Функция расходов

В микроэкономике функция расходов определяет минимальную сумму денег, которую необходимо потратить человеку для достижения определенного уровня полезности , учитывая функцию полезности и цены доступных товаров.

Формально, если существует функция полезности , описывающая предпочтения по n товарам, то функция расходов ${\displaystyle u}$

${\displaystyle e(p,u^{*}):{\textbf {R}}_{+}^{n}\times {\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

говорит, какая сумма денег необходима для достижения полезности, если n цен заданы вектором цен . Эта функция определяется как ${\displaystyle u^{*}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle e(p,u^{*})=\min _{x\in \geq (u^{*})}p\cdot x}$

где

${\displaystyle \geq (u^{*})=\{x\in {\textbf {R}}_{+}^{n}:u(x)\geq u^{*}\}}$

это набор всех наборов, которые обеспечивают полезность, по крайней мере, такую ​​же хорошую, как . ${\displaystyle u^{*}}$

Выражаясь эквивалентно, индивидуум минимизирует расходы при условии минимального ограничения полезности, которое дает оптимальные количества для потребления различных товаров как функцию и цен; тогда функция расходов имеет вид ${\displaystyle x_{1}p_{1}+\dots +x_{n}p_{n}}$ ${\displaystyle u(x_{1},\dots ,x_{n})\geq u^{*},}$ ${\displaystyle x_{1}^{*},\dots x_{n}^{*}}$ ${\displaystyle u^{*}}$

${\displaystyle e(p_{1},\dots ,p_{n};u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+\dots +p_{n}x_{n}^{*}.}$

Особенности функций расходов

(Свойства функции расходов) Предположим, что u — непрерывная функция полезности, представляющая локально ненасыщаемое отношение предпочтения º на Rn +. Тогда e(p, u) равно

1. Однородный степени один по p: для всех и , ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle e(\lambda p,u)=\lambda e(p,u);}$

2. Продолжительный в и ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u;}$

3. Неубывающая и строго возрастающая при условии ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle p\gg 0;}$

4. Вогнутый внутрь ${\displaystyle p}$

5. Если функция полезности строго квазивогнута, то имеет место лемма Шепарда

Доказательство

(1) Как и в предыдущем предложении, обратите внимание, что

${\displaystyle e(\lambda p,u)=\min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle \lambda p\cdot x=\lambda \min _{x\in \mathbb {R} _{+}^{n}:u(x)\geq u}}$ ${\displaystyle p\cdot x=\lambda e(p,u)}$

(2) Продолжить работу в домене : ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle {\textbf {R}}_{++}^{N}*{\textbf {R}}\rightarrow {\textbf {R}}}$

(3) Пусть и предположим . Тогда , и . Отсюда немедленно следует, что . ${\displaystyle p^{\prime }>p}$ ${\displaystyle x\in h(p^{\prime },u)}$ ${\displaystyle u(h)\geq u}$ ${\displaystyle e(p^{\prime },u)=p^{\prime }\cdot x\geq p\cdot x}$ ${\displaystyle e(p,u)\leq e(p^{\prime },u)}$

Для второго утверждения предположим противное, что для некоторых , Чем, для некоторых , , что противоречит выводу об «отсутствии избыточной полезности» предыдущего предложения ${\displaystyle u^{\prime }>u}$ ${\displaystyle e(p,u^{\prime })\leq e(p,u)}$ ${\displaystyle x\in h(p,u)}$ ${\displaystyle u(x)=u^{\prime }>u}$

(4)Пусть и предположим . Тогда и , поэтому . ${\displaystyle t\in (0,1)}$ ${\displaystyle x\in h(tp+(1-t)p^{\prime })}$ ${\displaystyle p\cdot x\geq e(p,u)}$ ${\displaystyle p^{\prime }\cdot x\geq e(p^{\prime },u)}$ ${\displaystyle e(tp+(1-t)p^{\prime },u)=(tp+(1-t)p^{\prime })\cdot x\geq }$ ${\displaystyle te(p,u)+(1-t)e(p^{\prime },u)}$

(5) ${\displaystyle {\frac {\delta (p^{0},u^{0})}{\delta p_{i}}}=x_{i}^{h}(p^{0},u^{0})}$

Расходы и косвенная полезность

Функция расходов является обратной функцией косвенной полезности , когда цены остаются постоянными. То есть, для каждого вектора цен и уровня дохода : ^{[1] : 106} ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle I}$

