {\frac {hn}{k}}\right\rfloor -{\frac {1}{2}}\right).}$

Из-за этих функциональных уравнений функция эта является модулярной формой веса ⁠1/2⁠ и уровень 1 для определенного характера порядка 24 метаплектического двойного покрытия модулярной группы, и может быть использован для определения других модулярных форм. В частности, модульный дискриминант Вейерштрасса с

${\displaystyle \omega _{2}=\tau \omega _{1}}$

можно определить как

${\displaystyle \Delta (\tau )=(2\pi \omega _{1})^{12}\eta (\tau )^{24}\,}$

и является модулярной формой веса 12. Некоторые авторы опускают множитель (2 π ) ¹² , так что разложение ряда имеет целые коэффициенты.

Из тройного произведения Якоби следует , что эта (с точностью до множителя) является тета-функцией Якоби для специальных значений аргументов: ^[2]

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=1}^{\infty }\chi (n)\exp \left({\frac {\pi in^{2}\tau }{12}}\right),}$

где χ ( n ) — это « характер» Дирихле по модулю 12 с χ (±1) = 1 и χ (±5) = −1 . Явно, ^{[ необходима цитата ]}

${\displaystyle \eta (\tau )=e^{\frac {\pi i\tau }{12}}\vartheta \left({\frac {\tau +1}{2}};3\tau \right).}$

Функция Эйлера

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi (q)&=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-q^{n}\right)\\&=q^{-{\frac {1}{24}}}\eta (\tau ),\end{aligned}}}$

имеет степенной ряд по тождеству Эйлера :

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Обратите внимание, что, используя теорему Эйлера о пятиугольных числах для , эта-функцию можно выразить как ${\displaystyle {\mathfrak {I}}(\tau )>0}$

${\displaystyle \eta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in}e^{3\pi i\left(n+{\frac {1}{6}}\right)^{2}\tau }.}$

Это можно доказать, используя теорему Эйлера о пятиугольных числах с определением эта-функции. ${\displaystyle x=2\pi i\tau }$

Поскольку эта-функцию легко вычислить численно из любого степенного ряда , при вычислениях часто бывает полезно выражать через нее другие функции, когда это возможно, а произведения и частные эта-функций, называемые эта-частными, могут использоваться для выражения большого разнообразия модульных форм.

На рисунке на этой странице показан модуль функции Эйлера: дополнительный множитель q ^⁠1/24⁠ между этим и eta почти нет визуальной разницы. Таким образом, эта картинка может быть принята как картинка eta как функцииq.

Комбинаторные тождества

Теория алгебраических характеров аффинных алгебр Ли порождает большой класс ранее неизвестных тождеств для эта-функции. Эти тождества следуют из формулы характеров Вейля–Каца и, более конкретно, из так называемых «знаменательных тождеств». Сами характеры позволяют строить обобщения тета-функции Якоби , преобразующиеся под действием модулярной группы ; это и приводит к тождествам. Примером одного из таких новых тождеств ^[3] является

${\displaystyle \eta (8\tau )\eta (16\tau )=\sum _{m,n\in \mathbb {Z} \atop m\leq |3n|}(-1)^{m}q^{(2m+1)^{2}-32n^{2}}}$

где q = e ^{2 πiτ} — q -аналог или «деформация» наибольшего веса модуля.

Особые ценности

Из приведенной выше связи с функцией Эйлера вместе с ее специальными значениями можно легко вывести, что

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left({\tfrac {1}{2}}i\right)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {7}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (2i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {11}{8}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (3i)&={\frac {\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2{\sqrt[{3}]{3}}\left(3+2{\sqrt {3}}\right)^{\frac {1}{12}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta (4i)&={\frac {{\sqrt[{4}]{-1+{\sqrt {2}}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{\frac {29}{16}}\pi ^{\frac {3}{4}}}}\\[6pt]\eta \left(e^{\frac {2\pi i}{3}}\right)&=e^{-{\frac {\pi i}{24}}}{\frac {{\sqrt[{8}]{3}}\,\Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)^{\frac {3}{2}}}{2\pi }}\end{aligned}}}$

Коэффициенты Эта

Эта-частные определяются с помощью частных вида

${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

где d — неотрицательное целое число, а r _d — любое целое число. Линейные комбинации эта-частных при мнимых квадратичных аргументах могут быть алгебраическими , в то время как комбинации эта-частных могут быть даже целыми . Например, определите,

