Критерий Найквиста ISI

Условие исключения межсимвольной интерференции

Приподнятый косинусный отклик соответствует критерию Найквиста ISI. Последовательные приподнятые косинусные импульсы демонстрируют свойство нулевой ISI между переданными символами в моменты выборки. При t=0 средний импульс достигает своего максимума, а сумма других импульсов равна нулю.

В области связи критерий Найквиста ISI описывает условия, которые, если им удовлетворяет канал связи (включая отклики фильтров передачи и приема), приводят к отсутствию межсимвольных помех или ISI. Он предоставляет метод построения функций с ограниченной полосой пропускания для преодоления эффектов межсимвольных помех.

Когда последовательные символы передаются по каналу с помощью линейной модуляции (например, ASK , QAM и т. д.), импульсная характеристика (или, что эквивалентно, частотная характеристика ) канала приводит к тому, что передаваемый символ разносится во временной области. Это вызывает межсимвольную интерференцию, поскольку ранее переданные символы влияют на текущий принимаемый символ, тем самым снижая толерантность к шуму . Теорема Найквиста связывает это условие временной области с эквивалентным условием частотной области .

Критерий Найквиста тесно связан с теоремой выборки Найквиста–Шеннона , но с другой точки зрения.

критерий Найквиста

Если обозначить импульсную характеристику канала как , то условие для отклика без межсимвольных помех можно выразить как: ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

для всех целых чисел , где — период символа . Теорема Найквиста утверждает, что это эквивалентно: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T_{s}}$

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1\quad {\text{for all frequencies }}f}$,

где — преобразование Фурье от . Это критерий Найквиста ISI. ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle h(t)}$

Этот критерий можно интуитивно понять следующим образом: смещенные по частоте реплики должны в сумме давать постоянное значение. Это условие выполняется, когда спектр имеет четную симметрию, имеет ширину полосы пропускания больше или равную , а его однополосная полоса имеет нечетную симметрию на частоте среза . ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle H(f)}$ ${\displaystyle 2/T_{s}}$ ${\displaystyle \pm 1/2T_{s}}$

На практике этот критерий применяется к фильтрации основной полосы, рассматривая последовательность символов как взвешенные импульсы ( дельта-функция Дирака ). Когда фильтры основной полосы в системе связи удовлетворяют критерию Найквиста, символы могут передаваться по каналу с плоской характеристикой в ​​пределах ограниченной полосы частот без межсимвольных помех. Примерами таких фильтров основной полосы являются фильтр с приподнятым косинусом или фильтр sinc в идеальном случае.

Вывод

Чтобы вывести критерий, мы сначала выразим полученный сигнал через переданный символ и отклик канала. Пусть функция h(t) будет импульсным откликом канала , x[n] — символы, которые должны быть отправлены, с периодом символа T _s ; полученный сигнал y(t) будет иметь вид (где шум был проигнорирован для простоты):

${\displaystyle y(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h(t-nT_{s})}$.

Выполняя выборку этого сигнала с интервалом T _s , мы можем выразить y(t) как дискретное по времени уравнение:

${\displaystyle y[k]=y(kT_{s})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h[k-n]}$.

Если мы запишем член суммы h[0] отдельно, то это можно выразить как:

${\displaystyle y[k]=x[k]\cdot h[0]+\sum _{n\neq k}x[n]\cdot h[k-n]}$,

и из этого мы можем сделать вывод, что если ответ h[n] удовлетворяет

${\displaystyle h[n]={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$,

только один переданный символ влияет на полученный y[k] в моменты выборки, тем самым устраняя любую ISI. Это условие временной области для канала без ISI. Теперь мы найдем для него эквивалент в частотной области . Начнем с выражения этого условия в непрерывном времени:

${\displaystyle h(nT_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}$

для всех целых . Мы умножаем такой h(t) на сумму дельта-функции Дирака (импульсы), разделенные интервалами T _s Это эквивалентно выборке ответа, как указано выше, но с использованием выражения непрерывного времени. Правая часть условия может быть тогда выражена как один импульс в начале координат: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle h(t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT_{s})=\delta (t)}$

Преобразуя Фурье оба члена этого соотношения, получаем:

${\displaystyle H\left(f\right)*{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$

и

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$.

Это критерий межсимвольной интерференции Найквиста, и если отклик канала ему удовлетворяет, то между различными выборками межсимвольной интерференции нет.

Смотрите также

• Скорость Найквиста
• Формирование импульса
• Фильтр корня из приподнятого косинуса
• Гарри Найквист

Ссылки

• Джон Г. Прокис , « Цифровые коммуникации, 3-е издание », McGraw-Hill Book Co., 1995. ISBN  0-07-113814-5
• Бехзад Разави , « Радиочастотная микроэлектроника », Prentice-Hall, Inc., 1998. ISBN 0-13-887571-5