${\displaystyle e(p,v(p,I))\equiv I}$

Между функцией расходов и функцией полезности существует двойственное отношение. Если задана конкретная регулярная квазивогнутая функция полезности, соответствующая цена однородна, а полезность монотонно возрастает функция расходов, и наоборот, заданная цена однородна, а полезность монотонно возрастает функция расходов будет генерировать регулярную квазивогнутую функцию полезности. В дополнение к свойству, что цены когда-то однородны, а полезность монотонно возрастает, функция расходов обычно предполагает

(1) — неотрицательная функция, т.е. ${\displaystyle E(P\cdot u)>O;}$

(2) Для P он не убывает, т.е. ; ${\displaystyle E(p^{1}u)>E(p^{2}u),u>Op^{l}>p^{2}>O_{N}}$

(3)E(Pu) — вогнутая функция. То есть, ${\displaystyle e(np^{l}+(1-n)p^{2})u)>\lambda E(p^{1}u)(1-n)E(p^{2}u)y>0}$ ${\displaystyle O<\lambda <1p^{l}\geq O_{N}p^{2}\geq O_{N}}$

Функция расходов является важным теоретическим методом изучения поведения потребителей. Функция расходов очень похожа на функцию затрат в теории производства. Двойственной задаче максимизации полезности является задача минимизации затрат ^{[2] [3]}

Пример

Предположим, что функция полезности — это функция Кобба-Дугласа , которая генерирует функции спроса ^[4] ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{.6}x_{2}^{.4},}$

${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.6I}{p_{1}}}\;\;\;\;{\rm {and}}\;\;\;x_{2}(p_{1},p_{2},I)={\frac {.4I}{p_{2}}},}$

где — доход потребителя. Один из способов найти функцию расходов — сначала найти косвенную функцию полезности , а затем инвертировать ее. Косвенная функция полезности находится путем замены величин в функции полезности функциями спроса, таким образом: ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)}$

${\displaystyle v(p_{1},p_{2},I)=u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=(x_{1}^{*})^{.6}(x_{2}^{*})^{.4}=\left({\frac {.6I}{p_{1}}}\right)^{.6}\left({\frac {.4I}{p_{2}}}\right)^{.4}=(.6^{.6}\times .4^{.4})I^{.6+.4}p_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}=Kp_{1}^{-.6}p_{2}^{-.4}I,}$

где Тогда, поскольку, когда потребитель оптимизирует, мы можем инвертировать косвенную функцию полезности, чтобы найти функцию расходов: ${\displaystyle K=(.6^{.6}\times .4^{.4}).}$ ${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=e(p_{1},p_{2},v(p_{1},p_{2},I))=I}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u)=(1/K)p_{1}^{.6}p_{2}^{.4}u,}$

В качестве альтернативы функцию расходов можно найти, решив задачу минимизации с учетом ограничения Это дает условные функции спроса и тогда функция расходов имеет вид ${\displaystyle (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2})}$ ${\displaystyle u(x_{1},x_{2})\geq u^{*}.}$ ${\displaystyle x_{1}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$ ${\displaystyle x_{2}^{*}(p_{1},p_{2},u^{*})}$

${\displaystyle e(p_{1},p_{2},u^{*})=p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}}$

Смотрите также

• Проблема минимизации расходов
• Функция спроса Хикса
• Уравнение Слуцкого
• Задача максимизации полезности
• Ограничение бюджета
• Потребление установлено
• Лемма Шепарда

Ссылки

1. Вариан, Хэл (1992). Микроэкономический анализ (третье изд.). Нью-Йорк: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
2. Цзин цзи сюэ да ци дянь. Сяоминь Лян, 梁小民. (Di 1 запрет ред.). Пекин Ши: Туан Цзе Чу Бан Шэ. 1994. ISBN 7-80061-954-0. OCLC  34287945.{{cite book}}: CS1 maint: others (link)
3. «ПОТРЕБИТЕЛЬСКИЙ ВЫБОР И ДВОЙСТВЕННОСТЬ» (PDF) .
4. Вариан, Х. (1992). Микроэкономический анализ (3-е изд.). Нью-Йорк: WW Norton., стр. 111, имеет общую формулу.

Дальнейшее чтение

• Мас-Колелл, Андреу ; Уинстон, Майкл Д.; Грин, Джерри Р. (2007). Микроэкономическая теория . стр. 59–60. ISBN 978-0-19-510268-0.
• Матис, Стивен А.; Косциански, Джанет (2002). Микроэкономическая теория: комплексный подход . Верхняя Сэддл-Ривер: Prentice Hall. стр. 132–133. ISBN 0-13-011418-9.
• Вариан, Хэл Р. (1984). Микроэкономический анализ (Второе издание). Нью-Йорк: WW Norton. С. 121–123. ISBN 0-393-95282-7.