${\displaystyle {\begin{aligned}j(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{8}+2^{8}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{16}\right)^{3}\\[6pt]j_{2A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (2\tau )}}\right)^{12}+2^{6}\left({\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{12}\right)^{2}\\[6pt]j_{3A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (3\tau )}}\right)^{6}+3^{3}\left({\frac {\eta (3\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{6}\right)^{2}\\[6pt]j_{4A}(\tau )&=\left(\left({\frac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}\right)^{4}+4^{2}\left({\frac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}\right)^{4}\right)^{2}=\left({\frac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}\right)^{24}\end{aligned}}}$

с 24-й степенью модулярной функции Вебера 𝔣( τ ) . Тогда,

${\displaystyle {\begin{aligned}j\left({\frac {1+{\sqrt {-163}}}{2}}\right)&=-640320^{3},&e^{\pi {\sqrt {163}}}&\approx 640320^{3}+743.99999999999925\dots \\[6pt]j_{2A}\left({\frac {\sqrt {-58}}{2}}\right)&=396^{4},&e^{\pi {\sqrt {58}}}&\approx 396^{4}-104.00000017\dots \\[6pt]j_{3A}\left({\frac {1+{\sqrt {-{\frac {89}{3}}}}}{2}}\right)&=-300^{3},&e^{\pi {\sqrt {\frac {89}{3}}}}&\approx 300^{3}+41.999971\dots \\[6pt]j_{4A}\left({\frac {\sqrt {-7}}{2}}\right)&=2^{12},&e^{\pi {\sqrt {7}}}&\approx 2^{12}-24.06\dots \end{aligned}}}$

и так далее, значения, которые появляются в рядах Рамануджана–Сато .

Эта-частные также могут быть полезным инструментом для описания базисов модулярных форм , которые, как известно, трудно вычислить и выразить напрямую. В 1993 году Бэзил Гордон и Ким Хьюз доказали, что если эта-частное η _g приведенной выше формы, а именно удовлетворяет ${\displaystyle \prod _{0<d\mid N}\eta (d\tau )^{r_{d}}}$

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}dr_{d}\equiv 0{\pmod {24}}\quad {\text{and}}\quad \sum _{0<d\mid N}{\frac {N}{d}}r_{d}\equiv 0{\pmod {24}},}$

тогда η _g является модулярной формой веса k для конгруэнц-подгруппы Γ ₀ ( N ) (с точностью до голоморфности ), где ^[4]

${\displaystyle k={\frac {1}{2}}\sum _{0<d\mid N}r_{d}.}$

Этот результат был расширен в 2019 году таким образом, что обратное справедливо для случаев, когда N взаимно просто с 6, и остается открытым, что исходная теорема точна для всех целых чисел N . ^[5] Это также распространяется на утверждение, что любое модулярное эта-частное для любой подгруппы конгруэнции уровня n должно также быть модулярной формой для группы Γ( N ) . Хотя эти теоремы характеризуют модулярные эта-частные, условие голоморфности должно быть проверено отдельно с использованием теоремы, которая появилась в работе Жерара Лигоза ^[6] и Ива Мартена: ^[7]

Если η _g — эта-частное, удовлетворяющее указанным выше условиям для целого числа N, а c и d — взаимно простые целые числа, то порядок исчезновения в точке возврата ⁠с/г⁠ относительно Γ ₀ ( N ) равно

${\displaystyle {\frac {N}{24}}\sum _{0<\delta |N}{\frac {\gcd \left(d,\delta \right)^{2}r_{\delta }}{\gcd \left(d,{\frac {N}{\delta }}\right)d\delta }}.}$

Эти теоремы предоставляют эффективные средства создания голоморфных модулярных эта-частных, однако этого может быть недостаточно для построения базиса для векторного пространства модулярных форм и касп-форм . Полезная теорема для ограничения числа рассматриваемых модулярных эта-частных утверждает, что голоморфный модульный эта-частный веса k на Γ ₀ ( N ) должен удовлетворять

${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|\leq \prod _{p\mid N}\left({\frac {p+1}{p-1}}\right)^{\min {\bigl (}2,{\text{ord}}_{p}(N){\bigr )}},}$

где ord _p ( N ) обозначает наибольшее целое число m такое, что p ^m делит N . ^[8] Эти результаты приводят к нескольким характеристикам пространств модулярных форм, которые могут быть натянуты на модулярные эта-частные. ^[8] Используя градуированную кольцевую структуру на кольце модулярных форм, мы можем вычислить базисы векторных пространств модулярных форм, составленные из -линейных комбинаций эта-частных. Например, если мы предположим, что N = pq является полупростым числом , то следующий процесс может быть использован для вычисления базиса эта-частного M k (Γ ( N )) . ^[5] ${\displaystyle \mathbb {C} }$

1. Зафиксируем полупростое число N = pq, которое взаимно просто с 6 (то есть p , q > 3 ). Мы знаем, что любое модульное эта-частное может быть найдено с помощью приведенных выше теорем, поэтому разумно алгоритмически вычислить их.
2. Вычислите размерность D M _k (Γ ₀ ( N )) . Это скажет нам, сколько линейно-независимых модульных эта-частных нам нужно будет вычислить , чтобы сформировать базис.
3. Уменьшите количество рассматриваемых эта-частных. Для полупростых чисел мы можем уменьшить количество разбиений, используя ограничение на

   ${\displaystyle \sum _{0<d\mid N}|r_{d}|}$

   и заметив, что сумма порядков исчезновения в точках возврата Γ ₀ ( N ) должна быть равна

   ${\displaystyle S:={\frac {(p+1)(q+1)}{6}}}$. ^[5]

4. Найдите все разбиения S на 4-кортежи (имеется 4 каспа Γ ₀ ( N ) ), и среди них рассмотрите только те разбиения, которые удовлетворяют условиям Гордона и Хьюза (мы можем преобразовать порядки исчезновения в показатели). Каждое из этих разбиений соответствует уникальному эта-частному.
5. Определите минимальное количество членов в q -разложении каждого эта-частного, необходимое для уникальной идентификации элементов (это использует результат, известный как граница Штурма). Затем используйте линейную алгебру, чтобы определить максимальный независимый набор среди этих эта-частных.
6. Предполагая, что мы еще не нашли D линейно независимых эта-частных, найдем подходящее векторное пространство M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) такое, что k ′ и M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) порождены ( слабо голоморфными ) эта-частными, ^[8] и M _{k ′ − k} (Γ ₀ ( N )) содержит эта-частное η _g .
7. Возьмем модулярную форму f с весом k , которая не попадает в диапазон наших вычисленных эта-частных, и вычислим f η _g как линейную комбинацию эта-частных в M _{k ′} (Γ ₀ ( N )) и затем разделим на η _g . Результатом будет выражение f как линейной комбинации эта-частных по желанию. Повторяйте это, пока не сформируется базис.

Коллекция из более чем 6300 идентификаторов продуктов для эта-функции Дедекинда в канонической стандартизированной форме доступна на Wayback machine ^[9] веб-сайта Майкла Сомоса.

Смотрите также

• Формула Чоула-Сельберга
• Ряд Рамануджана–Сато
• q-серия
• Эллиптические функции Вейерштрасса
• Функция разделения
• Формула предела Кронекера
• Аффинная алгебра Ли

Ссылки

1. Сигел, CL (1954). «Простое доказательство η (−1/ τ ) = η ( τ ) √ τ / i ». Математика . 1 : 4. дои : 10.1112/S0025579300000462.
2. Бамп, Дэниел (1998), Автоморфные формы и представления , Cambridge University Press, ISBN 0-521-55098-X
3. Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN 0-521-48412-X
4. Гордон, Бэзил; Хьюз, Ким (1993). «Мультипликативные свойства η -произведений. II.». Дань уважения Эмилю Гроссвальду: теория чисел и связанный с ней анализ . Contemporary Mathematics. Т. 143. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество. стр. 415–430.
5. Аллен, Майкл; Андерсон, Николас; Хамакиотес, Асимина; Олтсик, Бен; Свишер, Холли (2020). «Эта-частные простого или полупростого уровня и эллиптические кривые». Involve . 13 (5): 879–900. arXiv : 1901.10511 . doi : 10.2140/involve.2020.13.879. S2CID  119620241.
6. Лигозат, Г. (1974). Модули жанра 1 . Публикации Mathématiques d'Orsay. Том. 75. Математический университет Университета Парижа XI, Орсе. п. 7411.
7. Мартин, Ив (1996). «Мультипликативные η-частные». Труды Американского математического общества . 348 (12): 4825–4856. doi : 10.1090/S0002-9947-96-01743-6 .
8. Rouse, Jeremy; Webb, John J. (2015). «О пространствах модулярных форм, натянутых на эта-частные». Advances in Mathematics . 272 : 200–224. arXiv : 1311.1460 . doi : 10.1016/j.aim.2014.12.002 .
9. "Dedekind Eta Function Product Identities by Michael Somos". Архивировано из оригинала 2019-07-09.

Дальнейшее чтение

• Апостол, Том М. (1990). Модульные функции и ряды Дирихле в теории чисел . Graduate Texts in Mathematics . Vol. 41 (2nd ed.). Springer-Verlag. ch. 3. ISBN 3-540-97127-0.
• Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модулярные формы . Graduate Texts in Mathematics. Том 97 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-97966-2.